FFT算法的物理意义

FFT是离散傅立叶变换的高速算法，能够将一个信号变换
到频域。有些信号在时域上是非常难看出什么特征的，可是如
果变换到频域之后，就非常easy看出特征了。这就是非常多信号
分析採用FFT变换的原因。另外，FFT能够将一个信号的频谱
提取出来，这在频谱分析方面也是经经常使用的。

    尽管非常多人都知道FFT是什么，能够用来做什么，怎么去
做，可是却不知道FFT之后的结果是什意思、怎样决定要使用
多少点来做FFT。

    如今圈圈就依据实际经验来说说FFT结果的详细物理意义。
一个模拟信号，经过ADC採样之后，就变成了数字信号。採样
定理告诉我们，採样频率要大于信号频率的两倍，这些我就
不在此罗嗦了。

    採样得到的数字信号，就能够做FFT变换了。N个採样点，
经过FFT之后，就能够得到N个点的FFT结果。为了方便进行FFT
运算，通常N取2的整数次方。

    如果採样频率为Fs，信号频率F，採样点数为N。那么FFT
之后结果就是一个为N点的复数。每一个点就相应着一个频率
点。这个点的模值，就是该频率值下的幅度特性。详细跟原始
信号的幅度有什么关系呢？如果原始信号的峰值为A，那么FFT
的结果的每一个点（除了第一个点直流分量之外）的模值就是A
的N/2倍。而第一个点就是直流分量，它的模值就是直流分量
的N倍。而每一个点的相位呢，就是在该频率下的信号的相位。
第一个点表示直流分量（即0Hz），而最后一个点N的再下一个
点（实际上这个点是不存在的，这里是如果的第N+1个点，也
能够看做是将第一个点分做两半分，还有一半移到最后）则表示
採样频率Fs，这中间被N-1个点平均分成N等份，每一个点的频率
依次添加?。比如某点n所表示的频率为：Fn=(n-1)*Fs/N。
由上面的公式能够看出，Fn所能分辨到频率为为Fs/N，如果
採样频率Fs为1024Hz，採样点数为1024点，则能够分辨到1Hz。
1024Hz的採样率採样1024点，刚好是1秒，也就是说，採样1秒
时间的信号并做FFT，则结果能够分析到1Hz，如果採样2秒时
间的信号并做FFT，则结果能够分析到0.5Hz。如果要提高频率
分辨力，则必须添加?採样点数，也即採样时间。频率分辨率和
採样时间是倒数关系。
  如果FFT之后某点n用复数a+bi表示，那么这个复数的模就是
An=根号a*a+b*b，相位就是Pn=atan2(b,a)。依据以上的结果，
就能够计算出n点（n≠1，且n<=N/2）相应的信号的表达式为：
An/(N/2)*cos(2*pi*Fn*t+Pn)，即2*An/N*cos(2*pi*Fn*t+Pn)。
对于n=1点的信号，是直流分量，幅度即为A1/N。
    因为FFT结果的对称性，通常我们仅仅使用前半部分的结果，
即小于採样频率一半的结果。

    好了，说了半天，看着公式也晕，以下圈圈以一个实际的
信号来做说明。

    如果我们有一个信号，它含有2V的直流分量，频率为50Hz、
相位为-30度、幅度为3V的交流信号，以及一个频率为75Hz、
相位为90度、幅度为1.5V的交流信号。用数学表达式就是例如以下：

S=2+3*cos(2*pi*50*t-pi*30/180)+1.5*cos(2*pi*75*t+pi*90/180)

    式中cos參数为弧度，所以-30度和90度要分别换算成弧度。
我们以256Hz的採样率对这个信号进行採样，总共採样256点。
依照我们上面的分析，Fn=(n-1)*Fs/N，我们能够知道，每两个
点之间的间距就是1Hz，第n个点的频率就是n-1。我们的信号
有3个频率：0Hz、50Hz、75Hz，应该分别在第1个点、第51个点、
第76个点上出现峰值，其他各点应该接近0。实际情况怎样呢？
我们来看看FFT的结果的模值如图所看到的。

                      图1 FFT结果
    从图中我们能够看到，在第1点、第51点、和第76点附近有
比較大的值。我们分别将这三个点附近的数据拿上来细看：
1点： 512+0i
2点： -2.6195E-14 - 1.4162E-13i 
3点： -2.8586E-14 - 1.1898E-13i

50点：-6.2076E-13 - 2.1713E-12i
51点：332.55 - 192i
52点：-1.6707E-12 - 1.5241E-12i

75点：-2.2199E-13 -1.0076E-12i
76点：3.4315E-12 + 192i
77点：-3.0263E-14 +7.5609E-13i
  
    非常明显，1点、51点、76点的值都比較大，它附近的点值
都非常小，能够觉得是0，即在那些频率点上的信号幅度为0。
接着，我们来计算各点的幅度值。分别计算这三个点的模值，
结果例如以下：
1点： 512
51点：384
76点：192
    依照公式，能够计算出直流分量为：512/N=512/256=2；
50Hz信号的幅度为：384/(N/2)=384/(256/2)=3；75Hz信号的
幅度为192/(N/2)=192/(256/2)=1.5。可见，从频谱分析出来
的幅度是正确的。
    然后再来计算相位信息。直流信号没有相位可言，不用管
它。先计算50Hz信号的相位，atan2(-192, 332.55)=-0.5236,
结果是弧度，换算为角度就是180*(-0.5236)/pi=-30.0001。再
计算75Hz信号的相位，atan2(192, 3.4315E-12)=1.5708弧度，
换算成角度就是180*1.5708/pi=90.0002。可见，相位也是对的。
依据FFT结果以及上面的分析计算，我们就能够写出信号的表达
式了，它就是我们開始提供的信号。

    总结：如果採样频率为Fs，採样点数为N，做FFT之后，某
一点n（n从1開始）表示的频率为：Fn=(n-1)*Fs/N；该点的模值
除以N/2就是相应该频率下的信号的幅度（对于直流信号是除以
N）；该点的相位即是相应该频率下的信号的相位。相位的计算
可用函数atan2(b,a)计算。atan2(b,a)是求坐标为(a,b)点的角
度值，范围从-pi到pi。要精确到xHz，则须要採样长度为1/x秒
的信号，并做FFT。要提高频率分辨率，就须要添加?採样点数，
这在一些实际的应用中是不现实的，须要在较短的时间内完毕
分析。解决问题的方法有频率细分法，比較简单的方法是
採样比較短时间的信号，然后在后面补充一定数量的0，使其长度
达到须要的点数，再做FFT，这在一定程度上可以提高频率分辨力。
详细的频率细分法可參考相关文献。

[附录：本測试数据使用的matlab程序]
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Adc=2;  %直流分量幅度
A1=3;   %频率F1信号的幅度
A2=1.5; %频率F2信号的幅度
F1=50;  %信号1频率(Hz)
F2=75;  %信号2频率(Hz)
Fs=256; %採样频率(Hz)
P1=-30; %信号1相位(度)
P2=90;  %信号相位(度)
N=256;  %採样点数
t=[0:1/Fs:N/Fs]; %採样时刻

%信号
S=Adc+A1*cos(2*pi*F1*t+pi*P1/180)+A2*cos(2*pi*F2*t+pi*P2/180);
%显示原始信号
plot(S);
title(‘原始信号‘);

figure;
Y = fft(S,N); %做FFT变换
Ayy = (abs(Y)); %取模
plot(Ayy(1:N)); %显示原始的FFT模值结果
title(‘FFT 模值‘);

figure;
Ayy=Ayy/(N/2);   %换算成实际的幅度
Ayy(1)=Ayy(1)/2;
F=([1:N]-1)*Fs/N; %换算成实际的频率值
plot(F(1:N/2),Ayy(1:N/2));   %显示换算后的FFT模值结果
title(‘幅度-频率曲线图‘);

figure;
Pyy=[1:N/2];
for i=1:N/2
 Pyy(i)=phase(Y(i)); %计算相位
 Pyy(i)=Pyy(i)*180/pi; %换算为角度
end;
plot(F(1:N/2),Pyy(1:N/2));   %显示相位图
title(‘相位-频率曲线图‘);