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习题1
1.1. 用于计算gcd(m,n)的欧几里得算法
1.1.1. 算法描述
辗转相除法，又名欧几里得算法（Euclidean algorithm），是求最大公约数(greater common divisor)的一种，通常做法是：用较小的数去除较大的数，用第二余数再去除第一余数，最终我们可以得到最终的余数为0以及最大公约数。
1.1.2.伪代码
Euclid(m,n) //使用Euclid计算gcd(m,n) //输入:两个不全为0的非负整数m,n //输出:m,n的最大公约数 while n≠0 do r ← m mod n m← n n ← r return m
1.1.3.算法实现
int Euclid(int m,int n){ int r; while(n!=0){ r=m%n; m=n; n=r; } return m; }
1.2. 用于计算gcd(m,n)的枚举算法
1.2.1.算法描述
枚举算法，是求最大公约数的一种，通常做法是：从1到自己本身进行遍历，如果说能够被整除，那么将这个数进行返回。
1.2.2.伪代码
enumeration(m,n) //使用 enumeration计算gcd(m,n) //输入:两个不全为0的非负整数m,n //输出:m,n的最大公约数 for i 1 to n by incr 1 do if ((n mod i == 0) and (m mod i == 0) ) then ans = n end if return ans
1.2.3.算法实现
int enumeration(int m,int n){ int res=1; for(int i=1;i<=n;i++) if(m%i==0&&n%i==0) res=i; return res; }
1.3. 实现Eratosthenes筛选法
1.3.1.算法描述
埃拉托色尼筛选法(sieve of Eratosthenes) ，是用来筛选素数(Prime)的一种方法，通常做法是：新建一个布尔类型的数组，从1到该数字的平方根(root)进行遍历，将自己本身的倍数变为1，那么，剩余为0的数字将是素数
1.3.2.伪代码
Eratos(n) //使用sieve of Eratosthenes打印素数表 //输入：给定数字的最大区间 //输出：小于该数字的自然数的所有素数(从小到大) np[n+1] for i 1 to n+1 incr 1 do while i*j<=n do Np[i*j]=1 for i 2 to n+1 incr 1 do if np[i]==0 then print i end if
1.3.3.算法实现
void Eratos(int n){ int np[n+1]={0}; for(int i=2;i*i<=n;i++) for(int j=2;j*i<=n;j++) np[j*i]=1; for(int i=2;i<n+1;i++) if(np[i]==0) cout<<i<<" "; }
1.4. 试验小结
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算法 |
时间复杂度 |
空间复杂度 |
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欧几里得算法 |
O(logn) |
O(1) |
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枚举算法 |
O(n) |
O(1) |
|
埃拉托色尼筛选法 |
O(nlogn) |
O(1) |
表1-1
关于三种算法，时间空间复杂度分析如上表1-1，算法课第一节课我们学习了欧几里得和枚举两种可计算gcd的算法，然而，我们欧几里得算法仍然可以简化代码，简化为递归进行求解gcd，这样实现，时间复杂度并不会提高，而空间复杂度会提高。埃氏筛法和传统素数求解不一样，传统素数求解需要O(n^2)的时间复杂度，这种筛法大大提高了求解素数的效率。
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原文地址：https://www.cnblogs.com/littlepage/p/11450795.html
