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数模常用算法系列--整数线性规划(分枝定界法)、整数非线性规划(蒙特卡洛法)

时间:2019-09-09 22:51:04      阅读:127      评论:0      收藏:0      [点我收藏+]

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整数线性规划求解----分枝定界法

什么是整数规划?

? 线性规划中的变量(部分或全部)限制为整数时,称为整数规划。若在线性规划模型中,变量限制为整数,则称为整数线性规划。目前所流行的求解整数规划的方法,往往只适用于整数线性规划。目前还没有一种方法能有效地求解一切整数规划。

整数规划的分类

    - 变量全限制为整数时,称(完全)整数规划

    - 变量部分限制为整数时,称混合整数规划            

什么是分枝定界法

? 原理如下:

? 设有最大化的整数规划问题A,与它相应的线性规划为问题B,从解问题B开始,若其最优解不符合A的整数条件,那么B的最优目标函数必是A的最优目标函数\(z^*\)的上界\(\overline{z}\);而A的任意可行解的目标函数值将是 \(z^*\)的一个下界\(\underline z\) ,分枝定界法就是将B的可行域分成子区域的方法。逐步减小\(\overline z\)和增大\(\underline z\)最终求到\(z^*\)

? 本质就是个二分回溯,逼近最大值的算法。Matlab算法如下:(强烈警告,(不会验证)由于比较懒,并未对算法正确性验证,思路上验证了一下没问题就码上来了,如果有错,请一定联系~~)

    % c,A,Aeq,Beq,LB,UB,是linprog函数的相关参数,知道了它们就可以求出对应的线性规划最优解,
    % now是目前已经知道的整数解的最大值
    function y = control(c,A,Aeq,Beq,LB,UB,now)
        ret = 0; 
        [x,fval] = linprog(c,A,Aeq,Beq,LB,UB); % x是最优解的解向量,fval是对应的函数值
        if fval < now  
             y = fval;
             return;
        end   % 如果得到的当前最优解fval小于已知的now,那说明最优整数解不在这个区间,则剪枝返回。
        for i = 1 : length(x)
            if rem(x(i),1) ~= 0  % rem(x,1)如果返回值不为0,则表示是小数。遍历x,找到第一个小数xi.
             NUB = UB; 
             NLB = LB;
             NUB(i) = floor(x(i)); % 把xi对应的上界更新为xi的向下取整。
             NLB(i) = ceil(x(i)); % 把xi对应的下届更新为xi的向上取整。
             fval1 = control(c,A,Aeq,Beq,LB,NUB,now);  %分成了两个区间, 原来下界~向下取整
            now = max(fval1,now);
             fval2 = control(c,A,Aeq,Beq,NLB,UB,now);  % 向上取整~原来上届
             ret = max(ret,fval1); % 更新得到整数最优解,并退出。
             ret = max(ret,fval2); 
             break
            end
            if  i == length(x)  %如果每个xi都是整数,那说明当前已经是整数最优,用j记录一下
             j = length(x)+1;
            end
        end
        if j == length(x)+1   %如果当前已经是整数最优,返回fval,否则返回ret。
             y = fval;
        else 
             y = ret; 
        end
   end

非线性整数规划--蒙特卡洛算法(随机取样法)

什么是非线性规划?

? 就是自变量不再是线性的规划。没错就是这个。

蒙特卡洛算法

? 对于非线 性整数规划目前尚未有一种成熟而准确的求解方法,那么找到一个相对满意的解就成了主要需求。

? 蒙特卡洛算法是一种大量随机取样枚举解,以达到存在一种解,其函数值落在了我们期望的高值区不要问我什么是高值区)。

? 那么具体多少次枚举合适呢?这是相对于问题而言的,举个例子:

? \(0\leq x_i \leq 99 ,1 \leq i \leq 5, y = x_1^2 + x_2^2+3x_3^2+4x_4^2+2x_5^2-8x_1-2x_2-3x_3-x_4-2x_5\) ,

? 解空间大小为\(100^5 = 10^{10}\),太大了,枚举不了

? 如果选择随机采样1e6,假设最优点不是孤立的奇点,并设目标函数落在可以接受的高值区的概率是0.00001,那么存在一个点落在高值区的概率为 1-\(0.99999^{1000000}\) \(\approx\) 0.999954602,显然这个概率是可以接受的,也即是我们认为通过随机采样1e6,是能够得到满足期望的解。

? 随机采样的算法就不写了,因为太懒了(因为不会)。

今日感触:matlab的库函数是真的多,基础语法还是不行啊,以及数模的算法还挺有意思的,虽然高大上,其实也就那样。

数模常用算法系列--整数线性规划(分枝定界法)、整数非线性规划(蒙特卡洛法)

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原文地址:https://www.cnblogs.com/backkom-buaa/p/11494398.html

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