标签：divide 方法 .com 最小 描述 brief 好的 递归 分治
算法问题的基础问题之一，便是排序问题：
输入：n个数的一个序列，<a1, a2,..., an>。
输出：一个排列<a1‘,a2‘, ... , an‘>，满足a1‘ ≤ a2‘ ≤... ≤ an‘ 。（输出亦可为降序，左边给出的例子为升序）
（1）分治法
归并排序是使用到了分治方法（Divide and Conquer）。
Divide：将原问题分解为若干子问题，其中这些子问题的规模小于原问题的规模。
Conquer：递归地求解子问题，当子问题规模足够小时直接求解。
Merge：将子问题的解合并得到原问题的解。
（2）归并排序
MergeSort：假设我们要对一个输入规模为n的序列A[1,2, ... , n]进行排序，我们可以考虑将该序列一分为二，左边为A_left[1, 2, ... , ⌈n/2⌉]，右边为A_right[⌈n/2⌉+1, ... , n]。然后分别对两边规模为n/2的子问题进行求解，并将两个解合并。（⌈n/2⌉是n除以2的向上取整结果）
Merge：合并算法是将两个有序的序列A和B合并为一个有序的序列，这个过程只需要我们每次都取出A和B队列的对首加入一个新队列的末尾即可，直至某一个队列为空，将另一个队列的剩余元素补到新队列后面。
下面我们给出一个对序列[5, 2, 4, 6, 1, 3, 8, 7]使用归并排序得到递增序列的过程。在图中白色的部分是未排序的序列，每一层将序列规模折半分成左右两个子序列排序，直至问题规模将为1，子问题规模足够小时可以直接求解，而规模为1的序列本身就是有序的，所有不需要进行任何操作。最后一步是将所有子问题的解合并，每次都将两个有序序列合并为一个有序序列，直至只剩下一个有序序列时终止。
下图则给出了一个合并算法的例子。对于A,B两个排序好的序列，每次取出A、B之中的较小值放入归并后的序列，直到B中元素被取完，直接将A中的剩余元素按顺序尾插到Merge序列中，就能得到A与B的合并。
下面是归并排序的C++实现：
#include<iostream> #include<cmath> using namespace std; /** * @brief 对两个有序序列合并 * @param arr 原数组 * @param start 待合并的数组起始下标 * @param end 待合并的数组结尾下标 * @param result 合并后的数组 */ void Merge(int* arr, int start, int end, int* result){ int i,j = 0; int mid = (ceil(start + end)/2); int left_index = start; int right_index = mid + 1; int result_index = start; //左右都非空时，循环取左右中的最小元素尾插到result数组 while( left_index < mid + 1 && right_index < end + 1){ if(arr[left_index] <= arr[right_index]){ result[result_index] = arr[left_index]; left_index++; } else{ result[result_index] = arr[right_index]; right_index++; } result_index++; } //左右有一个为空，则将非空的数组元素放到result末尾 while(left_index < mid + 1){ result[result_index] = arr[left_index]; result_index++; left_index++; } while(right_index < end + 1){ result[result_index] = arr[right_index]; result_index++; right_index++; } } /** * @brief 归并排序 * @param arr 待排序的数组 * @param start 待排序的数组起始下标 * @param end 待排序的数组结尾下标 * @param result 保存临时结果的数组 */ void MergeSort(int* arr, int start, int end, int* result) { //规模为0时不需进行任何操作 if(0 == end - start){ return; } else{ //递归地对左右序列排序，合并到result中以后覆盖arr中的对应位置元素 MergeSort(arr,start,ceil((start+end)/2), result); MergeSort(arr,ceil((start+end)/2)+1,end, result); Merge(arr,start,end,result); for(int i = start; i <= end; i++){ arr[i] = result[i]; } } } int main() { int arr[10] = {5,2,4,7,10,9,8,1,6,3}; int result[10]; MergeSort(arr,0,9,result); for(int i = 0; i < 10; i++){ cout << arr[i] <<‘ ‘; } }
对于最好，最坏和平均情况，问题都要将规模分解到1为止，所以三者的时间复杂度相同。
T(n) = 2T(n/2) + θ(n) n > 1时
T(n) = θ(1) n = 1时
通过画递归树分析可知T(n) = cnlgn + cn, 时间复杂度即为θ(nlgn)，当然也为o(nlgn)。
稳定性是指对于原有序列中的等值元素，是否在排序后不改变它们的相对顺序关系。归并时当左边不大于右边时先取左边的元素，遵循这样的规律时归并排序就是稳定的。
一般用于对总体无序，但是各子项相对有序的数列。
TimSort，结合了插入排序来优化，具体不详细展开。
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原文地址：https://www.cnblogs.com/lovelybunny/p/10854512.html
