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归并排序+归并排序求逆序对(例题P1908)

时间:2019-09-02 23:50:01      阅读:40      评论:0      收藏:0      [点我收藏+]

标签:stdout   freopen   stack   show   lld   ++   close   out   注意   

归并排序(merge sort)

顾名思义,这是一种排序算法,时间复杂度为O(nlogn),时间复杂度上和快排一样

归并排序是分治思想的应用,我们先将n个数不断地二分,最后得到n个长度为1的区间,显然,这n个小区间都是单调的,随后合并相邻的两个区间,得到n/2个单增(减)的区间,随后我们继续合并相邻的两个区间,得到n/4个单增(减)的区间....

每次合并操作的总时间复杂度为O(n),logn次合并用时O(logn),故总时间复杂度为O(nlogn)

合并操作比较好理解,就像下图这样二分区间即可(红线代表分割线):

技术图片

 

然后,我们要如何实现O(n)的复杂度实现区间合并呢?

我们另开一个大小和原数组a大小一样的数组alt,存储需要合并的两个区间的数,方便起见,我们用pos代表alt数组的当前指向的位置,用i表示左区间当前所指的位置,用j表示右区间当前所指的位置,如下图所示:

技术图片

记此时我们合并形成的区间为[l,r],按升序排序,那么我们枚举这一区间中的pos,每次比较alt[i]和alt[j],如果alt[i] < alt[j] 那么令a[pos] = alt[i],同时pos++,i++ ,否则令a[pos] = alt[j] ,同时pos++,j++,如果左区间的数已经全部遍历,那么将右区间剩下的数依次加入pos位置,反之同理,操作过程如下图所示:

技术图片  技术图片

    技术图片

  技术图片

至此,区间[l,r]这一段区间已经完成排序,这就是归并排序的合并过程

归并排序代码

技术图片
#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<algorithm>
#include<cstring>
#include<queue>
#include<string>
#include<fstream>
#include<vector>
#include<stack>
#include <map>
#include <iomanip>

#define bug cout << "**********" << endl
#define show(x, y) cout<<"["<<x<<","<<y<<"] "
#define LOCAL = 1;
using namespace std;
typedef long long ll;
const int inf = 1e9 + 7;
const ll mod = 1e9 + 7;
const int Max = 5e5 + 10;

int n;
ll sum;
int alt[Max];

void merge(int a[], int l, int r)
{
    for(int i= l; i <= r; i ++)
    {
        alt[i] = a[i];
    }
    int mid = (l + r) >> 1;
    int i = l, j = mid + 1;
    for (int pos = l; pos <= r; pos++)
    {
        if (i == mid + 1)
        {
            a[pos] = alt[j];
            j++;
        }
        else if (j == r + 1)
        {
            a[pos] = alt[i];
            i++;
        }
        else if (alt[i] > alt[j])
        {
            a[pos] = alt[j];
            j++;
        }
        else
        {
            a[pos] = alt[i];
            i++;
        }
    }
}

void merge_sort(int a[], int l, int r)
{
    if (l == r)
        return;
    int mid = (l + r) >> 1;
    merge_sort(a, l, mid);
    merge_sort(a, mid + 1, r);
    merge(a, l, r);
}


int a[Max];

int main()
{
#ifdef LOCAL
    //    freopen("input.txt", "r", stdin);
    //    freopen("output.txt", "w", stdout);
#endif
    sum = 0;
    scanf("%d", &n);
    for (int i = 0; i < n; i++)
        scanf("%d", a + i);
    merge_sort(a, 0, n - 1);
    for(int i = 0 ;i < n ;i ++)
        printf("%d%c",a[i],i == n-1?\n: );
    return 0;
}
View Code

利用归并排序求逆序对

我们注意到在归并排序过程中,我们有一步判断:if(alt[i] > alt[j]) ,如果判断为真,那么显然,j 和 区间[i,mid]每一个点都形成逆序对,一共mid-i+1个,而且只在这个地方会出现形成逆序对的情况,那么情况就很简单了,我们将原数组进行归并排序,并在if(alt[i] > alt[j] ) 为真的时候,统计一下逆序对的个数即可。

代码区

(点击此处查看模板题)

技术图片
#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<algorithm>
#include<cstring>
#include<queue>
#include<string>
#include<fstream>
#include<vector>
#include<stack>
#include <map>
#include <iomanip>

#define bug cout << "**********" << endl
#define show(x, y) cout<<"["<<x<<","<<y<<"] "
#define LOCAL = 1;
using namespace std;
typedef long long ll;
const int inf = 1e9 + 7;
const ll mod = 1e9 + 7;
const int Max = 5e5 + 10;

int n;
ll sum;
int alt[Max];

void merge(int a[], int l, int r)
{
    for(int i= l; i <= r; i ++)
    {
        alt[i] = a[i];
    }
    int mid = (l + r) >> 1;
    int i = l, j = mid + 1;
    for (int pos = l; pos <= r; pos++)
    {
        if (i == mid + 1)
        {
            a[pos] = alt[j];
            j++;
        }
        else if (j == r + 1)
        {
            a[pos] = alt[i];
            i++;
        }
        else if (alt[i] > alt[j])
        {
            a[pos] = alt[j];
            j++;
            sum += mid - i + 1;        //i及其此后的都可以和a[j]形成逆序对
        }
        else
        {
            a[pos] = alt[i];
            i++;
        }
    }
}

void merge_sort(int a[], int l, int r)
{
    if (l == r)
        return;
    int mid = (l + r) >> 1;
    merge_sort(a, l, mid);
    merge_sort(a, mid + 1, r);
    merge(a, l, r);
}


int a[Max];

int main()
{
#ifdef LOCAL
    //    freopen("input.txt", "r", stdin);
    //    freopen("output.txt", "w", stdout);
#endif
    sum = 0;
    scanf("%d", &n);
    for (int i = 0; i < n; i++)
        scanf("%d", a + i);
    merge_sort(a, 0, n - 1);
    printf("%lld\n", sum);
    return 0;
}
View Code

归并排序+归并排序求逆序对(例题P1908)

标签:stdout   freopen   stack   show   lld   ++   close   out   注意   

原文地址:https://www.cnblogs.com/winter-bamboo/p/11449360.html

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