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算法设计与分析——矩阵连乘问题

时间:2019-09-21 21:00:33      阅读:199      评论:0      收藏:0      [点我收藏+]

标签:strong   bsp   算法   oid   复杂   int   http   算法设计   计算   

问题描述:

给定n个矩阵{A1,A2,…,An},其中Ai与Ai+1是可乘的,i=1,2…,n-1。如何确定计算矩阵连乘积的计算次序,使得依此次序计算矩阵连乘积需要的数乘次数最少。例如,给定三个连乘矩阵{A1,A2,A3}的维数分别是10*100,100*5和5*50,采用(A1A2)A3,乘法次数为10*100*5+10*5*50=7500次,而采用A1(A2A3),乘法次数为100*5*50+10*100*50=75000次乘法,显然,最好的次序是(A1A2)A3,乘法次数为7500次。

加括号的方式对计算量有很大的影响,于是自然地提出矩阵连乘的最优计算次序问题,即对于给定的相继n个矩阵,如何确定矩阵连乘的计算次序,使得依此次序计算矩阵连乘积需要的数乘次数最少。

问题分析:

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 矩阵连乘也是Catalan数的一个常用的例子,关于时间复杂度的推算需要参考离散数学关于Catalan的内容。

下面考虑使用动态规划法解矩阵连乘积的最优计算次序问题。

1、分析最优解的结构

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 问题的最优子结构性质是该问题可以用动态规划求解的显著特征!!!

2、建立递归关系

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 3、计算最优值

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public static void matrixChain(int n) {
    for (int i = 1; i <= n; i++) {
        m[i][i] = 0;
    }
    for (int r = 2; r <= n; r++) {//i与j的差值
        for (int i = 1; i <= n - r + 1; i++) {
            int j = i + r - 1;
            m[i][j] = m[i + 1][j] + p[i - 1] * p[i] * p[j];
            s[i][j] = i;
            for (int k = i + 1; k < j; k++) {
                int t = m[i][k] + m[k + 1][j] + p[i - 1] * p[k] * p[j];
                if (t < m[i][j]) {
                    m[i][j] = t;
                    s[i][j] = k;
                }
            }
        }
    }
}

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算法设计与分析——矩阵连乘问题

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原文地址:https://www.cnblogs.com/wkfvawl/p/11564275.html

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