简单易懂的拓扑排序

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1.定义

对一个有向无环图(Directed Acyclic Graph简称DAG) G进行拓扑排序，是将G中所有顶点排成一个线性序列，使得图中任意一对顶点u和v，若边(u,v)∈E(G)，则u在线性序列中出现在v之前。通常，这样的线性序列称为满足拓扑次序(Topological Order)的序列，简称拓扑序列。简单的说，由某个集合上的一个偏序得到该集合上的一个全序，这个操作称之为拓扑排序。

在AOV网中，若不存在回路，则所有活动可排列成一个线性序列，使得每个活动的所有前驱活动都排在该活动的前面，我们把此序列叫做拓扑序列(Topological order)，由AOV网构造拓扑序列的过程叫做拓扑排序(Topological sort)。AOV网的拓扑序列不是唯一的，满足上述定义的任一线性序列都称作它的拓扑序列。　

2.拓扑排序的实现步骤

在有向图中选一个没有前驱的顶点并且输出。

从图中删除该顶点和所有以它为尾的弧（白话就是：删除所有和它有关的边）。

重复上述两步，直至所有顶点输出，或者当前图中不存在无前驱的顶点为止，后者代表我们的有向图是有环的，因此，也可以通过拓扑排序来判断一个图是否有环。

3.拓扑排序实例手动实现

如果我们有如下的一个有向无环图，我们需要对这个图的顶点进行拓扑排序，过程如下：

首先，我们发现V6和v1是没有前驱的，所以我们就随机选去一个输出，我们先输出V6，删除和V6有关的边，得到如下图结果：

然后，我们继续寻找没有前驱的顶点，发现V1没有前驱，所以输出V1，删除和V1有关的边，得到下图的结果：

然后，我们又发现V4和V3都是没有前驱的，那么我们就随机选取一个顶点输出（具体看你实现的算法和图存储结构），我们输出V4，得到如下图结果：

然后，我们输出没有前驱的顶点V3，得到如下结果：

然后，我们分别输出V5和V2，最后全部顶点输出完成，该图的一个拓扑序列为：

v6–>v1—->v4—>v3—>v5—>v2

过程简述：

从 DAG 图中选择一个 没有前驱（即入度为0）的顶点并输出。

从图中删除该顶点和所有以它为起点的有向边。

重复 1 和 2 直到当前的 DAG 图为空或当前图中不存在无前驱的顶点为止。若当前图中不存在无前驱的顶点说明有向图中必存在环。

4.拓扑排序Java实现

（1）   示例

现在你总共有 n 门课需要选，记为 0 到 n-1。

在选修某些课程之前需要一些先修课程。 例如，想要学习课程 0 ，你需要先完成课程 1 ，我们用一个匹配来表示他们: [0,1]

给定课程总量以及它们的先决条件，判断是否可能完成所有课程的学习？

示例 1:

输入: 2, [[1,0]]

输出: true

解释: 总共有 2 门课程。学习课程 1 之前，你需要完成课程 0。所以这是可能的。

示例 2:

输入: 2, [[1,0],[0,1]]

输出: false

解释: 总共有 2 门课程。学习课程 1 之前，你需要先完成?课程 0；并且学习课程 0 之前，你还应先完成课程 1。这是不可能的。

说明:

输入的先决条件是由边缘列表表示的图形，而不是邻接矩阵。详情请参见图的表示法。

你可以假定输入的先决条件中没有重复的边。

（2）   截图步骤：

本题思路：采用拓扑排序+广度优先搜索的方式进行求解。

步骤一：对所有节点建立一个入度表times，times[i]表示第i个节点有多少个入度，（这里入度的意思是当实现此节点时，需要多少个前驱节点的支持）。

步骤二：将入度表中入度为0的节点添加到队列que中。

步骤三：取出队列第一个元素temp；并将times中，以该节点作为前驱节点的入度减一，并判断入度是否等于0，如果等于0加入到队列中。

步骤四：重复步骤三，知道队列为空，判断times中是否存在非0的节点，如果存在则说明有环，不存在说明无环。（其中队列每次输出的值就是拓排序的输出值）

（3）   Java代码：

class Solution {
    public boolean canFinish(int numCourses, int[][] prerequisites) {
       int []times=new int[numCourses];
        for(int i=0;i<prerequisites.length;i++) {
            int num=prerequisites[i][0];
            times[num]=times[num]+1;
        }
        Queue<Integer> que=new LinkedList<Integer>();
        for(int j=0;j<times.length;j++) {
            if(times[j]==0) {
                que.add(j);
            }
        }
        while(!que.isEmpty()) {
            int temp=que.poll();
            for(int m=0;m<prerequisites.length;m++) {
                if(prerequisites[m][1]==temp) {
                    times[prerequisites[m][0]]--;
                    if(times[prerequisites[m][0]]==0) {
                        que.add(prerequisites[m][0]);
                    }
                }
            }
        }
        for(int e=0;e<times.length;e++) {
            if(times[e]!=0) {
                return false;
            }
        }
        return true;
    }
}

简单易懂的拓扑排序

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原文地址：https://www.cnblogs.com/xiaobaidashu/p/12080683.html