P4559 [JSOI2018]列队

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\(\color{#0066ff}{ 题目描述 }\)

作为一名大学生，九条可怜在去年参加了她人生中的最后一次军训。

军训中的一个重要项目是练习列队，为了训练学生，教官给每一个学生分配了一个休息位置。每次训练开始前，所有学生都在各自的休息位置休息，但是当教官发出集合命令后，被点到的学生必须要到指定位置集合。

为了简化问题，我们把休息位置和集合位置抽象成一根数轴。一共有 \(n\) 个学生，第 \(i\) 个学生的休息位置是 \(a_i\)。每一次命令，教官会指定一个区间 \([l,r]\) 和集合点 \(K\) ，所有编号在 \([l,r]\) 内的学生都必须赶到集合点列队。在列队时，每一个学生需要选择 \([K,K+r-l]\) 中的一个整数坐标站定且不能有任何两个学生选择的坐标相同。学生从坐标 \(x\) 跑到坐标 \(y\) 需要耗费体力 \(\vert y-x \vert\) 。

在一天的训练中，教官一共发布了 \(m\) 条命令 \((l,r,K)\) ，现在你需要计算对于每一条命令，在所有可能的列队方案中，消耗的体力值总和最小是多少。

以下是对题意的一些补充：

1. 任何两条命令是无关的，即在一条集合命令结束后，所有学生都会回到自己的休息位置，然后教官才会发出下一条命令。
2. 在集合的时候，可能有编号不在 \([l,r]\) 内的学生处在区间 \([K,K+r-l]\) 中，这时他会自己跑开，且跑动的距离不记在消耗的体力值总和中。

\(\color{#0066ff}{输入格式}\)

第一行输入两个整数 \(n,m\)。

第二行 \(n\) 个整数 \(a_i\) 表示学生的休息位置。保证学生休息的位置两两不同。

接下来 \(m\) 行每行三个整数 \(l,r,K\) 表示一条命令。

\(\color{#0066ff}{输出格式}\)

对于每一条命令输出一行一个整数表示最小的体力值总和。

\(\color{#0066ff}{输入样例}\)

5 5
1 5 7 6 2
1 5 2
1 5 3
1 3 9
2 4 2
3 5 5

\(\color{#0066ff}{输出样例}\)

5
4
17
9
3

\(\color{#0066ff}{数据范围与提示}\)

在第一条命令中，五名学生依次跑到 \([2,5,4,6,3]\)，则总代价为 |2-1|+|5-5|+|4-7|+|6-6|+|3-2|=5∣2?1∣+∣5?5∣+∣4?7∣+∣6?6∣+∣3?2∣=5。

在第二条命令中，五名学生依次跑到 \([4,5,7,6,3]\)，则总代价为 |4-1|+|5-5|+|7-7|+|6-6|+|3-2|=4∣4?1∣+∣5?5∣+∣7?7∣+∣6?6∣+∣3?2∣=4。

在第三条命令中，三名学生依次跑到 \([11,10,9]\)，则总代价为 |11-1|+|10-5|+|9-7|=17∣11?1∣+∣10?5∣+∣9?7∣=17。

在第四条命令中，三名学生依次跑到 \([4,2,3]\)，则总代价为 |4-5|+|2-7|+|3-6|=9∣4?5∣+∣2?7∣+∣3?6∣=9。

在第五条命令中，三名学生依次跑到 \([7,6,5]\)，则总代价为 |7-7|+|6-6|+|5-2|=3∣7?7∣+∣6?6∣+∣5?2∣=3。

对于10%的数据\(n,m \leq 10\)。

对于 \(40\%\) 的数据，\(n,m \leq 10^3\)。

对于 \(70\%\) 的数据，\(n,m \leq 10^5\)。

对于 \(100\%\) 的数据，\(n,m \leq 5 \times 10^5,1 \leq a_i,K \leq 10^6\)。

对于 \(100\%\) 的数据，学生休息的位置两两不同。

\(\color{#0066ff}{ 题解 }\)

不难想到用主席树维护

设当前人的范围为\([l,r]\)，它们要到\([ql,qr]\)去

我们维护区间人的个数，这左子树有num个人，则可以递归\([l,mid][ql,ql+num-1]和[mid +1,r][ql+num,qr]\)

这复杂度。。。。\(O(n^2)\)啊。。。

进而考虑剪掉一些东西，比如\(r\leq ql, l\ge qr\)

拿\(r\le ql\)举个例子，让所有人到ql集合，然后一个一个往后走，就是个等差数列很好求

这样对于强数据还是会被卡

进而想一想，\(r\le qr\)能不能优化呢？ 答案是肯定的

让所有人跑到qr，然后往回退体力，这种情况下每个人只会跑多不会跑少，所以可以直接减

分析一下这样做的复杂度

当\(mid \le ql +num-1\)时，左子树\(O(1)\)return，右子树\(O(logn)\)递归，反之同理

因此\(O(nlogn)\)可过！

// luogu-judger-enable-o2
#include<bits/stdc++.h>
#define LL long long
LL in() {
    char ch; LL x = 0, f = 1;
    while(!isdigit(ch = getchar()))(ch == '-') && (f = -f);
    for(x = ch ^ 48; isdigit(ch = getchar()); x = (x << 1) + (x << 3) + (ch ^ 48));
    return x * f;
}
const int maxn = 2e6 + 100;
struct Tree {
protected:
    struct node {
        int num;
        LL tot;
        node *ch[2];
        node() { num = tot = 0; ch[0] = ch[1] = NULL; }
    };
    node *root[maxn];
    int len;
    void add(node *&o, node *lst, int l, int r, LL p) {
        o = new node();
        *o = *lst;
        o->num++, o->tot += p;
        if(l == r) return;
        int mid = (l + r) >> 1;
        if(p <= mid) add(o->ch[0], lst->ch[0], l, mid, p);
        else add(o->ch[1], lst->ch[1], mid + 1, r, p);
    }
    LL getsum(LL l, LL r) {
        return (r - l + 1) * (r - l) >> 1; 
    }
    LL getans(node *x, node *y, LL l, LL r, LL ql, LL qr) {
        if(ql > qr) return 0;
        if(r <= qr) return qr * (qr - ql + 1) - (y->tot - x->tot) - getsum(ql, qr);
        if(l >= ql) return (y->tot - x->tot) - ql * (qr - ql + 1) - getsum(ql, qr);
        int num = y->ch[0]->num - x->ch[0]->num;
        int mid = (l + r) >> 1;
        return getans(x->ch[0], y->ch[0], l, mid, ql, ql + num - 1) + getans(x->ch[1], y->ch[1], mid + 1, r, ql + num, qr);
    }
public:
    void init(int n, LL *a) {
        len = 1e6 + 10;
        root[0] = new node();
        root[0]->ch[0] = root[0]->ch[1] = root[0];
        for(int i = 1; i <= n; i++) add(root[i], root[i - 1], 1, len, a[i]);
    }
    LL getans(int l, int r, int k) { return getans(root[l - 1], root[r], 1, len, k, k + r - l); }
}s;
LL a[maxn], n, m;
int main() {
    n = in(), m = in();
    for(int i = 1; i <= n; i++) a[i] = in();
    s.init(n, a);
    LL l, r, k;
    while(m --> 0) {
        l = in(), r = in(), k = in();
        printf("%lld\n", s.getans(l, r, k));
    }
    return 0;
}

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