【JZOJ3672】【JSOI2014】拼图(puzzle)

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题目大意

将一个\(n*m\)的01矩阵沿着列切几刀，拆成若干个\(n*w_i\)大小的矩阵，你可以重新任意排列它们来拼成一个新的\(n*m\)的01矩阵，使得矩阵中最大的全0矩形面积最大。

Solution

这题关键在于\(n*m\leq 10^5\)，即矩阵大小不超过\(10^5\)。一种直觉是平衡规划，即分\(n\leq \sqrt{10^5}\)和\(m\leq \sqrt{10^5}\)两种情况分别设计算法。

• \(n\leq \sqrt{10^5}\)

枚举最终全0矩形的上下边界\(l,r\)，然后对每个小矩阵分类。若小矩阵内第\(l\)行至第\(r\)行全部为0，分为I类，否则分为II类。

最后肯定是把I类的矩阵放在中间，两边放II类的矩阵来凑成一个全0矩形，那么，我们需要计算I类矩阵宽度之和，以及II类矩阵在左边最多几列为全0，右边最多几列为全0。需要注意的是，左右不能用II类矩阵中的同一个，所以我们还要记录一下次大值，不能用最大值时用次大值替换。

时间复杂度\(O(n^2m)=O(10^5n)\)，\(n\)是根号级别的，显然不会超时。

• \(m\leq 10^5\)

这时就不能直接枚举矩形的上下边界了，我们可以用另一种方法枚举上下边界：

记录矩形中每个点\((i,j)\)往上第一个\(1\)的行号（记作\(up[i][j]\)）。枚举矩形中的每个点\((i,j)\)，将\(up[i][j]\)作为上边界，\(i\)作为下边界。（替换了原来暴力枚举的上边界\(r\)，下边界\(l\)）

剩下的过程套用上面的即可，时间复杂度\(O(nm^2)=O(10^5m)\)，\(m\)是根号级别的，也不会超时。

至此，问题解决。

Code

#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<algorithm>
using namespace std;

const int N=100007;

int T;
int s,n,m,ans,w[N],st[N],en[N],sum[N],a[N],up[N];

int id(int x,int y){
    if(x<1||y<1)return 0;
    return (y-1)*n+x;
}
int get(int x1,int x2,int y1,int y2){
    return sum[id(x2,y2)]-sum[id(x1-1,y2)]-sum[id(x2,y1-1)]+sum[id(x1-1,y1-1)];
}

void calc(int l,int r){
    for(int i=1;i<=s;++i)for(int j=st[i],ret=0;j<=en[i];++j){
        if(get(l,r,j,j)==0)++ret;
        else ret=0;
        ans=max(ans,(r-l+1)*ret);
    }
    int L[2][2],R[2][2],mid=0;
    memset(L,0,sizeof(L));
    memset(R,0,sizeof(R));
    for(int i=1;i<=s;++i){
        int mxl=0,mxr=0;
        for(int j=st[i];j<=en[i];++j)if(get(l,r,j,j)==0)++mxl;else break;
        for(int j=en[i];j>=st[i];--j)if(get(l,r,j,j)==0)++mxr;else break;
        if(mxl==w[i])mid+=w[i];
        else{
            if(mxl>L[0][0])L[0][0]=mxl,L[0][1]=i;
            else if(mxl>L[1][0])L[1][0]=mxl,L[1][1]=i;
            if(mxr>R[0][0])R[0][0]=mxr,R[0][1]=i;
            else if(mxr>R[1][0])R[1][0]=mxr,R[1][1]=i;
        }
    }
    for(int p=0;p<2;++p)for(int q=0;q<2;++q)if(L[p][1]!=R[q][1])ans=max(ans,(r-l+1)*(mid+L[p][0]+R[q][0]));
    ans=max(ans,(r-l+1)*(mid+L[0][0]));
    ans=max(ans,(r-l+1)*(mid+R[0][0]));
}

int main(){
    scanf("%d",&T);
    while(T--){
        m=ans=0;
        scanf("%d%d",&s,&n);
        memset(w,0,sizeof(w));
        memset(st,0,sizeof(st));
        memset(en,0,sizeof(en));
        memset(sum,0,sizeof(sum));
        memset(a,0,sizeof(a));
        memset(up,0,sizeof(up));
        for(int i=1;i<=s;++i){
            scanf("%d",&w[i]);
            st[i]=m+1;
            for(int j=1;j<=n;++j)for(int k=1;k<=w[i];++k){
                char c;scanf(" %c",&c);
                a[id(j,m+k)]=c-'0';
            }
            m+=w[i],en[i]=m;
        }
        for(int i=1;i<=n;++i)for(int j=1;j<=m;++j)sum[id(i,j)]=sum[id(i-1,j)]+sum[id(i,j-1)]-sum[id(i-1,j-1)]+a[id(i,j)];
        for(int j=1;j<=m;++j)
            for(int i=1,lst=0;i<=n+1;++i)
                if(i>n||a[id(i,j)]){
                    for(int k=lst+1;k<=i-1;++k)up[id(k,j)]=i-1;
                    lst=i;
                }
        if(n<m)for(int i=1;i<=n;++i)for(int j=i;j<=n;++j)calc(i,j);
        else for(int i=1;i<=n;++i)for(int j=1;j<=m;++j)calc(i,up[id(i,j)]);
        printf("%d\n",ans);
    }
    return 0;
}

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