拓展欧几里得算法求不定方程

标签：class   算法   nbsp   size   16px   同余方程   拓展   res   psu   

对于
　　　　　　　　ax+by=gcd(a,b) 

这样的方程，可以用扩展欧几里得算法exgcd求出一组通解。

根据欧几里得求gcd：
　　　　　　　　gcd(a,b)=gcd(b,a%b) 

可得
　　　　　　　　bx+(a%b)y=gcd(b,a%b) 

根据
　　　　　　a%b=a−(a/b)∗b 

可得
　　　　　　　　bx+ay−(a/b)b∗y=gcd(b,a%b)  

化简得
　　　　　　　　ay+b(x−(a/b)y)=gcd(b,a%b)  

　　　　　　　x′=y,y′=(x−(a/b)y)

　　　　ax′+by′=gcd(b,a%b)<=>ax+by=gcd(a,b)

根据

　　　　　　gcd(a,0)=a

一直递归直到b为0时可得
　　　　　　ax+by=a 

可以得出一组平凡解
　　　　　　　　　　x=1,y=0 

所以一直递归下去可以得出一组平凡解，然后再往回带得出ax+by=gcd(a,b)的一组解（x′=y,y′=(x−(a/b)y)）

泛化来看不定方程
ax+by=c 

只有满足c%gcd(a,b)==0才有解。

求解同余方程可以用费马小定理来求也可以用拓展欧几里得来求
ax≡b mod n <==>ax+ny=b

就转变成了上述形式

费马小定理：a是上能被质数p整除的正整数，则有a^(p-1) ≡ 1(mod p)

推导：a^(p-1) = 1(mod)p = a*a^(p-2)≡1 (mod p) 因此a的逆元为 a^(p-2); 所以对于满足费马小定理的可以直接用快速幂来求

拓展欧几里得算法求不定方程

标签：class   算法   nbsp   size   16px   同余方程   拓展   res   psu   

原文地址：https://www.cnblogs.com/Accepting/p/11351578.html