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人们站在一个等待被处决的圈子里。计数从圆圈中指定点开始,并沿着指定方向围绕圆圈进行。在跳过指定数量的人之后,执行下一个人。对剩下的人重复该过程,从下一个开始,朝同一方向跳过相同数量的人,直到只剩下一个人,并被释放。这是由一位犹太历史学家约瑟夫根据经历来命名的问题,他和他的40个战友被罗马军队包围在洞中,他们讨论是自杀还是被俘,最终决定自杀,并以抽签的方式决定谁杀掉谁。这个问题即,给定人数、起点、方向和要跳过的数字,选择初始圆圈中的位置以避免被处决。
该问题具有以下递归结构。
1 josephus(n, k) = (josephus(n - 1, k) + k-1) % n + 1 2 josephus(1, k) = 1
第一个人(从第 k 个开始)被杀死后,剩下 n-1 个人。因此,我们将 josephus(n – 1,k)称为 n-1 人。但是 josephus(n – 1,k)返回的位置将考虑从 k%n + 1 开始的位置。因此,我们必须对 josephus(n – 1,k)返回的位置进行调整。
设 为一开始有 个人时,生还者的位置(注意:最终的生还者只有一个)。走了一圈以后,所有偶数号码的人被杀。再走第二圈,则新的第二、第四、……个人被杀,等等;就像没有了第一圈一样。如果一开始有偶数个人,则第二圈时位置为 的人一开始在第 个位置。因此位置为 的人开始时的位置为 。这便给出了以下的递推公式:
如果一开始有奇数个人,则走了一圈以后,最终是号码为 1 的人被杀。于是同样地,再走第二圈时,新的第二、第四、……个人被杀,等等。在这种情况下,位置为 的人原先位置为 。这便给出了以下的递推公式:
如果我们把 和 的值列成表,可以看出一个规律:
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从中可以看出, 是一个递增的奇数数列,每当 n 是2的幂时,便重新从 开始。因此,如果我们选择 m 和 l,使得 且 ,那么。注意:2m 是不超过 n 的最大幂,l 是留下的量。显然,表格中的值满足这个方程。我们用数学归纳法给出一个证明。
定理:如果且 ,则 。
证明:对 应用 数学归纳法。的情况显然成立。我们分别考虑 是偶数和 是奇数的情况。
如果 是偶数,则我们选择 和 ,使得 ,且 。注意 。我们有 ,其中第二个等式从归纳假设推出。
如果 是奇数,则我们选择 和 ,使得 ,且 。注意 。我们有,其中第二个等式从归纳假设推出。证毕。
一般情况下,考虑生还者的号码从到的变化, 我们可以得到以下的递推公式(编号从0开始):
,
这种方法的 运行时间复杂度 是 。
1 package algorithm; 2 3 public class JosephusProblem { 4 private static int josephus(int n, int k) { 5 if (n == 1) 6 return 1; 7 else 8 return (josephus(n-1, k) + k - 1) % n + 1; 9 } 10 11 public static void main(String[] args) { 12 int n = 14; 13 int k = 2; 14 System.out.println("The chosen place is " + josephus(n, k)); 15 } 16 }
参考:约瑟夫问题
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原文地址:https://www.cnblogs.com/magic-sea/p/12041509.html