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根本没想到。
首先我们可以考虑一种做法：
找一些图，使得他们各自的生成树个数乘起来等于 k。
那么只要将他们用一条链连起来就得到答案了。
接下来考虑如何得到这些图。
考虑随机生成一个 n 个点的图，它的生成树个数最大是 $n^{n-2}$ 。
我们假装一个 n 个点的图的生成树个数是 $[0,n^{n-2}]$ 中的随机数。
假设我们随机生成了 S 个这样的图，如果我们在这 S 个图中随机选择 t 个连起来，那么我们就得到了 $S^t$ 个随机数。
令 n = 12, S = 1000, t = 4，由于 $n^{n-2} = 12^{10}> 62\cdot 998244353$，所以我们可以在对 998244353 取模之后把生成树个数当作一个 $[0,998244353)$ 中的随机数。则我们得到了 $S^t = 10^{12}$ 个随机数。这 $10^{12}$ 个数中不含有 k 个概率非常小。
我们不可能把所有所有的这些随机数都求出来，所以我们用类似于 BSGS 的办法折半一下就好了。
#pragma GCC optimize("Ofast","inline")
#include <bits/stdc++.h>
#define clr(x) memset(x,0,sizeof (x))
#define For(i,a,b) for (int i=a;i<=b;i++)
#define Fod(i,b,a) for (int i=b;i>=a;i--)
#define pb(x) push_back(x)
#define mp(x,y) make_pair(x,y)
#define fi first
#define se second
#define _SEED_ (‘C‘+‘L‘+‘Y‘+‘A‘+‘K‘+‘I‘+‘O‘+‘I‘)
#define outval(x) printf(#x" = %d\n",x)
#define outvec(x) printf("vec "#x" = ");for (auto _v : x)printf("%d ",_v);puts("")
#define outtag(x) puts("----------"#x"----------")
#define outarr(a,L,R) printf(#a"[%d...%d] = ",L,R); For(_v2,L,R)printf("%d ",a[_v2]);puts("");
using namespace std;
typedef long long LL;
typedef vector <int> vi;
LL read(){
LL x=0,f=0;
char ch=getchar();
while (!isdigit(ch))
f|=ch==‘-‘,ch=getchar();
while (isdigit(ch))
x=(x<<1)+(x<<3)+(ch^48),ch=getchar();
return f?-x:x;
}
const int N=1005,M=20,mod=998244353;
void Add(int &x,int y){
if ((x+=y)>=mod)
x-=mod;
}
void Del(int &x,int y){
if ((x-=y)<0)
x+=mod;
}
int Pow(int x,int y){
int ans=1;
for (;y;y>>=1,x=(LL)x*x%mod)
if (y&1)
ans=(LL)ans*x%mod;
return ans;
}
vector <pair <int,int> > g[N];
int val[N],ival[N];
int calc(int n,vector <pair <int,int> > &e){
static int a[M][M];
clr(a);
for (auto E : e){
int x=E.fi,y=E.se;
a[x][y]++,a[y][x]++;
a[x][x]--,a[y][y]--;
}
For(i,1,n)
For(j,1,n)
if (a[i][j]<0)
a[i][j]+=mod;
n--;
For(i,1,n){
For(j,i,n)
if (a[j][i]!=0){
For(k,i,n)
swap(a[i][k],a[j][k]);
break;
}
if (a[i][i]==0)
return 0;
For(j,i+1,n){
int v=(LL)a[j][i]*Pow(a[i][i],mod-2)%mod;
For(k,i,n)
Del(a[j][k],(LL)a[i][k]*v%mod);
}
}
int ans=mod-1;
For(i,1,n)
ans=(LL)ans*a[i][i]%mod;
return ans;
}
struct hash_map{
static const int Ti=233,mod=1<<20;
int cnt,k[mod+1],v[mod+1],nxt[mod+1],fst[mod+1];
int Hash(int x){
int v=x&(mod-1);
return v==0?mod:v;
}
void clear(){
cnt=0;
memset(fst,0,sizeof fst);
}
void update(int x,int a){
int y=Hash(x);
for (int p=fst[y];p;p=nxt[p])
if (k[p]==x){
v[p]=a;
return;
}
k[++cnt]=x,nxt[cnt]=fst[y],fst[y]=cnt,v[cnt]=a;
return;
}
int find(int x){
int y=Hash(x);
for (int p=fst[y];p;p=nxt[p])
if (k[p]==x)
return v[p];
return 0;
}
int &operator [] (int x){
int y=Hash(x);
for (int p=fst[y];p;p=nxt[p])
if (k[p]==x)
return v[p];
k[++cnt]=x,nxt[cnt]=fst[y],fst[y]=cnt;
return v[cnt]=0;
}
}Map;
int S=1000;
void prework(){
srand(_SEED_);
int n=12;
For(i,1,S){
For(j,1,n)
For(k,1,j-1)
if (rand()%10>=2)
g[i].pb(mp(j,k));
val[i]=calc(n,g[i]);
ival[i]=Pow(val[i],mod-2);
}
Map.clear();
For(i,1,S)
For(j,1,i){
int tmp=(LL)val[i]*val[j]%mod;
Map[tmp]=i*(S+1)+j;
}
}
void solve(int x){
if (!x)
return (void)puts("2 0");
For(i,1,S)
For(j,1,i){
int tmp=(LL)x*ival[i]%mod*ival[j]%mod;
if (Map[tmp]){
int v[4]={i,j,Map[tmp]/(S+1),Map[tmp]%(S+1)};
vector <pair <int,int> > res;
res.clear();
int n=48,cnt=0;
For (k,0,3){
if (cnt>0)
res.pb(mp(cnt,cnt+1));
for (auto e : g[v[k]])
res.pb(mp(e.fi+cnt,e.se+cnt));
cnt+=12;
}
printf("%d %d\n",n,(int)res.size());
for (auto e : res)
printf("%d %d\n",e.fi,e.se);
return;
}
}
}
int main(){
prework();
int T=read();
while (T--)
solve(read());
return 0;
}
UOJ#75. 【UR #6】智商锁 随机化算法 矩阵树定理
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