POJ3243 EXT-BSGS算法

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做这道题之前需要先做一下POJ2417,我的题解：http://blog.csdn.net/wyfcyx_forever/article/details/40538515

现在来看这个问题：Ax≡B(mod C)

已知A,B,C<=10^9,给定A,B,C,求x的最小整数解。

注意这里的A,B,C没有任何限制！

那么考虑我们的传统的GSBS算法为何不能解决这个问题：假设枚举的某个i,我们要利用拓展欧几里得求出存不存在某个A^j（0<=j<m）,使得A^(i*m)*A*j%C=B.

那么令A^j=x,我们事实上要求的是一个二元方程的整数解：A^(i*m)x+Cy=B.我们知道有解当且仅当gcd(A,C)|B,然而目前没有任何限制，显然是不一定满足的。

我们要对算法进行一些修改，使得其可以进行上述的处理。具体证明去看AekdyCoin犇的题解，我就是简单讲一下我的理解。

一开始的方程等价于A^x*a+C*b=B(a,b是整数)，现在gcd(A，C)!=1,不妨令t=gcd(A,C)

我们考虑方程(A/t)A^x‘%(C/t)=(B/t)的解x‘与原来的解x有什么关系。

显然现在的方程等价于(A/t)A^x‘*a‘+(C/t)*b‘=B/t.

两端均乘以t得到：A^(x‘+1)*a‘+C*b‘=B

由系数相等有:x=x‘+1,a=a‘,b=b‘.

那么我们就有一种方法算出x了。先算出x‘,再加上1就行了。

考虑如何求出x‘,现在的方程如果A,C依旧不互质，就继续迭代将系数除以最大公约数，同时前面的常数增大。

然后求出解之后再加上总共除的次数就好了。

Code:

#include <cmath>
#include <cstdio>
#include <cctype>
#include <cstring>
#include <climits>
#include <iostream>
#include <algorithm>
using namespace std;

typedef long long LL;
inline LL gcd(LL a, LL b) {
	return (!b) ? a : gcd(b, a % b);
}
inline void Exgcd(LL a, LL b, LL &d, LL &x, LL &y) {
	if (!b) { d = a, x = 1, y = 0; }
	else { Exgcd(b, a % b, d, y, x), y -= x * (a / b); }
}
inline LL Solve(LL a, LL b, LL c) {// ax%c=b S.T. (a,c)=1
	LL d, x, y;
	Exgcd(a, c, d, x, y);
	x = (x + c) % c;
	return x * b % c;
}
inline LL Ksm(LL x, LL y, LL p) {
	LL res = 1, t = x;
	for(; y; y >>= 1) {
		if (y & 1) res = res * t % p;
		t = t * t % p;
	}
	return res;
}

#define mod 1313131
struct Hashset {
	int head[mod], next[35010], f[35010], v[35010], ind;
	void reset() {
		ind = 0;
		memset(head, -1, sizeof head);
	}
	void Insert(int x, int _v) {
		int ins = x % mod;
		for(int j = head[ins]; j != -1; j = next[j])
			if (f[j] == x) {
				v[j] = min(v[j], _v);
				return;
			}
		f[ind] = x, v[ind] = _v;
		next[ind] = head[ins], head[ins] = ind++;
	}
	int operator [] (const int &x) const {
		int ins = x % mod;
		for(int j = head[ins]; j != -1; j = next[j])
			if (f[j] == x)
				return v[j];
		return -1;
	}
}S;

LL BSGS(LL C, LL A, LL B, LL p) {// A^x%p=B S.T.(A,p)=1
	if (p <= 100) {
		LL d = 1;
		for(int i = 0; i < p; ++i) {
			if (d == B)
				return i;
			d = d * A % p;
		}
		return -1;
	}
	else {
		int m = (int)sqrt(p);
		S.reset();
		LL d = 1, Search;
		for(int i = 0; i < m; ++i) {
			S.Insert(d, i);
			d = d * A % p;
		}
		for(int i = 0; i * m < p; ++i) {
			d = Ksm(A, i * m, p) * C % p;
			Search = S[Solve(d, B, p)];
			if (Search != -1)
				return i * m + Search;
		}
		return -1;
	}
}

int main() {
	LL x, z, k;
	register LL i, j;
	while(scanf("%I64d%I64d%I64d", &x, &z, &k) == 3 && (x + z + k)) {
		LL d = 1;
		bool find = 0;
		for(i = 0; i < 100; ++i) {
			if (d == k) {
				printf("%I64d\n", i);
				find = 1;
				break;
			}
			d = d * x % z;
		}
		if (find)
			continue;
		
		LL t, C = 1, num = 0;
		bool failed = 0;
		while((t = gcd(x, z)) != 1) {
			if (k % t != 0) {
				failed = 1;
				break;
			}
			z /= t;
			k /= t;
			C = C * x / t % z;
			++num;
		}
		
		if (failed) {
			puts("No Solution");
			continue;
		}
		
		LL res = BSGS(C, x, k, z);
		if (res == -1)
			puts("No Solution");
		else
			printf("%I64d\n", res + num);
	}
	
	return 0;
}

POJ3243 EXT-BSGS算法

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原文地址：http://blog.csdn.net/wyfcyx_forever/article/details/40539169