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凸包：用一个凸多边形将所有点围起来，这个凸多边形就是凸包
1.先要引入一个数学工具，向量叉积
|c|=|a×b|=|a| |b|sinα （α为a，b向量之间的夹角）
则 |c| 为向量a ，b所组成的平行四边形的面积
这里是用叉积判断两向量的相对位置关系（非常有用！）
则 a x b < 0 (a在b的逆时针方向 ） , b x a > 0（b在a的顺时针方向）
//求叉积 struct node{ double x ,y; node operator -( const node & s ){ return {x-s.x , y-s.y}; } }p[N] ,s[N]; inline double X( node a ,node b ){ return a.x*b.y - b.x*a.y; }
2. Graham扫描法求凸包
1）找出所有点中在最左下角的点定为极点
//找左下边界点 int k = 1; rep( i ,2 ,n ){ if( p[i].y < p[k].y || p[i].y == p[k].y && p[i].x < p[k].x ) k = i; } swap( p[1] ,p[k] );
2）利用叉积进行极角排序
//极角比较 bool cmp ( node &a , node &b ){ double x = X(a-p[1] ,b-p[1]); //叉积判断向量位置关系 if( x > 0 )return 1; if( x==0 && dis( a ,p[1])<dis( b ,p[1]) )return 1; return 0; }
//极角排序 sort( p+2 ,p+n+1 ,cmp);
3）存凸包
s为存凸包的栈 ，t为栈顶
则由以下关系用叉积取舍s中的点
//将凸包存在s中 s[1] = p[1]; s[2] = p[2]; int t = 2; rep( i ,3 ,n ){ while( t >= 2 && mul( s[t-1] ,s[t] ,p[i] )<=0 )t--; s[++t] = p[i]; }
然后凸包就求出来了
模板题 ：
#include <iostream> #include <cstdio> #include <cmath> #include <algorithm> #include <set> #include <queue> #include <stack> #include <string> #include <cstring> #include <vector> #include <map> #include <unordered_map> #define mem( a ,x ) memset( a , x ,sizeof(a) ) #define rep( i ,x ,y ) for( int i = x ; i<=y ;i++ ) #define lson l ,mid ,pos<<1 #define rson mid+1 ,r ,pos<<1|1 #define Fi first #define Se second using namespace std; typedef long long ll ; typedef pair<int ,int> pii; typedef pair<ll ,int> pli; const ll inf = 0x3f3f3f3f; const int N = 1e5+5; const ll mod = 1e9+7; int n ,m; //求叉积 struct node{ double x ,y; node operator -( const node & s ){ return {x-s.x , y-s.y}; } }p[N] ,s[N]; inline double X( node a ,node b ){ return a.x*b.y - b.x*a.y; } inline double dis( node a ,node b ){ return sqrt( (a.x-b.x)*(a.x-b.x)+(a.y-b.y)*(a.y-b.y)); } inline double mul( node a ,node b ,node c ){ return X(b-a ,c-a); } //极角比较 bool cmp ( node &a , node &b ){ double x = X(a-p[1] ,b-p[1]); //叉积判断向量位置关系 if( x > 0 )return 1; if( x==0 && dis( a ,p[1])<dis( b ,p[1]) )return 1; return 0; } //Graham 扫描 int graham( ){ //找左下边界点 int k = 1; rep( i ,2 ,n ){ if( p[i].y < p[k].y || p[i].y == p[k].y && p[i].x < p[k].x ) k = i; } swap( p[1] ,p[k] ); //极角排序 sort( p+2 ,p+n+1 ,cmp); //将凸包存在s中 s[1] = p[1]; s[2] = p[2]; int t = 2; rep( i ,3 ,n ){ while( t >= 2 && mul( s[t-1] ,s[t] ,p[i] )<=0 )t--; s[++t] = p[i]; } return t; } int main( ){ scanf("%d" ,&n); rep( i ,1 ,n ){ scanf("%lf%lf" ,&p[i].x ,&p[i].y ); } int sz = graham( ); double ans = dis(s[1] ,s[sz]); rep( i ,1 ,sz-1 )ans += dis( s[i] ,s[i+1] ) ; printf("%.2f" ,ans); return 0; }
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