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树状数组求逆序对

时间:2019-07-30 00:15:30      阅读:125      评论:0      收藏:0      [点我收藏+]

标签:怎么   nod   blank   编号   bool   size   数组   数字   存储类型   

首先,先让我们了解下逆序对的概念:

如果存在正整数 i, j 使得 1 ≤ i < j ≤ n 而且 A[i] > A[j],则 <A[i], A[j]> 这个有序对称为 A 的一个逆序对,也称作逆序数。

 

现在直接拿POJ-2299作为例题来说下这个逆序对吧

 

1.解释为什么要有离散的这么一个过程?
刚开始以为999.999.999这么一个数字,对于int存储类型来说是足够了。
还有只有500000个数字,何必要离散化呢?
刚开始一直想不通,后来明白了,后面在运用树状数组操作的时候,
用到的树状数组C[i]是建立在一个有点像位存储的数组的基础之上的,
不是单纯的建立在输入数组之上。
比如输入一个9 1 0 5 4,那么C[i]树状数组的建立是在
 
数据:9 1 0 5 4  p[i].val
编号:1 2 3 4 5  p[i].oder = i*************
sort
数据:0 1 4 5 9
编号:3 2 5 4 1
顺序:1 2 3 4 5
 
a[p[i].编号] = 顺序号;**********************
    
a[3] = 1<--0;
a[2] = 2<--1;
a[5] = 3<--4;
a[4] = 4<--5;
a[1] = 5<--9;
      
a[]={ 5 2 1 4 3 }
 
新号:1 2 3 4 5
值  :
 
下标 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9
数组 1 1 0 0 1 1 0 0 0 1
现在由于999999999这个数字相对于500000这个数字来说是很大的,
所以如果用数组位存储的话,那么需要999999999的空间来存储输入的数据。
这样是很浪费空间的,题目也是不允许的,所以这里想通过离散化操作,
使得离散化的结果可以更加的密集。
简言之就是开一个大小为这些数的最大值的树状数组
2. 怎么对这个输入的数组进行离散操作?
离散化是一种常用的技巧,有时数据范围太大,可以用来放缩到我们能处理的范围;
因为其中需排序的数的范围0---999 999 999;显然数组不肯能这么大;
而N的最大范围是500 000;故给出的数一定可以与1.。。。N建立一个一一映射;
(1)当然用map可以建立,效率可能低点;
(2)这里用一个结构体
struct Node
{
    int val,pos;
}p[510000];
         一个数组a[510000]; 其中val就是原输入的值,pos是下标; 然后对结构体按val从小到大排序; 此时,val和结构体的下标就是一个一一对应关系, 而且满足原来的大小关系; for(i=1;i<=N;i++) a[p[i].pos]=i; 然后a数组就存储了原来所有的大小信息; 比如 9 1 0 5 4 ------- 离散后aa数组 就是 5 2 1 4 3; 具体的过程可以自己用笔写写就好了。 3. 离散之后,怎么使用离散后的结果数组来进行树状数组操作,计算出逆序数? 如果数据不是很大, 可以一个个插入到树状数组中, 每插入一个数, 统计比他小的数的个数, 对应的逆序为 i- sum( a[i] ), 其中 i 为当前已经插入的数的个数, sum( a[i] )为比 a[i] 小的数的个数, i- sum( a[i] ) 即比 a[i] 大的个数, 即逆序的个数 但如果数据比较大,就必须采用离散化方法 假设输入的数组是9 1 0 5 4, 离散后的结果a[] = {5,2,1,4,3}; 在离散结果中间结果的基础上,那么其计算逆序数的过程是这么一个过程。 1.输入5, 调用add(5, 1),把第5位设置为1 1 2 3 4 5 0 0 0 0 1 计算1-5上比5小的数字存在么? 这里用到了树状数组的sum(5) = 1操作, 现在用输入的下标1 -sum(5) = 0 就可以得到对于5的逆序数为0。 2. 输入2, 调用add(2, 1),把第2位设置为1 1 2 3 4 5 0 1 0 0 1 计算1-2上比2小的数字存在么? 这里用到了树状数组的sum(2) = 1操作, 现在用输入的下标2 - sum(2) = 1 就可以得到对于2的逆序数为1。 3. 输入1, 调用add(1, 1),把第1位设置为1 1 2 3 4 5 1 1 0 0 1 计算1-1上比1小的数字存在么? 这里用到了树状数组的sum(1) = 1操作, 现在用输入的下标 3 -sum(1) = 2 就可以得到对于1的逆序数为2。 4. 输入4, 调用add(4, 1),把第5位设置为1 1 2 3 4 5 1 1 0 1 1 计算1-4上比4小的数字存在么? 这里用到了树状数组的sum(4) = 3操作, 现在用输入的下标4 - sum(4) = 1 就可以得到对于4的逆序数为1。 5. 输入3, 调用add(3, 1),把第3位设置为1 1 2 3 4 5 1 1 1 1 1 计算1-3上比3小的数字存在么? 这里用到了树状数组的sum(3) = 3操作, 现在用输入的下标5 - sum(3) = 2 就可以得到对于3的逆序数为2。 6. 0+1+2+1+2 = 6 这就是最后的逆序数 分析一下时间复杂度,首先用到快速排序,时间复杂度为O(NlogN), 后面是循环插入每一个数字,每次插入一个数字,分别调用一次add()和sum() 外循环N, add()和sum()时间O(logN) => 时间复杂度还是O(NlogN)

  

具体的代码实现:

#include <stdio.h>
#include <algorithm>
#include <iostream>
#include <stdlib.h>
#include <string>
#include <string.h>
#include <math.h>
#include <vector>
#include <queue>
#include <stack>
#include <map>
#include <set>


#define INF 0x3f3f3f3f
#define LL long long
using namespace std;
const int  MAXN = 5e+5;


struct Node{
    int val;
    int pos;
};

Node a[MAXN];
int b[MAXN];
int c[MAXN];
int n;

bool cmp(Node a,Node b)
{
    return a.val < b.val;
}

int lowbit(int x)
{
    return x & (-x);
}

void updata(int p)
{
    while (p<=n)
    {
        c[p] += 1;
        p += lowbit(p);
    }
}


int getsum(int p)
{
    int res = 0;
    while (p)
    {
        res += c[p];
        p -= lowbit(p);
    }
    return res;
}

void solve()
{
    for (int i=1;i<=n;i++){
        scanf("%d",&a[i].val);
        a[i].pos = i;
    }
    sort(a+1,a+1+n,cmp);
    for (int i=1;i<=n;i++)
    {
        b[a[i].pos] = i;
    }
    LL ans = 0;
    memset(c,0, sizeof(c));
    for (int i=1;i<=n;i++)
    {
        updata(b[i]);
        ans += i-getsum(b[i]);
    }
    printf("%lld\n",ans);
}


int main()
{
    //freopen("../in.txt","r",stdin);
    while (~scanf("%d",&n))
    {
        if (n == 0)
            break;
        else
            solve();
    }
    return 0;
}

 

树状数组求逆序对

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原文地址:https://www.cnblogs.com/-Ackerman/p/11267216.html

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