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前向分步算法

一、前向分步算法引入

假设Nick的年龄是25岁。

1. 第1棵决策树

把Nick的年龄设置成初始值0岁去学习，如果第1棵决策树预测Nick的年龄是12岁，即残差值为\(25-12=13\)

1. 第2课决策树
   1. 把Nick的年龄设置成残差值13岁去学习，如果第2棵决策树能把Nick分到13岁的叶子节点，累加两棵决策树的预测值加和\(12+13=25\)，就是Nick的真实年龄25岁
   2. 如果第2棵决策树的得到的是10岁，残差值为\(25-12-10=3\)
2. 第3课决策树

把Nick的年龄设置成残差值3岁去学习……

1. 继续重复上述过程学习，不断逼近Nick的真实年龄

二、前向分步算法详解

2.1 加法模型

加法模型(additive model)一般表示为弱学习器加和
\[ f(x) = \sum_{t=1}^T\theta_tb(x;\gamma_t) \]
其中\(b(x;\gamma_t)\)为弱学习器，\(\gamma_t\)为弱学习器的参数，\(\theta_t\)为弱学习器的系数。

2.2 加法模型目标函数优化问题

给定训练数据以及目标函数\(L(y,f(x))\)，加法模型的经验风险最小化问题既可以变为目标函数最小化问题
\[ \underbrace{min}_{\theta_t,\gamma_t}\sum_{i=1}^mL(y_i,\sum_{t=1}^T\theta_tb(x_i;\gamma_t)) \]
上述加法模型的目标函数优化问题是一个很复杂的优化问题，但是通过前向分布算法(forward stagewise algorithm)可以解决这一问题，它的思想是：因为学习问题是加法模型，所以每一步只学习一个弱学习器及其系数，然后逐步逼近优化目标函数，也就是说，每一步只需要优化如下所示的目标函数
\[ \underbrace{min}_{\theta,\gamma}\sum_{i=1}^mL(y_i,\theta{b(x_i;\gamma)}) \]

三、前向分步算法流程

3.1 输入

有\(m\)个数据\(n\)个特征的训练数据集\(T=\{(x_1,y_1),(x_2,y_2),\cdots,(x_m,y_m)\}\)；目标函数\(L(y,f(x))\)；弱学习模型集\(\{b(x;\gamma_t)\},\quad(t=1,2,\cdots,T)\)，在Boosting算法中\(T\)相当于弱学习器的个数。

3.2 输出

加法模型\(f(x)\)。

3.3 流程

1. 初始化\(f_0(x)=0\)
2. 对\(t=1,2,\cdots,T\)
   1. 极小化目标函数
      \[ (\theta_t,\gamma_t)=\underbrace{arg\,min}_{\theta,\gamma}\sum_{i=1}^mL(y_i,f_{t-1}(x_i)+\theta{b(x_i;\gamma)}) \]
      得到参数\(\theta_t,\gamma_t\)
   2. 更新
      \[ f_t(x)=f_{t-1}(x)+\theta_tb(x;\gamma_t) \]
3. 得到加法模型
   \[ f(x)=f_T(x)=\sum_{t=1}^T\theta_tb(x;\gamma_t) \]

A-07 前向分步算法

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