08-看图理解数据结构与算法系列(2-3树)

2-3树

2-3树，是最简单的B-树，其中2、3主要体现在每个非叶子节点都有2个或3个子节点，B-树即是平衡树，平衡树是为了解决不平衡树查询效率问题，常见的二叉平衡书有AVL树，它虽然提高了查询效率，但是插入操作效率不高，因为它需要再每次插入节点后维护树的平衡，而为了解决查询效率同时有兼顾插入效率，于是提出了2-3树。

2-3树特点

• 2-3树是一棵平衡树，但不是二叉平衡树。
• 对于高度相同的2-3树和二叉树，2-3树的节点数要大于满二叉树，因为有些节点可能有三个子节点。
• 2-3树可以是一棵空树。
• 对于2节点来说，该节点保存了一个key及对应的value，除此之外还保存了指向左右两边的子节点，子节点也是一个2-3节点，左子节点所有值小于key，右子节点所有值大于key。
• 对于3节点来说，该节点保存了两个key及对应的value，除此之外还保存了指向左中右三个方向的子节点，子节点也是一个2-3节点，左子节点的所有值小于两个key中较小的那个，中节点的所有值在两个key值之间，右子节点大于两个key中较大的那个。
• 对2-3树进行中序遍历能得到一个排好序的序列。

插入操作

刚开始是空树，插入节点“A”，创建根节点，

插入节点“B”，从根节点开始寻找存放的节点位置，与“A”节点合并后放到同一个叶子上，此时该叶子只包含“AB”两个项目，无需分裂，

继续插入节点“C”，从根节点开始寻找存放的节点位置，找到“AB”叶子节点，将其放进去，

但此时该叶子节点包含了“ABC”三个项目，需要将该节点进行分裂操作，分裂的具体过程如下，找到该节点三个项目中中间大的项，

上移成为最小项和最大项的父节点，而最小项作为中间项的左子节点，最大项作为中间项的右子节点。

继续插入“D”节点，从根节点开始寻找，

大于“B”，所以往右，

找到“C”节点，并合并到该叶子节点，该节点只有两个项目，不必分裂。

继续插入“E”，查找到“CD”叶子节点，放入“E”节点后发现该叶子节点有三个项目，需要分裂，

将中间项提升到父节点，其余两项分裂成两个子节点，“D”上升到父节点后存放在右边，而且父节点只有两个项目，不必再继续分裂。

继续插入“F”节点，

往下看连续分裂两次的情况，继续插入“G”节点，大于“B”，继续比较，

大于“D”，往右子节点，

到右子节点后与“F”比较，发现大于“F”，放到右边，

发现“EFG”叶子节点有三个项目，必须分裂，

将中间项“F”提升到父节点，“E”和“G”左右两项分别称为左右子节点，

提升到父节点后发现父节点包含了“BDF”三项，也需要分裂，于是准备将中间项“F”提升，

发现“BDF”节点本来属于根节点，那么分裂后就没有根节点了，于是需要创建一个新节点作为根节点，即提升的“D”节点作为新的根节点。“B”和“F”左右两项分别作为左右子节点。

总结起来就是：一个节点插入到一棵2-3树中，先寻找该节点应该落到哪个叶子节点上，注意一定是在叶子节点。将新节点作为一个新项加入到叶子节点中，此时如果该节点只有两个项目，则完成插入操作。但如果该节点有三个项目，则需要进行分裂操作，左中右三项按大小排序，将中间项提升到父节点中，而左右两项作为左右子节点，然后可能还没完，因为父节点上可能又包含了三个项目，如果是这样还得做分裂操作，一直递归到父节点只包含一个或两个项目。

查找

2-3树的查找与二叉树的查找类似，从根节点开始比较，如果相等则查找成功，否则往下继续查找，对于只有两个子节点的节点则在其左右子树中递归查找，而对于有三个子节点的节点则需要在左中右子树中递归查找。

如下2-3树，查找“C”节点，

从根节点开始，与“D”比较，“C”小于“D”则往左，

继续与“B”比较，“C”大于“B”则往右，

“C”与“C”相等，找到。

如果要查找“H”节点，从根节点开始，“H”大于“D”则往右，

在“FH”节点中逐个项比较，先跟“F”项比较，“H”大于“F”，继续比较下一项，

“H”等于“H”，找到，在“FH”节点中找到“H”。

如果要查找“G”节点，从根节点开始，“G”大于“D”则往右，

“G”与“FH”节点逐个比较，大于“F”，继续比较下一项，

“G”小于“H”，即“G”间于“F”和“H”之间，于是往中间，

“G”等于“G”，找到。