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图的存储有邻接矩阵，那么他就具备一些矩阵的性质，设有一个图的demo[100][100];那么demo[M][N]就是M—>N的距离，若经过一次松弛操作demo[M][N]=demo[M][K]+demo[K][N],即为demo[M][N]经过了两条条边的最小距离，floyd是 demo[M][N]=Min(demo[M][K]+demo[K][N]，demo[M][N]）,有可能两点之间直接距离最短，不经过第三边，那我们不考虑不经过两点之间的情况，那么demo[M][N]等于 demo[M][K]+demo[K][N] 枚举K的最小值，于是出现了一类问题，叫做两点之间经过N条边的最短距离，那么类比矩阵乘法，矩阵乘法是求和，我们在这里是求最小值，那么可以改造矩阵乘法得出，不是Floyd，K放在外面和里面没有区别，放外面像是Floyd，放里面就是标准的矩阵乘法，因为这个只用一次，所有对于枚举的状态是等价的。
1 for(int k=1; k<=cnt; k++) 2 { 3 for(int i=1; i<=cnt; i++) 4 { 5 for(int j=1; j<=cnt; j++) 6 { 7 c[i][j]=Min(a[i][k]+b[k][j],c[i][j]); 8 } 9 } 10 }
每做一次类矩阵乘法，就代表将M，N松弛后多一条经过边，那么经过T次松弛后就会得到N，M经过T条边的最短距离，既然是类矩阵乘法，是不是遵循结合律呢？答案是的。对于矩阵,前面是经过T条边的最小值，后边是经过W条边的最小值，想乘代表经过了T+W条边的最小值，因为每进行一次都是插入一个点，即使点重复，那么他也会有环形出现，但还是经过了T+W条边，如此，我们可以利用矩阵快速幂求解其经过N条边之后的最小值，那么我们会发现矩阵跟图的是密不可分，一定还会有其他的特点去等待发现，它还可以用于求解图的生成树问题，下次更新。
本思想可以解决POJ3613，好像现在题没了，给一个网站https://www.acwing.com/problem/content/347/，代码附在下方。
#include<iostream> #include<queue> #include<algorithm> #include<set> #include<cmath> #include<vector> #include<map> #include<stack> #include<bitset> #include<cstdio> #include<cstring> #define Swap(a,b) a^=b^=a^=b #define cini(n) scanf("%d",&n) #define cinl(n) scanf("%lld",&n) #define cinc(n) scanf("%c",&n) #define cins(s) scanf("%s",s) #define coui(n) printf("%d",n) #define couc(n) printf("%c",n) #define coul(n) printf("%lld",n) #define speed ios_base::sync_with_stdio(0) #define Max(a,b) a>b?a:b #define Min(a,b) a<b?a:b #define mem(n,x) memset(n,x,sizeof(n)) #define INF 0x3f3f3f3f #define maxn 100010 #define esp 1e-9 #define mp(a,b) make_pair(a,b) using namespace std; const int N=300; #define clr(a) memset(a,0,sizeof(a)) int a[N][N],temp[N][N],ans[N][N]; int used[10*N]; int p[10*N]; void floyed(int a[][N],int b[][N],int c[][N],int cnt) { for(int k=1; k<=cnt; k++) { for(int i=1; i<=cnt; i++) { for(int j=1; j<=cnt; j++) { c[i][j]=Min(a[i][k]+b[k][j],c[i][j]); } } } } void copy(int n,int a[][N],int b[][N]) { for(int i=0; i<=n; i++) for(int j=0; j<=n; j++) a[i][j]=b[i][j],b[i][j]=INF; } int solve(int s,int t,int n,int cnt) { while(n) { if(n&1) { floyed(ans,a,temp,cnt); copy(cnt,ans,temp); } floyed(a,a,temp,cnt); copy(cnt,a,temp); n>>=1; } return ans[s][t]; } int main() { int n,t,S,E; scanf("%d%d%d%d",&n,&t,&S,&E); int u,v,w; int cnt=0; mem(ans,0x3f); mem(temp,0x3f); mem(a,0x3f); for(int i=0; i<t; i++) { scanf("%d%d%d",&w,&u,&v); if(!used[u]) { used[u]=1; p[u]=++cnt; a[cnt][cnt]=temp[cnt][cnt]=ans[cnt][cnt]=0; } if(!used[v]) { used[v]=1; p[v]=++cnt; a[cnt][cnt]=temp[cnt][cnt]=ans[cnt][cnt]=0; } a[p[u]][p[v]]=a[p[v]][p[u]]=w; } printf("%d\n",solve(p[S],p[E],n,cnt)); return 0; }
这个题的边不连续，要先离散化。
疯子的算法总结(九) 图论中的矩阵应用 Part 1+POJ3613 Cow Relays
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原文地址：https://www.cnblogs.com/lunatic-talent/p/11366418.html
