ZJOI2017 树状数组

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属于可怜出的小清新数据结构题呢
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解析

因为全部都在模\(2\)意义下,因此相当于单点异或,查询区间异或和.
如果你对树状数组足够熟悉,那么你会发现可怜写了一个单点加求后缀和的程序.
因此\([l,r]\)正确的概率就要使\(a_{l-1}\oplus a_l\oplus a_{l+1}\oplus ...\oplus a_n=a_r\oplus a_{r+1}\oplus...\oplus a_n\)
即\(a_{l-1}=a_r\)
于是我们用线段树维护这个问题好像就做完了
当然不对.
假如我们在\([2,3]\)中等概率取反,然后查询\(a_2\)与\(a_3\)相等的概率,江道理应该是\(0\),但是我们的线段树会得到\(\frac{1}{2}\).

因此我们用一个二维点\(f(x,y)\)表示\(a_x\)和\(a_y\)相等的概率.

修改

假设我们操作\([l,r]\),那么它会对多少点造成影响呢?
假如有一个点\((x,y)\),满足\(l\leq x\leq y\leq r\),那么会有\(\frac{2}{r-l+1}\)的概率使\((x,y)\)的相同性取反(即相同变不同,不同变相同).
那么操作过一次之后\(f(x,y)=f(x,y)*(1-\frac{2}{r-l+1})+(1-f(x,y))*\frac{2}{r-l+1}\).
这个式子还是比较显然的.

假如有一个点\((x,y)\),满足\(x\leq l\leq y\leq r\),那么会有\(\frac{1}{r-l+1}\)的概率使\((x,y)\)的相同性取反(即相同变不同,不同变相同).
那么操作过一次之后\(f(x,y)=f(x,y)*(1-\frac{1}{r-l+1})+(1-f(x,y))*\frac{1}{r-l+1}\).
这个式子也是比较显然的.

对于\(l\leq x\leq r\leq y\)同理.

询问

直接输出\(f(x,y)\)即可.

实现

现在思路已经比较明显了.
对于每次修改,我们相当于修改\(3\)个矩形.
对于每次询问,我们相当于询问一个点的值.
树套树实现即可.
因为是单点询问,标记永久化.

坑点

注意到当查询为\(0\)时,会直接返回\(0\).这种情况相当于前缀异或等于后缀异或的概率,注意特判.

代码如下

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<algorithm>
#include<cstring>
#include<cmath>
#include<vector>
#define N (100010)
#define P (998244353)
#define inf (0x7f7f7f7f)
#define rg register int
#define Label puts("NAIVE")
#define spa print(' ')
#define ent print('\n')
#define rand() (((rand())<<(15))^(rand()))
typedef long double ld;
typedef long long LL;
typedef unsigned long long ull;
using namespace std;
inline char read(){
    static const int IN_LEN=1000000;
    static char buf[IN_LEN],*s,*t;
    return (s==t?t=(s=buf)+fread(buf,1,IN_LEN,stdin),(s==t?-1:*s++):*s++);
}
template<class T>
inline void read(T &x){
    static bool iosig;
    static char c;
    for(iosig=false,c=read();!isdigit(c);c=read()){
        if(c=='-')iosig=true;
        if(c==-1)return;
    }
    for(x=0;isdigit(c);c=read())x=((x+(x<<2))<<1)+(c^'0');
    if(iosig)x=-x;
}
inline char readchar(){
    static char c;
    for(c=read();!isalpha(c)&&!isdigit(c);c=read())
    if(c==-1)return 0;
    return c;
}
const int OUT_LEN = 10000000;
char obuf[OUT_LEN],*ooh=obuf;
inline void print(char c) {
    if(ooh==obuf+OUT_LEN)fwrite(obuf,1,OUT_LEN,stdout),ooh=obuf;
    *ooh++=c;
}
template<class T>
inline void print(T x){
    static int buf[30],cnt;
    if(x==0)print('0');
    else{
        if(x<0)print('-'),x=-x;
        for(cnt=0;x;x/=10)buf[++cnt]=x%10+48;
        while(cnt)print((char)buf[cnt--]);
    }
}
inline void flush(){fwrite(obuf,1,ooh-obuf,stdout);}
struct xds{
    int ls,rs,w;
}a[35000010];
int rt,n,m,ind,ind2,ans,inv[N],T[N<<2];
int ksm(int a,int p){
    int res=1;
    while(p){
        if(p&1)res=1ll*res*a%P;
        a=1ll*a*a%P,p>>=1;
    }
    return res;
}
void merge(int &x,int y){x=((2ll*x*y%P-x-y+1)%P+P)%P;}
void Modify(int &x,int L,int R,int l,int r,int w){
    if(!x)x=++ind2,a[x].w=1;
    if(L==l&&R==r)return merge(a[x].w,w);
    int mid=(L+R)>>1;
    if(r<=mid)Modify(a[x].ls,L,mid,l,r,w);
    else if(l>mid)Modify(a[x].rs,mid+1,R,l,r,w);
    else Modify(a[x].ls,L,mid,l,mid,w),Modify(a[x].rs,mid+1,R,mid+1,r,w);
}
void modify(int &x,int L,int R,int lx,int ly,int rx,int ry,int w){
    if(!x)x=++ind;
    if(L==lx&&R==ly)return Modify(T[x],1,n,rx,ry,w);
    int mid=(L+R)>>1;
    if(ly<=mid)modify(a[x].ls,L,mid,lx,ly,rx,ry,w);
    else if(lx>mid)modify(a[x].rs,mid+1,R,lx,ly,rx,ry,w);
    else modify(a[x].ls,L,mid,lx,mid,rx,ry,w),modify(a[x].rs,mid+1,R,mid+1,ly,rx,ry,w); 
}
void Query(int x,int L,int R,int p){
    if(!x)return;merge(ans,a[x].w);
    if(L==R)return;int mid=(L+R)>>1;
    if(p<=mid)Query(a[x].ls,L,mid,p);
    else Query(a[x].rs,mid+1,R,p);
}
void query(int x,int L,int R,int px,int py){
    if(!x)return;if(T[x])Query(T[x],1,n,py); 
    if(L==R)return;int mid=(L+R)>>1;
    if(px<=mid)query(a[x].ls,L,mid,px,py);
    else query(a[x].rs,mid+1,R,px,py);
}
int main(){
    read(n),read(m),ind2=400000; 
    for(int i=0;i<=n;i++)inv[i]=ksm(i,P-2);
    for(int t=0,op,l,r;m;m--){
        read(op),read(l),read(r);
        if(op==1){
            int len=r-l+1; t++;
            modify(rt,0,n,l,r,l,r,(1-2*inv[len]%P+P)%P);
            modify(rt,0,n,0,l-1,l,r,(1-inv[len]+P)%P);
            if(r+1<=n)modify(rt,0,n,l,r,r+1,n,(1-inv[len]+P)%P);
        }
        else{
            ans=1,query(rt,0,n,l-1,r);
            if(l==1&&(t&1))ans=(1-ans+P)%P;
            print(ans),ent;
        }
    }
    return flush(),0;
}

ZJOI2017 树状数组

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