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题目大意：有一张$n*m$的数表，第$i$行第$j$列的数是同时能整除$i,j$的所有数之和，求数表内所有不大于A的数之和
先是看错题了...接着看对题了发现不会做了...刚了大半个下午无果
看了Po姐的题解(Orzzz)才搞懂这道题，搞清楚了莫比乌斯反演的两种经典的卷积形式的不同之处
令$\sigma(i)$表示i的约数个数和
如果去掉A这个限制，则题目是让我们求$\sum_{i=1}^{n}\sum_{j=1}^{m}\sigma(gcd(i,j))$
考虑如何正确转化式子，让我们能够把不大于A这个限制加上去，再用某种数据结构快速维护，否则我们转化的式子就是失败的
令$f(i)$表示$i$作为$gcd$出现的次数，利用莫比乌斯反演的常规套路，可得$f(i)=\sum_{i|d}\mu(d/i)\left \lfloor \frac{n}{d} \right \rfloor\left \lfloor \frac{m}{d} \right \rfloor$
那么结果$ans=\sum f(i)\sigma(i)$
展开得$ans=\sum_{i=1}^{n} \sigma(i)\sum_{i|d}\mu(d/i)\left \lfloor \frac{n}{d} \right \rfloor\left \lfloor \frac{m}{d} \right \rfloor$
移项$ans=\sum _{d=1}^{\sigma(d)<=A} \left \lfloor \frac{n}{d} \right \rfloor\left \lfloor \frac{m}{d} \right \rfloor \sum_{i|d}\mu(d/i)\sigma(i)$
对于前面的部分，对询问离线，按A从小到大排序，从小到大遍历即可$\sum _{d=1}^{\sigma(d)<=A} \left \lfloor \frac{n}{d} \right \rfloor\left \lfloor \frac{m}{d} \right \rfloor$
对于后面的部分$\sum_{i|d}\mu(d/i)\sigma(i)$当前询问的A大于等于$\sigma(i)$时，我们就要把i的贡献加进去，即所有能整除$i$的数的位置都要加上$\mu(d/i)\sigma(i)$
因为$\sigma(i)$并不具有单调性，所以需要用树状数组维护前缀和，可以暴力往树状数组里插入，因为总插入次数是$O(nlnn)$(调和级数)
接着对于每个询问，利用整除分块的思想求解即可
总时间$O(nlog^{2}n+Q\sqrt{n}logn)$，有点卡常，建议用unsigned int
1 #include <cstdio> 2 #include <cstring> 3 #include <algorithm> 4 #define N 100100 5 #define maxn 100000 6 #define ll long long 7 #define uint unsigned int 8 using namespace std; 9 10 const uint mod=2147483648ll; 11 int T,cnt; 12 int use[N],pr[N],mu[N],nxt[N]; 13 uint sum[N]; 14 ll sgm[N]; 15 struct node{ll s;int id;}a[N]; 16 int cmp1(node s1,node s2){return s1.s<s2.s;} 17 struct Ques{int n,m,A,id;ll ans;}Q[N]; 18 int cmp2(Ques s1,Ques s2){return s1.A<s2.A;} 19 int cmp3(Ques s1,Ques s2){return s1.id<s2.id;} 20 21 void update(int x,uint w){for(int i=x;i<=maxn;i+=(i&(-i)))(sum[i]+=w)%=mod;} 22 uint query(int x){uint ans=0;for(int i=x;i>0;i-=(i&(-i)))(ans+=sum[i])%=mod;return ans;} 23 void Pre() 24 { 25 mu[1]=1; 26 for(int i=2;i<=maxn;i++) 27 { 28 if(!use[i]) pr[++cnt]=i,mu[i]=-1,nxt[i]=i; 29 for(int j=1;j<=cnt&&i*pr[j]<=maxn;j++){ 30 use[i*pr[j]]=1; 31 nxt[i*pr[j]]=pr[j]; 32 if(i%pr[j]==0){ 33 mu[i*pr[j]]=0; 34 break; 35 }else{ 36 mu[i*pr[j]]=-mu[i]; 37 } 38 } 39 } 40 for(int i=1;i<=maxn;i++) 41 for(int j=i;j<=maxn;j+=i) 42 sgm[j]+=i; 43 for(int i=1;i<=maxn;i++) 44 a[i].s=sgm[i],a[i].id=i; 45 sort(a+1,a+maxn+1,cmp1); 46 } 47 48 int main() 49 { 50 //freopen("t1.in","r",stdin); 51 scanf("%d",&T); 52 Pre(); 53 int x,y,z; 54 for(int t=1;t<=T;t++) 55 { 56 scanf("%d%d%d",&Q[t].n,&Q[t].m,&Q[t].A); 57 Q[t].id=t; 58 } 59 sort(Q+1,Q+T+1,cmp2); 60 int k=1; 61 for(int t=1;t<=T;t++) 62 { 63 while(k<=maxn&&a[k].s<=Q[t].A){ 64 int i=a[k].id; 65 for(int j=i;j<=maxn;j+=i) 66 update(j,sgm[i]*mu[j/i]%mod); 67 k++;} 68 if(Q[t].n>Q[t].m) swap(Q[t].n,Q[t].m); 69 int n=Q[t].n,m=Q[t].m;ll ans=0; 70 for(int j=1,la;j<=n;j=la+1){ 71 la=min(n/(n/j),m/(m/j)); 72 (ans+=1ll*(n/j)*(m/j)%mod*(query(la)-query(j-1))%mod)%=mod; 73 }Q[t].ans=(1ll*ans%mod+mod)%mod; 74 } 75 sort(Q+1,Q+T+1,cmp3); 76 for(int t=1;t<=T;t++) 77 printf("%lld\n",Q[t].ans); 78 return 0; 79 }
bzoj 3529 [Sdoi2014]数表 (莫比乌斯反演+树状数组+离线)
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原文地址：https://www.cnblogs.com/guapisolo/p/9976214.html
