标签：atom close lap class sum font pre href namespace
给定整数n,q，计算 $q^{\sum_{d|n} C_{n}^{d}}$ mod 999911659。
输入包括一行，包含两个整数n，q，用一个空格隔开。
输出包括一行，包含一个整数表示最终结果。
1≤n,q≤109
4 2
2048
提示:对于n的每一个正因数d，都有一个$C_{n}^{d}$的值，将它们全部加起来得到的和就是$\sum_{d|n} C_{n}^{d}$ 。
题解：经典题，用到的数学知识比较多。
当q为999911659时，答案为0。否则，因为999911659是质数，由欧拉定理推论得：
$q^{\sum_{d|n} C_{n}^{d}} \equiv q^{\sum_{d|n} C_{n}^{d} mod 999911658} mod 999911659$
因此，本题的关键是计算
$\sum_{d|n} C_{n}^{d} mod 999911658$。
n很大，分解质因子可以发现999911658 = 2 * 3 * 4679 * 35617，我们可以用Lucas定理求组合数 $C_{n}^{d}$ ，分别计算出
$\sum_{d|n} C_{n}^{d}$ 对2,3,4679,35617四个质数取模的结果，记为d[1],d[2],d[3],d[4]。
最后用中国剩余定理求解线性同余方程。
$\left\{\begin{matrix} x & mod & 2 & = & a_{1}\\ x & mod & 3 & = & a_{2} \\ x & mod & 4679 & = & a_{3} \\ x & mod & 35617 & = & a_{4} \end{matrix}\right.$
代码：
#include<bits/stdc++.h> #define ll long long using namespace std; const int N = 4e4 + 10; const ll mod = 999911659; ll fac[N] = {1},n,q,b[5]; int a[5] = {0,2,3,4679,35617}; ll qp(ll a,ll b) { ll ans = 1; for (;b;b>>=1,a=a*a%mod) if (b&1) ans = ans * a %mod; return ans; } void exgcd(ll a,ll b,ll &x,ll &y) { if (b == 0) { x = 1; y = 0; return ; } exgcd(b,a%b,y,x); y -= (a/b)*x; } ll getinv(ll a,ll b) { ll x,y; exgcd(a,b,x,y); return (x%b+b)%b; } ll lucas(ll x,ll p) { ll ans = 1; for (ll y = n;x;x/=p,y/=p) { ll a = x%p, b = y%p; ans = ans*fac[b]%p*getinv(fac[a],p)%p*getinv(b<a?0:fac[b-a],p)%p; } return ans; } int main(){ scanf("%lld%lld",&n,&q); q%=mod; if(!q) { printf("0\n"); return 0; } ll mod1 = mod -1,ans = 0,x,y; for (ll i = 1; i <= 35617; i++) fac[i] = fac[i-1]*i%mod1; for (ll i = 1; i*i<=n; i++) if (n%i==0) { for (int j = 1; j <= 4; j++) b[j] = (b[j]+lucas(i,a[j]))%a[j]; if (i*i!=n) for (int j = 1; j <= 4; j++) b[j] = (b[j]+lucas(n/i,a[j]))%a[j]; } for (int i = 1; i <= 4; i++){ exgcd(mod1/a[i],a[i],x,y); ans = (ans+x*(mod1/a[i])%mod*b[i])%mod1; } ans = (ans+mod1)%mod1; ans = qp(q,ans); printf("%lld\n", ans); return 0; }
标签：atom close lap class sum font pre href namespace
原文地址：https://www.cnblogs.com/l999q/p/11335420.html
