标签：子集和 若是 排序算法 种子 声明 creat 水果 函数定义 bbb
1 1.1 第1章─概论 2 3 1.1.1 练习题 4 1. 下列关于算法的说法中正确的有（ ）。 5 Ⅰ.求解某一类问题的算法是唯一的 6 Ⅱ.算法必须在有限步操作之后停止 7 Ⅲ.算法的每一步操作必须是明确的，不能有歧义或含义模糊 8 Ⅳ.算法执行后一定产生确定的结果 9 A. 1个 B.2个 C.3个 D.4个 10 2. T(n)表示当输入规模为n时的算法效率，以下算法效率最优的是（ ）。 11 A.T(n)= T(n-1)+1，T(1)=1 B.T(n)= 2n2 12 C.T(n)= T(n/2)+1，T(1)=1 D.T(n)=3nlog2n 13 3. 什么是算法？算法有哪些特征？ 14 4. 判断一个大于2的正整数n是否为素数的方法有多种，给出两种算法，说明其中 15 一种算法更好的理由。 16 5. 证明以下关系成立： 17 （1）10n2-2n=?(n2) 18 （2）2n+1=?(2n) 19 6. 证明O(f(n))+O(g(n))=O(max{f(n)，g(n)}) 。 20 7. 有一个含n（n>2）个整数的数组a，判断其中是否存在出现次数超过所有元素一 21 半的元素。 22 8. 一个字符串采用string对象存储，设计一个算法判断该字符串是否为回文。 23 9. 有一个整数序列，设计一个算法判断其中是否存在两个元素和恰好等于给定的整 24 数k。 25 10. 有两个整数序列，每个整数序列中所有元素均不相同。设计一个算法求它们的公 共元素，要求不使用STL的集合算法。 26 11. 正整数n（n>1）可以写成质数的乘积形式，称为整数的质因数分解。例如， 12=2*2*3，18=2*3*3，11=11。设计一个算法求n这样分解后各个质因数出现的次数，采 用vector向量存放结果。 27 12. 有一个整数序列，所有元素均不相同，设计一个算法求相差最小的元素对的个 数。如序列4、1、2、3的相差最小的元素对的个数是3，其元素对是（1，2），（2，3）， （3，4）。 28 13. 有一个map<string，int>容器，其中已经存放了较多元素。设计一个算法求出其 中重复的value并且返回重复value的个数。 29 14. 重新做第10题，采用map容器存放最终结果。 30 15. 假设有一个含n（n>1）个元素的stack<int>栈容器st，设计一个算法出栈从栈顶 31 到栈底的第k（1≤k≤n）个元素，其他栈元素不变。 32 33 算法设计 34 35 1.1.2 练习题参考答案 36 1. 答：由于算法具有有穷性、确定性和输出性，因而Ⅱ、Ⅲ、Ⅳ正确，而解决某一 37 类问题的算法不一定是唯一的。答案为C。 38 2. 答：选项A的时间复杂度为O(n)。选项B的时间复杂度为O(n2)。选项C的时间 39 复杂度为O(log2n)。选项D的时间复杂度为O(nlog2n)。答案为C。 40 3. 答：算法是求解问题的一系列计算步骤。算法具有有限性、确定性、可行性、输 41 入性和输出性5个重要特征。 42 4. 答：两种算法如下： 43 #include <stdio.h> 44 #include <math.h> 45 bool isPrime1(int n) //方法1 46 { for (int i=2;i<n;i++) 47 if (n%i==0) 48 return false; 49 return true; 50 } 51 bool isPrime2(int n) //方法2 52 { for (int i=2;i<=(int)sqrt(n);i++) 53 if (n%i==0) 54 return false; 55 return true; 56 } 57 void main() 58 { int n=5; 59 printf("%d,%d\n",isPrime1(n),isPrime2(n)); 60 } 61 方法1的时间复杂度为O(n)，方法2的时间复杂度为n，所以方法2更好。 62 5. 答：（1）当n足够大时，(10n2-2n)/( n2)=10，所以10n2-2n=?(n2)。 63 （2）2n+1=2*2n=?(2n)。 64 6. 证明：对于任意f1(n)∈O(f(n)) ，存在正常数c1和正常数n1，使得对所有n≥n1， 65 有f1(n)≤c1f(n) 。 66 类似地，对于任意g1(n)∈O(g(n)) ，存在正常数c2和自然数n2，使得对所有n≥n2， 67 有g1(n)≤c2g(n) 。 68 令c3=max{c1，c2}，n3=max{n1，n2}，h(n)= max{f(n)，g(n)} 。 69 则对所有的n≥n3，有： 70 f1(n) +g1(n)≤c1f(n) + c2g(n)≤c3f(n)+c3g(n)=c3(f(n)+g(n)) 71 ≤c32max{f(n)，g(n)}=2c3h(n)=O(max{f(n)，g(n)})。 72 7. 解：先将a中元素递增排序，再求出现次数最多的次数maxnum，最后判断是否满 73 足条件。对应的程序如下： 74 #include <stdio.h> 75 #include <algorithm> 76 using namespace std; 77 78 2 79 第1章 概论 80 81 bool solve(int a[],int n,int &x) 82 { sort(a,a+n); //递增排序 83 int maxnum=0; //出现次数最多的次数 84 int num=1; 85 int e=a[0]; 86 for (int i=1;i<n;i++) 87 { if (a[i]==e) 88 { num++; 89 if (num>maxnum) 90 { maxnum=num; 91 x=e; 92 } 93 } 94 else 95 { e=a[i]; 96 num=1; 97 } 98 } 99 if (maxnum>n/2) 100 return true; 101 else 102 return false; 103 } 104 void main() 105 { int a[]={2,2,2,4,5,6,2}; 106 int n=sizeof(a)/sizeof(a[0]); 107 int x; 108 if (solve(a,n,x)) 109 printf("出现次数超过所有元素一半的元素为%d\n",x); else 110 printf("不存在出现次数超过所有元素一半的元素\n"); } 111 上述程序的执行结果如图1.1所示。 112 113 114 115 116 图1.1 程序执行结果 117 8. 解：采用前后字符判断方法，对应的程序如下： 118 #include <iostream> 119 #include <string> 120 using namespace std; 121 bool solve(string str) //判断字符串str是否为回文 { int i=0,j=str.length()-1; 122 while (i<j) 123 { if (str[i]!=str[j]) 124 return false; 125 126 3 127 128 算法设计 129 130 i++; j--; 131 } 132 return true; 133 } 134 void main() 135 { cout << "求解结果" << endl; 136 string str="abcd"; 137 cout << " " << str << (solve(str)?"是回文":"不是回文") << endl; 138 string str1="abba"; 139 cout << " " << str1 << (solve(str1)?"是回文":"不是回文") << endl; } 140 上述程序的执行结果如图1.2所示。 141 142 143 144 145 146 图1.2 程序执行结果 147 9. 解：先将a中元素递增排序，然后从两端开始进行判断。对应的程序如下： 148 #include <stdio.h> 149 #include <algorithm> 150 using namespace std; 151 bool solve(int a[],int n,int k) 152 { sort(a,a+n); //递增排序 153 int i=0, j=n-1; 154 while (i<j) //区间中存在两个或者以上元素 155 { if (a[i]+a[j]==k) 156 return true; 157 else if (a[i]+a[j]<k) 158 i++; 159 else 160 j--; 161 } 162 return false; 163 } 164 void main() 165 { int a[]={1,2,4,5,3}; 166 int n=sizeof(a)/sizeof(a[0]); 167 printf("求解结果\n"); 168 int k=9,i,j; 169 if (solve(a,n,k,i,j)) 170 printf(" 存在: %d+%d=%d\n",a[i],a[j],k); 171 else 172 printf(" 不存在两个元素和为%d\n",k); 173 int k1=10; 174 if (solve(a,n,k1,i,j)) 175 printf(" 存在: %d+%d=%d\n",a[i],a[j],k1); 176 4 177 第1章 概论 178 179 else 180 printf(" 不存在两个元素和为%d\n",k1); } 181 上述程序的执行结果如图1.3所示。 182 183 184 185 186 187 图1.3 程序执行结果 188 10. 解：采用集合set<int>存储整数序列，集合中元素默认是递增排序的，再采用二 189 路归并算法求它们的交集。对应的程序如下： 190 #include <stdio.h> 191 #include <set> 192 using namespace std; 193 void solve(set<int> s1,set<int> s2,set<int> &s3) //求交集s3 194 { set<int>::iterator it1,it2; 195 it1=s1.begin(); it2=s2.begin(); 196 while (it1!=s1.end() && it2!=s2.end()) 197 { if (*it1==*it2) 198 { s3.insert(*it1); 199 ++it1; ++it2; 200 } 201 else if (*it1<*it2) 202 ++it1; 203 else 204 ++it2; 205 } 206 } 207 void dispset(set<int> s) //输出集合的元素 208 { set<int>::iterator it; 209 for (it=s.begin();it!=s.end();++it) 210 printf("%d ",*it); 211 printf("\n"); 212 } 213 void main() 214 { int a[]={3,2,4,8}; 215 int n=sizeof(a)/sizeof(a[0]); 216 set<int> s1(a,a+n); 217 int b[]={1,2,4,5,3}; 218 int m=sizeof(b)/sizeof(b[0]); 219 set<int> s2(b,b+m); 220 set<int> s3; 221 solve(s1,s2,s3); 222 printf("求解结果\n"); 223 printf(" s1: "); dispset(s1); 224 225 5 226 227 228 printf(" s2: "); dispset(s2); printf(" s3: "); dispset(s3); } 229 上述程序的执行结果如图1.4所示。 230 231 232 算法设计 233 234 235 236 237 238 239 图1.4 程序执行结果 240 11. 解：对于正整数n，从i=2开始查找其质因数，ic记录质因数i出现的次数，当找 241 到这样质因数后，将（i，ic）作为一个元素插入到vector容器v中。最后输出v。对应的 算法如下： 242 #include <stdio.h> 243 #include <vector> 244 using namespace std; 245 struct NodeType //vector向量元素类型 246 { int p; //质因数 247 int pc; //质因数出现次数 248 }; 249 void solve(int n,vector<NodeType> &v) //求n的质因数分解 250 { int i=2; 251 int ic=0; 252 NodeType e; 253 do 254 { if (n%i==0) 255 { ic++; 256 n=n/i; 257 } 258 else 259 { if (ic>0) 260 { e.p=i; 261 e.pc=ic; 262 v.push_back(e); 263 } 264 ic=0; 265 i++; 266 } 267 } while (n>1 || ic!=0); 268 } 269 void disp(vector<NodeType> &v) //输出v 270 { vector<NodeType>::iterator it; 271 for (it=v.begin();it!=v.end();++it) 272 printf(" 质因数%d出现%d次\n",it->p,it->pc); 273 } 274 275 6 276 277 278 void main() 279 { vector<NodeType> v; 280 int n=100; 281 printf("n=%d\n",n); 282 solve(n,v); 283 disp(v); 284 } 285 上述程序的执行结果如图1.5所示。 286 287 第1章 概论 288 289 290 291 292 293 图1.5 程序执行结果 294 12. 解：先递增排序，再求相邻元素差，比较求最小元素差，累计最小元素差的个 295 数。对应的程序如下： 296 #include <iostream> 297 #include <algorithm> 298 #include <vector> 299 using namespace std; 300 int solve(vector<int> &myv) //求myv中相差最小的元素对的个数 301 { sort(myv.begin(),myv.end()); //递增排序 302 int ans=1; 303 int mindif=myv[1]-myv[0]; 304 for (int i=2;i<myv.size();i++) 305 { if (myv[i]-myv[i-1]<mindif) 306 { ans=1; 307 mindif=myv[i]-myv[i-1]; 308 } 309 else if (myv[i]-myv[i-1]==mindif) 310 ans++; 311 } 312 return ans; 313 } 314 void main() 315 { int a[]={4,1,2,3}; 316 int n=sizeof(a)/sizeof(a[0]); 317 vector<int> myv(a,a+n); 318 cout << "相差最小的元素对的个数: " << solve(myv) << endl; 319 } 320 上述程序的执行结果如图1.6所示。 321 322 323 324 325 326 7 327 328 算法设计 329 330 图1.6 程序执行结果 331 13. 解：对于map<string，int>容器mymap，设计另外一个map<int，int>容器tmap， 332 将前者的value作为后者的关键字。遍历mymap，累计tmap中相同关键字的次数。一个 参考程序及其输出结果如下： 333 #include <iostream> 334 #include <map> 335 #include <string> 336 using namespace std; 337 void main() 338 { map<string,int> mymap; 339 mymap.insert(pair<string,int>("Mary",80)); 340 mymap.insert(pair<string,int>("Smith",82)); 341 mymap.insert(pair<string,int>("John",80)); 342 mymap.insert(pair<string,int>("Lippman",95)); 343 mymap.insert(pair<string,int>("Detial",82)); 344 map<string,int>::iterator it; 345 map<int,int> tmap; 346 for (it=mymap.begin();it!=mymap.end();it++) 347 tmap[(*it).second]++; 348 map<int，int>::iterator it1; 349 cout << "求解结果" << endl; 350 for (it1=tmap.begin();it1!=tmap.end();it1++) 351 cout << " " << (*it1).first << ": " << (*it1).second << "次\n"; 352 } 353 上述程序的执行结果如图1.7所示。 354 355 356 357 358 359 360 图1.7 程序执行结果 361 14. 解：采用map<int，int>容器mymap存放求解结果，第一个分量存放质因数，第 362 二个分量存放质因数出现次数。对应的程序如下： 363 #include <stdio.h> 364 #include <map> 365 using namespace std; 366 void solve(int n,map<int,int> &mymap) //求n的质因数分解 367 { int i=2; 368 int ic=0; 369 do 370 { if (n%i==0) 371 { ic++; 372 n=n/i; 373 } 374 8 375 第1章 概论 376 377 else 378 { if (ic>0) 379 mymap[i]=ic; 380 ic=0; 381 i++; 382 } 383 } while (n>1 || ic!=0); 384 } 385 void disp(map<int,int> &mymap) //输出mymap 386 { map<int,int>::iterator it; 387 for (it=mymap.begin();it!=mymap.end();++it) 388 printf(" 质因数%d出现%d次\n",it->first,it->second); } 389 void main() 390 { map<int,int> mymap; 391 int n=12345; 392 printf("n=%d\n",n); 393 solve(n,mymap); 394 disp(mymap); 395 } 396 上述程序的执行结果如图1.8所示。 397 398 399 400 401 402 403 图1.8 程序执行结果 404 15. 解：栈容器不能顺序遍历，为此创建一个临时tmpst栈，将st的k个元素出栈并 405 进栈到tmpst中，再出栈tmpst一次得到第k个元素，最后将栈tmpst的所有元素出栈并进 栈到st中。对应的程序如下： 406 #include <stdio.h> 407 #include <stack> 408 using namespace std; 409 int solve(stack<int> &st,int k) //出栈第k个元素 410 { stack<int> tmpst; 411 int e; 412 for (int i=0;i<k;i++) //出栈st的k个元素并进tmpst栈 413 { e=st.top(); 414 st.pop(); 415 tmpst.push(e); 416 } 417 e=tmpst.top(); //求第k个元素 418 tmpst.pop(); 419 while (!tmpst.empty()) //将tmpst的所有元素出栈并进栈st 420 { st.push(tmpst.top()); 421 tmpst.pop(); 422 9 423 424 算法设计 425 426 } 427 return e; 428 } 429 void disp(stack<int> &st) //出栈st的所有元素 { while (!st.empty()) 430 { printf("%d ",st.top()); 431 st.pop(); 432 } 433 printf("\n"); 434 } 435 void main() 436 { stack<int> st; 437 printf("进栈元素1,2,3,4\n"); 438 st.push(1); 439 st.push(2); 440 st.push(3); 441 st.push(4); 442 int k=3; 443 int e=solve(st,k); 444 printf("出栈第%d个元素是: %d\n",k,e); 445 printf("st中元素出栈顺序: "); 446 disp(st); 447 } 448 上述程序的执行结果如图1.9所示。 449 450 451 452 453 454 图1.9 程序执行结果 455 1.2 第2章─递归算法设计技术 456 457 1.2.1 练习题 458 1. 什么是直接递归和间接递归？消除递归一般要用到什么数据结构？ 459 2. 分析以下程序的执行结果： 460 #include <stdio.h> 461 void f(int n,int &m) 462 { if (n<1) return; 463 else 464 { printf("调用f(%d,%d)前,n=%d,m=%d\n",n-1,m-1,n,m); 465 n--; m--; 466 f(n-1,m); 467 printf("调用f(%d,%d)后:n=%d,m=%d\n",n-1,m-1,n,m); 468 } 469 10 470 第1章 概论 471 472 } 473 void main() 474 { int n=4,m=4; 475 f(n,m); 476 } 477 3. 采用直接推导方法求解以下递归方程： 478 T(1)=1 479 T(n)=T(n-1)+n 当n>1 480 4. 采用特征方程方法求解以下递归方程： 481 H(0)=0 482 H(1)=1 483 H(2)=2 484 H(n)=H(n-1)+9H(n-2)-9H(n-3) 当n>2 485 5. 采用递归树方法求解以下递归方程： 486 T(1)=1 487 T(n)=4T(n/2)+n 当n>1 488 6. 采用主方法求解以下题的递归方程。 489 T(n)=1 当n=1 490 T(n)=4T(n/2)+n2 当n>1 491 7. 分析求斐波那契f(n)的时间复杂度。 492 8. 数列的首项a1=0，后续奇数项和偶数项的计算公式分别为a2n=a2n-1+2，a2n+1=a2n- 493 1+a2n-1，写出计算数列第n项的递归算法。 494 9. 对于一个采用字符数组存放的字符串str，设计一个递归算法求其字符个数（长 495 度）。 496 10. 对于一个采用字符数组存放的字符串str，设计一个递归算法判断str是否为回 497 文。 498 11. 对于不带头结点的单链表L，设计一个递归算法正序输出所有结点值。 499 12. 对于不带头结点的单链表L，设计一个递归算法逆序输出所有结点值。 500 13. 对于不带头结点的非空单链表L，设计一个递归算法返回最大值结点的地址（假 501 设这样的结点唯一）。 502 14. 对于不带头结点的单链表L，设计一个递归算法返回第一个值为x的结点的地 503 址，没有这样的结点时返回NULL。 504 15. 对于不带头结点的单链表L，设计一个递归算法删除第一个值为x的结点。 505 16. 假设二叉树采用二叉链存储结构存放，结点值为int类型，设计一个递归算法求 二叉树bt中所有叶子结点值之和。 506 17. 假设二叉树采用二叉链存储结构存放，结点值为int类型，设计一个递归算法求 二叉树bt中所有结点值大于等于k的结点个数。 507 18. 假设二叉树采用二叉链存储结构存放，所有结点值均不相同，设计一个递归算法 求值为x的结点的层次（根结点的层次为1），没有找到这样的结点时返回0。 508 509 510 11 511 512 算法设计 513 514 1.2.2 练习题参考答案 515 1. 答：一个f函数定义中直接调用f函数自己，称为直接递归。一个f函数定义中调 516 用g函数，而g函数的定义中调用f函数，称为间接递归。消除递归一般要用栈实现。 517 2. 答：递归函数f(n，m)中，n是非引用参数，m是引用参数，所以递归函数的状态为 518 （n）。程序执行结果如下： 519 调用f(3,3)前,n=4,m=4 520 调用f(1,2)前,n=2,m=3 521 调用f(0,1)后,n=1,m=2 522 调用f(2,1)后,n=3,m=2 523 3. 解：求T(n)的过程如下： 524 T(n)=T(n-1)+n=[T(n-2)+n-1)]+n=T(n-2)+n+(n-1) 525 =T(n-3)+n+(n-1)+(n-2) 526 =… 527 =T(1)+n+(n-1)+…+2 528 =n+(n-1)+ +…+2+1=n(n+1)/2=O(n2)。 529 4. 解：整数一个常系数的线性齐次递推式，用xn代替H(n)，有：xn=xn-1+9xn-2-9xn-3， 530 两边同时除以xn-3，得到：x3=x2+9x-9，即x3-x2-9x+9=0。 531 x3-x2-9x+9=x(x2-9)-(x2-9)=(x-1)(x2-9)=(x-1)(x+3)(x-3)=0。得到r1=1，r2=-3，r3=3 532 则递归方程的通解为：H(n)=c1+c2(-3)n+c33n 533 代入H(0)=0，有c1+c2+c3=0 534 代入H(1)=1，有c1-3c2+3c3=1 535 代入H(2)=2，有c1+9c2+9c3=2 536 求出：c1=-1/4，c2=-1/12，c3=1/3，H(n)=c1+c2(-3)n+c33n=((?1) 。 537 538 539 540 541 542 543 544 545 546 547 548 549 550 551 552 553 554 555 12 556 557 558 559 560 561 562 高度h为log2n+1 563 564 565 566 567 568 569 570 (n/22) 571 …… 572 573 574 575 576 577 (n/2) 578 579 (n/22) 580 … 581 582 第1章 概论 583 584 n 585 (n/2) (n/2) (n/2) 586 587 (n/22) 588 … 589 590 591 592 593 n 594 2n 595 596 22n 597 598 1 1 n 599 图1.10 一棵递归树 600 6. 解：采用主方法求解，这里a=4，b=2，f(n)=n2。 601 因此，??= =n2，它与f(n)一样大，满足主定理中的情况（2），所以T(n)= 602 log2n) 603 7. 解：设求斐波那契f(n)的时间为T(n)，有以下递推式： 604 T(1)=T(2) 605 T(n)=T(n-1)+T(n-2)+1 当n>2 606 其中，T(n)式中加1表示一次加法运算的时间。 607 不妨先求T1(1)=T1(2)=1，T1(n)=T1(n-1)+T1(n-2)，按《教程》例2.14的方法可以求 608 出： 609 n n 610 T1(n)= ≈ = 611 612 所以T(n)=T1(n)+1≈ +1=O(φn)，其中φ=。 613 8. 解：设f(m)计算数列第m项值。 614 当m为偶数时，不妨设m=2n，则2n-1=m-1，所以有f(m)=f(m-1)+2。 615 当m为奇数时，不妨设m=2n+1，则2n-1=m-2，2n=m-1，所以有f(m)=f(m-2)+f(m- 616 1)-1。 617 对应的递归算法如下： 618 int f(int m) 619 { if (m==1) return 0; 620 if (m%2==0) 621 return f(m-1)+2; 622 else 623 return f(m-2)+f(m-1)-1; 624 } 625 9. 解：设f(str)返回字符串str的长度，其递归模型如下： 626 f(str)=0 当*str=‘\0‘时 627 f(str)=f(str+1)+1 其他情况 628 对应的递归程序如下： 629 13 630 631 算法设计 632 633 #include <iostream> 634 using namespace std; 635 int Length(char *str) //求str的字符个数 636 { if (*str==‘\0‘) 637 return 0; 638 else 639 return Length(str+1)+1; 640 } 641 void main() 642 { char str[]="abcd"; 643 cout << str << "的长度: " << Length(str) << endl; } 644 上述程序的执行结果如图1.11所示。 645 646 647 648 649 图1.11 程序执行结果 650 10. 解：设f(str，n)返回含n个字符的字符串str是否为回文，其递归模型如下： 651 f(str，n)=true 当n=0或者n=1时 652 f(str，n)=flase 当str[0]≠str[n-1]时 653 f(str，n)=f(str+1，n-2) 其他情况 654 对应的递归算法如下： 655 #include <stdio.h> 656 #include <string.h> 657 bool isPal(char *str,int n) //str回文判断算法 658 { if (n==0 || n==1) 659 return true; 660 if (str[0]!=str[n-1]) 661 return false; 662 return isPal(str+1,n-2); 663 } 664 void disp(char *str) 665 { int n=strlen(str); 666 if (isPal(str,n)) 667 printf(" %s是回文\n",str); 668 else 669 printf(" %s不是回文\n",str); 670 } 671 void main() 672 { printf("求解结果\n"); 673 disp("abcba"); 674 disp("a"); 675 disp("abc"); 676 } 677 678 14 679 680 681 上述程序的执行结果如图1.12所示。 682 683 第1章 概论 684 685 686 687 688 689 690 图1.12 程序执行结果 691 11. 解：设f(L)正序输出单链表L的所有结点值，其递归模型如下： 692 f(L) ≡ 不做任何事情 当L=NULL 693 f(L) ≡ 输出L->data; f(L->next); 当L≠NULL时 694 对应的递归程序如下： 695 #include "LinkList.cpp" //包含单链表的基本运算算法 696 void dispLink(LinkNode *L) //正序输出所有结点值 697 { if (L==NULL) return; 698 else 699 { printf("%d ",L->data); 700 dispLink(L->next); 701 } 702 } 703 void main() 704 { int a[]={1,2,5,2,3,2}; 705 int n=sizeof(a)/sizeof(a[0]); 706 LinkNode *L; 707 CreateList(L,a,n); //由a[0..n-1]创建不带头结点的单链表 printf("正向L: "); 708 dispLink(L); printf("\n"); 709 Release(L); //销毁单链表 710 } 711 上述程序的执行结果如图1.13所示。 712 713 714 715 716 图1.13 程序执行结果 717 12. 解：设f(L)逆序输出单链表L的所有结点值，其递归模型如下： 718 f(L) ≡ 不做任何事情 当L=NULL 719 f(L) ≡ f(L->next); 输出L->data 当L≠NULL时 720 对应的递归程序如下： 721 #include "LinkList.cpp" //包含单链表的基本运算算法 722 void Revdisp(LinkNode *L) //逆序输出所有结点值 723 { if (L==NULL) return; 724 15 725 726 727 else 728 { Revdisp(L->next); 729 printf("%d ",L->data); 730 } 731 } 732 void main() 733 { int a[]={1,2,5,2,3,2}; 734 int n=sizeof(a)/sizeof(a[0]); 735 LinkNode *L; 736 CreateList(L,a,n); 737 printf("反向L: "); 738 Revdisp(L); printf("\n"); 739 Release(L); 740 } 741 上述程序的执行结果如图1.14所示。 742 743 744 算法设计 745 746 747 748 749 图1.14 程序执行结果 750 13. 解：设f(L)返回单链表L中值最大结点的地址，其递归模型如下： 751 f(L) = L 当L只有一个结点时 752 f(L) = MAX{f(L->next)，L->data} 其他情况 753 对应的递归程序如下： 754 #include "LinkList.cpp" //包含单链表的基本运算算法 755 LinkNode *Maxnode(LinkNode *L) //返回最大值结点的地址 756 { if (L->next==NULL) 757 return L; //只有一个结点时 758 else 759 { LinkNode *maxp; 760 maxp=Maxnode(L->next); 761 if (L->data>maxp->data) 762 return L; 763 else 764 return maxp; 765 } 766 } 767 void main() 768 { int a[]={1,2,5,2,3,2}; 769 int n=sizeof(a)/sizeof(a[0]); 770 LinkNode *L,*p; 771 CreateList(L,a,n); 772 p=Maxnode(L); 773 printf("最大结点值: %d\n",p->data); 774 Release(L); 775 776 16 777 778 779 } 780 上述程序的执行结果如图1.15所示。 781 782 第1章 概论 783 784 785 786 787 图1.15 程序执行结果 788 14. 解：设f(L，x)返回单链表L中第一个值为x的结点的地址，其递归模型如下： 789 f(L，x) = NULL 当L=NULL时 790 f(L，x) = L 当L≠NULL且L->data=x时 791 f(L，x) = f(L->next，x) 其他情况 792 对应的递归程序如下： 793 #include "LinkList.cpp" //包含单链表的基本运算算法 794 LinkNode *Firstxnode(LinkNode *L,int x) //返回第一个值为x的结点的地址 795 { if (L==NULL) return NULL; 796 if (L->data==x) 797 return L; 798 else 799 return Firstxnode(L->next,x); 800 } 801 void main() 802 { int a[]={1,2,5,2,3,2}; 803 int n=sizeof(a)/sizeof(a[0]); 804 LinkNode *L,*p; 805 CreateList(L,a,n); 806 int x=2; 807 p=Firstxnode(L,x); 808 printf("结点值: %d\n",p->data); 809 Release(L); 810 } 811 上述程序的执行结果如图1.16所示。 812 813 814 815 816 图1.16 程序执行结果 817 15. 解：设f(L，x)删除单链表L中第一个值为x的结点，其递归模型如下： 818 f(L，x) ≡ 不做任何事情 当L=NULL 819 f(L，x) ≡ 删除L结点，L=L->next 当L≠NULL且L->data=x 820 f(L，x) ≡ f(L->next，x) 其他情况 821 对应的递归程序如下： 822 823 17 824 825 算法设计 826 827 #include "LinkList.cpp" //包含单链表的基本运算算法 828 void Delfirstx(LinkNode *&L,int x) //删除单链表L中第一个值为x的结点 { if (L==NULL) return; 829 if (L->data==x) 830 { LinkNode *p=L; 831 L=L->next; 832 free(p); 833 } 834 else 835 Delfirstx(L->next,x); 836 } 837 void main() 838 { int a[]={1,2,5,2,3,2}; 839 int n=sizeof(a)/sizeof(a[0]); 840 LinkNode *L; 841 CreateList(L,a,n); 842 printf("删除前L: "); DispList(L); 843 int x=2; 844 printf("删除第一个值为%d的结点\n",x); 845 Delfirstx(L,x); 846 printf("删除后L: "); DispList(L); 847 Release(L); 848 } 849 上述程序的执行结果如图1.17所示。 850 851 852 853 854 855 图1.17 程序执行结果 856 16. 解：设f(bt)返回二叉树bt中所有叶子结点值之和，其递归模型如下： 857 f(bt)=0 当bt=NULL 858 f(bt)=bt->data 当bt≠NULL且bt结点为叶子结点 859 f(bt)=f(bt->lchild)+f(bt->rchild) 其他情况 860 对应的递归程序如下： 861 #include "Btree.cpp" //包含二叉树的基本运算算法 862 int LeafSum(BTNode *bt) //二叉树bt中所有叶子结点值之和 863 { if (bt==NULL) return 0; 864 if (bt->lchild==NULL && bt->rchild==NULL) 865 return bt->data; 866 int lsum=LeafSum(bt->lchild); 867 int rsum=LeafSum(bt->rchild); 868 return lsum+rsum; 869 } 870 void main() 871 872 18 873 第1章 概论 874 875 { BTNode *bt; 876 Int a[]={5,2,3,4,1,6}; //先序序列 877 Int b[]={2,3,5,1,4,6}; //中序序列 878 int n=sizeof(a)/sizeof(a[0]); 879 bt=CreateBTree(a,b,n); //由a和b构造二叉链bt printf("二叉树bt:"); DispBTree(bt); printf("\n"); printf("所有叶子结点值之和: %d\n",LeafSum(bt)); 880 DestroyBTree(bt); //销毁树bt 881 } 882 上述程序的执行结果如图1.18所示。 883 884 885 886 887 888 图1.18 程序执行结果 889 17. 解：设f(bt，k)返回二叉树bt中所有结点值大于等于k的结点个数，其递归模型 890 如下： 891 f(bt，k)=0 当bt=NULL 892 f(bt，k)=f(bt->lchild，k)+f(bt->rchild，k)+1 当bt≠NULL且bt->data≥k 893 f(bt，k)=f(bt->lchild，k)+f(bt->rchild，k) 其他情况 894 对应的递归程序如下： 895 #include "Btree.cpp" //包含二叉树的基本运算算法 896 int Nodenum(BTNode *bt,int k) //大于等于k的结点个数 897 { if (bt==NULL) return 0; 898 int lnum=Nodenum(bt->lchild,k); 899 int rnum=Nodenum(bt->rchild,k); 900 if (bt->data>=k) 901 return lnum+rnum+1; 902 else 903 return lnum+rnum; 904 } 905 void main() 906 { BTNode *bt; 907 Int a[]={5,2,3,4,1,6}; 908 Int b[]={2,3,5,1,4,6}; 909 int n=sizeof(a)/sizeof(a[0]); 910 bt=CreateBTree(a,b,n); //由a和b构造二叉链bt 911 printf("二叉树bt:"); DispBTree(bt); printf("\n"); 912 int k=3; 913 printf("大于等于%d的结点个数: %d\n",k,Nodenum(bt,k)); 914 DestroyBTree(bt); //销毁树bt 915 } 916 上述程序的执行结果如图1.19所示。 917 918 919 19 920 921 算法设计 922 923 924 925 926 927 928 图1.19 程序执行结果 929 18. 解：设f(bt，x，h)返回二叉树bt中x结点的层次，其中h表示bt所指结点的层 930 次，初始调用时，bt指向根结点，h置为1。其递归模型如下： 931 f(bt，x，h)=0 当bt=NULL 932 f(bt，x，h)=h 当bt≠NULL且bt->data=x 933 f(bt，x，h) =l 当l=f(bt->lchild，x，h+1)≠0 934 f(bt，x，h) =f(bt->rchild，x，h+1) 其他情况 935 对应的递归程序如下： 936 #include "Btree.cpp" //包含二叉树的基本运算算法 937 int Level(BTNode *bt,int x,int h) //求二叉树bt中x结点的层次 938 { //初始调用时：bt为根，h为1 939 if (bt==NULL) return 0; 940 if (bt->data==x) //找到x结点，返回h 941 return h; 942 else 943 { int l=Level(bt->lchild,x,h+1); //在左子树中查找 944 if (l!=0) //在左子树中找到，返回其层次l 945 return l; 946 else 947 return Level(bt->rchild,x,h+1);//返回在右子树的查找结果 948 } 949 } 950 void main() 951 { BTNode *bt; 952 Int a[]={5,2,3,4,1,6}; 953 Int b[]={2,3,5,1,4,6}; 954 int n=sizeof(a)/sizeof(a[0]); 955 bt=CreateBTree(a,b,n); //由a和b构造二叉链bt 956 printf("二叉树bt:"); DispBTree(bt); printf("\n"); 957 int x=1; 958 printf("%d结点的层次: %d\n",x,Level(bt,x,1)); 959 DestroyBTree(bt); //销毁树bt 960 } 961 上述程序的执行结果如图1.20所示。 962 963 964 965 966 967 图1.20 程序执行结果 968 20 969 第1章 概论 1.3 第3章─分治法 970 971 1.3.1 练习题 972 1. 分治法的设计思想是将一个难以直接解决的大问题分割成规模较小的子问题，分 973 别解决子问题，最后将子问题的解组合起来形成原问题的解。这要求原问题和子问题 974 （ ）。 975 A.问题规模相同，问题性质相同 976 B.问题规模相同，问题性质不同 977 C.问题规模不同，问题性质相同 978 D.问题规模不同，问题性质不同 979 2. 在寻找n个元素中第k小元素问题中，如快速排序算法思想，运用分治算法对n 980 个元素进行划分，如何选择划分基准？下面（ ）答案解释最合理。 981 A.随机选择一个元素作为划分基准 982 B.取子序列的第一个元素作为划分基准 983 C.用中位数的中位数方法寻找划分基准 984 D.以上皆可行。但不同方法，算法复杂度上界可能不同 985 3. 对于下列二分查找算法，以下正确的是（ ）。 986 A. 987 int binarySearch(int a[], int n, int x) 988 { int low=0, high=n-1; 989 while(low<=high) 990 { int mid=(low+high)/2; 991 if(x==a[mid]) return mid; 992 if(x>a[mid]) low=mid; 993 else high=mid; 994 } 995 return –1; 996 } 997 B. 998 int binarySearch(int a[], int n, int x) 999 { int low=0, high=n-1; 1000 while(low+1!=high) 1001 { int mid=(low+high)/2; 1002 if(x>=a[mid]) low=mid; 1003 else high=mid; 1004 } 1005 if(x==a[low]) return low; 1006 else return –1; 1007 } 1008 C. 1009 int binarySearch (int a[], int n, int x) 1010 { int low=0, high=n-1; 1011 while(low<high-1) 1012 { int mid=(low+high)/2; 1013 21 1014 1015 算法设计 1016 1017 if(x<a[mid]) 1018 high=mid; 1019 else low=mid; 1020 } 1021 if(x==a[low]) return low; 1022 else return –1; 1023 } 1024 D. 1025 int binarySearch(int a[], int n, int x) 1026 { if(n > 0 && x >= a[0]) 1027 { int low = 0, high = n-1; 1028 while(low < high) 1029 { int mid=(low+high+1)/2; 1030 if(x < a[mid]) 1031 high=mid-1; 1032 else low=mid; 1033 } 1034 if(x==a[low]) return low; 1035 } 1036 return –1; 1037 } 1038 4. 快速排序算法是根据分治策略来设计的，简述其基本思想。 1039 5. 假设含有n个元素的待排序的数据a恰好是递减排列的，说明调用QuickSort(a， 1040 0，n-1)递增排序的时间复杂度为O(n2)。 1041 6. 以下哪些算法采用分治策略： 1042 （1）堆排序算法 1043 （2）二路归并排序算法 1044 （3）折半查找算法 1045 （4）顺序查找算法 1046 7. 适合并行计算的问题通常表现出哪些特征？ 1047 8. 设有两个复数x=a+bi和y=c+di。复数乘积xy可以使用4次乘法来完成，即 1048 xy=(ac-bd)+(ad+bc)i。设计一个仅用3次乘法来计算乘积xy的方法。 1049 9. 有4个数组a、b、c和d，都已经排好序，说明找出这4个数组的交集的方法。 1050 10. 设计一个算法，采用分治法求一个整数序列中的最大最小元素。 1051 11. 设计一个算法，采用分治法求xn。 1052 12. 假设二叉树采用二叉链存储结构进行存储。设计一个算法采用分治法求一棵二叉 1053 树bt的高度。 1054 13. 假设二叉树采用二叉链存储结构进行存储。设计一个算法采用分治法求一棵二叉 1055 树bt中度为2的结点个数。 1056 14. 有一种二叉排序树，其定义是空树是一棵二叉排序树，若不空，左子树中所有结 1057 点值小于根结点值，右子树中所有结点值大于根结点值，并且左右子树都是二叉排序树。 现在该二叉排序树采用二叉链存储，采用分治法设计查找值为x的结点地址，并分析算法 的最好的平均时间复杂度。 1058 1059 22 1060 第1章 概论 1061 1062 15. 设有n个互不相同的整数，按递增顺序存放在数组a[0..n-1]中，若存在一个下标 i（0≤i<n），使得a[i]=i。设计一个算法以O(log2n)时间找到这个下标i。 1063 16. 请你模仿二分查找过程设计一个三分查找算法。分析其时间复杂度。 1064 17. 对于大于1的正整数n，可以分解为n=x1*x2*…*xm，其中xi≥2。例如，n=12时 1065 有8种不同的分解式：12=12，12=6*2，12=4*3，12=3*4，12=3*2*2，12=2*6， 1066 12=2*3*2，12=2*2*3，设计一个算法求n的不同分解式个数。 1067 18. 设计一个基于BSP模型的并行算法，假设有p台处理器，计算整数数组a[0..n-1] 的所有元素之和。并分析算法的时间复杂度。 1068 1.3.2 练习题参考答案 1069 1. 答：C。 1070 2. 答：D。 1071 3. 答：以a[]={1，2，3，4，5}为例说明。选项A中在查找5时出现死循环。选项B 1072 中在查找5时返回-1。选项C中在查找5时返回-1。选项D正确。 1073 4. 答：对于无序序列a[low..high]进行快速排序，整个排序为“大问题”。选择其中的 1074 一个基准base=a[i]（通常以序列中第一个元素为基准），将所有小于等于base的元素移动 到它的前面，所有大于等于base的元素移动到它的后面，即将基准归位到a[i]，这样产生 a[low..i-1]和a[i+1..high]两个无序序列，它们的排序为“小问题”。当a[low..high]序列只 1075 有一个元素或者为空时对应递归出口。 1076 所以快速排序算法就是采用分治策略，将一个“大问题”分解为两个“小问题”来求 1077 解。由于元素都是在a数组中，其合并过程是自然产生的，不需要特别设计。 1078 5. 答：此时快速排序对应的递归树高度为O(n)，每一次划分对应的时间为O(n)，所 1079 以整个排序时间为O(n2)。 1080 6. 答：其中二路归并排序和折半查找算法采用分治策略。 1081 7. 答：适合并行计算的问题通常表现出以下特征： 1082 （1）将工作分离成离散部分，有助于同时解决。例如，对于分治法设计的串行算 1083 法，可以将各个独立的子问题并行求解，最后合并成整个问题的解，从而转化为并行算 1084 法。 1085 （2）随时并及时地执行多个程序指令。 1086 （3）多计算资源下解决问题的耗时要少于单个计算资源下的耗时。 1087 8. 答：xy=(ac-bd)+((a+b)(c+d)-ac-bd)i。由此可见，这样计算xy只需要3次乘法（即 1088 ac、bd和(a+b)(c+d)乘法运算）。 1089 9. 答：采用基本的二路归并思路，先求出a、b的交集ab，再求出c、d的交集cd， 1090 最后求出ab和cd的交集，即为最后的结果。也可以直接采用4路归并方法求解。 1091 10. 解：采用类似求求一个整数序列中的最大次大元素的分治法思路。对应的程序如 1092 下： 1093 #include <stdio.h> 1094 #define max(x,y) ((x)>(y)?(x):(y)) 1095 #define min(x,y) ((x)<(y)?(x):(y)) 1096 1097 23 1098 1099 算法设计 1100 1101 void MaxMin(int a[],int low,int high,int &maxe,int &mine) //求a中最大最小元素 { if (low==high) //只有一个元素 1102 { maxe=a[low]; 1103 mine=a[low]; 1104 } 1105 else if (low==high-1) //只有两个元素 1106 { maxe=max(a[low],a[high]); 1107 mine=min(a[low],a[high]); 1108 } 1109 else //有两个以上元素 1110 { int mid=(low+high)/2; 1111 int lmaxe,lmine; 1112 MaxMin(a,low,mid,lmaxe,lmine); 1113 int rmaxe,rmine; 1114 MaxMin(a,mid+1,high,rmaxe,rmine); 1115 maxe=max(lmaxe,rmaxe); 1116 mine=min(lmine,rmine); 1117 } 1118 } 1119 void main() 1120 { int a[]={4,3,1,2,5}; 1121 int n=sizeof(a)/sizeof(a[0]); 1122 int maxe,mine; 1123 MaxMin(a,0,n-1,maxe,mine); 1124 printf("Max=%d, Min=%d\n",maxe,mine); 1125 } 1126 上述程序的执行结果如图1.21所示。 1127 1128 1129 1130 1131 1132 图1.21 程序执行结果 1133 11. 解：设f(x，n)=xn，采用分治法求解对应的递归模型如下： 1134 f(x，n)=x 当n=1 1135 f(x，n)=f(x，n/2)*f(x，n/2) 当n为偶数时 1136 f(x，n)=f(x，(n-1)/2)*f(x，(n-1)/2)*x 当n为奇数时 1137 对应的递归程序如下： 1138 #include <stdio.h> 1139 double solve(double x,int n) //求x^n 1140 { double fv; 1141 if (n==1) return x; 1142 if (n%2==0) 1143 { fv=solve(x,n/2); 1144 return fv*fv; 1145 } 1146 1147 24 1148 第1章 概论 1149 1150 else 1151 { fv=solve(x,(n-1)/2); 1152 return fv*fv*x; 1153 } 1154 } 1155 void main() 1156 { double x=2.0; 1157 printf("求解结果:\n"); 1158 for (int i=1;i<=10;i++) 1159 printf(" %g^%d=%g\n",x,i,solve(x,i)); } 1160 上述程序的执行结果如图1.22所示。 1161 1162 1163 1164 1165 1166 1167 1168 1169 1170 图1.22 程序执行结果 1171 12. 解：设f(bt)返回二叉树bt的高度，对应的递归模型如下： 1172 f(bt)=0 当bt=NULL 1173 f(bt)=MAX{f(bt->lchild)，f(bt->rchild)}+1 其他情况 1174 对应的程序如下： 1175 #include "Btree.cpp" //包含二叉树的基本运算算法 int Height(BTNode *bt) //求二叉树bt的高度 1176 { if (bt==NULL) return 0; 1177 int lh=Height(bt->lchild); //子问题1 1178 int rh=Height(bt->rchild); //子问题2 1179 if (lh>rh) return lh+1; //合并 1180 else return rh+1; 1181 } 1182 void main() 1183 { BTNode *bt; 1184 Int a[]={5,2,3,4,1,6}; 1185 Int b[]={2,3,5,1,4,6}; 1186 int n=sizeof(a)/sizeof(a[0]); 1187 bt=CreateBTree(a,b,n); //由a和b构造二叉链bt 1188 printf("二叉树bt:"); DispBTree(bt); printf("\n"); 1189 printf("bt的高度: %d\n",Height(bt)); 1190 DestroyBTree(bt); //销毁树bt 1191 } 1192 1193 25 1194 1195 1196 1197 上述程序的执行结果如图1.23所示。 1198 1199 1200 算法设计 1201 1202 1203 1204 1205 1206 图1.23 程序执行结果 1207 13. 解：设f(bt)返回二叉树bt中度为2的结点个数，对应的递归模型如下： 1208 f(bt)=0 当bt=NULL 1209 f(bt)=f(bt->lchild)+f(bt->rchild)+1 若bt≠NULL且bt为双分支结点 1210 f(bt)=f(bt->lchild)+f(bt->rchild) 其他情况 1211 对应的算法如下： 1212 #include "Btree.cpp" //包含二叉树的基本运算算法 1213 int Nodes(BTNode *bt) //求bt中度为2的结点个数 1214 { int n=0; 1215 if (bt==NULL) return 0; 1216 if (bt->lchild!=NULL && bt->rchild!=NULL) 1217 n=1; 1218 return Nodes(bt->lchild)+Nodes(bt->rchild)+n; 1219 } 1220 void main() 1221 { BTNode *bt; 1222 Int a[]={5,2,3,4,1,6}; 1223 Int b[]={2,3,5,1,4,6}; 1224 int n=sizeof(a)/sizeof(a[0]); 1225 bt=CreateBTree(a,b,n); //由a和b构造二叉链bt 1226 printf("二叉树bt:"); DispBTree(bt); printf("\n"); 1227 printf("bt中度为2的结点个数: %d\n",Nodes(bt)); 1228 DestroyBTree(bt); //销毁树bt 1229 } 1230 上述程序的执行结果如图1.24所示。 1231 1232 1233 1234 1235 1236 图1.24 程序执行结果 1237 14. 解：设f(bt，x)返回在二叉排序树bt得到的值为x结点的地址，若没有找到返回 1238 空，对应的递归模型如下： 1239 f(bt，x)=NULL 当bt=NULL 1240 f(bt，x)=bt 当bt≠NULL且x=bt->data 1241 f(bt，x)=f(bt->lchild，x) 当x>bt->data 1242 1243 26 1244 第1章 概论 1245 f(bt，x)=f(bt->rchild，x) 当x<bt->data 1246 对应的程序如下： 1247 #include "Btree.cpp" //包含二叉树的基本运算算法 1248 BTNode *Search(BTNode *bt,Int x) //在二叉排序树bt查找的值为x结点 { if (bt==NULL) return NULL; 1249 if (x==bt->data) return bt; 1250 if (x<bt->data) return Search(bt->lchild,x); 1251 else return Search(bt->rchild,x); 1252 } 1253 void main() 1254 { BTNode *bt; 1255 Int a[]={4,3,2,8,6,7,9}; 1256 Int b[]={2,3,4,6,7,8,9}; 1257 int n=sizeof(a)/sizeof(a[0]); 1258 bt=CreateBTree(a,b,n); //构造一棵二叉排序树bt 1259 printf("二叉排序树bt:"); DispBTree(bt); printf("\n"); 1260 int x=6; 1261 BTNode *p=Search(bt,x); 1262 if (p!=NULL) 1263 printf("找到结点: %d\n",p->data); 1264 else 1265 printf("没有找到结点\n",x); 1266 DestroyBTree(bt); //销毁树bt 1267 } 1268 上述程序的执行结果如图1.25所示。 1269 1270 1271 1272 1273 1274 图1.25 程序执行结果 1275 Search(bt，x)算法采用的是减治法，最好的情况是某个结点左右子树高度大致相同， 1276 其平均执行时间T(n)如下： 1277 T(n)=1 当n=1 1278 T(n)=T(n/2)+1 当n>1 1279 可以推出T(n)=O(log2n)，其中n为二叉排序树的结点个数。 1280 15. 解：采用二分查找方法。a[i]=i时表示该元素在有序非重复序列a中恰好第i大。 1281 对于序列a[low..high]，mid=(low+high)/2，若a[mid]=mid表示找到该元素；若a[mid]>mid 说明右区间的所有元素都大于其位置，只能在左区间中查找；若a[mid]<mid说明左区间 1282 的所有元素都小于其位置，只能在右区间中查找。对应的程序如下： 1283 #include <stdio.h> 1284 int Search(int a[],int n) //查找使得a[i]=i 1285 { int low=0,high=n-1,mid; 1286 27 1287 1288 算法设计 1289 1290 while (low<=high) 1291 { mid=(low+high)/2; 1292 if (a[mid]==mid) //查找到这样的元素 1293 return mid; 1294 else if (a[mid]<mid) //这样的元素只能在右区间中出现 low=mid+1; 1295 else //这样的元素只能在左区间中出现 high=mid-1; 1296 } 1297 return -1; 1298 } 1299 void main() 1300 { int a[]={-2,-1,2,4,6,8,9}; 1301 int n=sizeof(a)/sizeof(a[0]); 1302 int i=Search(a,n); 1303 printf("求解结果\n"); 1304 if (i!=-1) 1305 printf(" 存在a[%d]=%d\n",i,i); 1306 else 1307 printf(" 不存在\n"); 1308 } 1309 上述程序的执行结果如图1.26所示。 1310 1311 1312 1313 1314 1315 图1.26 程序执行结果 1316 16. 解：对于有序序列a[low..high]，若元素个数少于3个，直接查找。若含有更多的 1317 元素，将其分为a[low..mid1-1]、a[mid1+1..mid2-1]、a[mid2+1..high]子序列，对每个子序 列递归查找，算法的时间复杂度为O(log3n)，属于O(log2n)级别。对应的算法如下： 1318 #include <stdio.h> 1319 int Search(int a[],int low,int high,int x) //三分查找 1320 { if (high<low) //序列中没有元素 1321 return -1; 1322 else if (high==low) //序列中只有1个元素 1323 { if (x==a[low]) 1324 return low; 1325 else 1326 return -1; 1327 } 1328 if (high-low<2) //序列中只有2个元素 1329 { if (x==a[low]) 1330 return low; 1331 else if (x==a[low+1]) 1332 return low+1; 1333 else 1334 28 1335 第1章 概论 1336 1337 return -1; 1338 } 1339 int length=(high-low+1)/3; //每个子序列的长度 int mid1=low+length; 1340 int mid2=high-length; 1341 if (x==a[mid1]) 1342 return mid1; 1343 else if (x<a[mid1]) 1344 return Search(a,low,mid1-1,x); 1345 else if (x==a[mid2]) 1346 return mid2; 1347 else if (x<a[mid2]) 1348 return Search(a,mid1+1,mid2-1,x); 1349 else 1350 return Search(a,mid2+1,high,x); 1351 } 1352 void main() 1353 { int a[]={1,3,5,7,9,11,13,15}; 1354 int n=sizeof(a)/sizeof(a[0]); 1355 printf("求解结果\n"); 1356 int x=13; 1357 int i=Search(a,0,n-1,x); 1358 if (i!=-1) 1359 printf(" a[%d]=%d\n",i,x); 1360 else 1361 printf(" 不存在%d\n",x); 1362 int y=10; 1363 int j=Search(a,0,n-1,y); 1364 if (j!=-1) 1365 printf(" a[%d]=%d\n",j,y); 1366 else 1367 printf(" 不存在%d\n",y); 1368 } 1369 上述程序的执行结果如图1.27所示。 1370 1371 1372 1373 1374 1375 图1.27 程序执行结果 1376 17. 解：设f(n)表示n的不同分解式个数。有： f(1)=1，作为递归出口 1377 f(2)=1，分解式为：2=2 1378 f(3)=1，分解式为：3=3 1379 f(4)=2，分解式为：4=4，4=2*2 1380 1381 29 1382 1383 算法设计 1384 f(6)=3，分解式为：6=6，6=2*3，6=3*2，即f(6)=f(1)+f(2)+f(3) 1385 以此类推，可以看出f(n)为n的所有因数的不同分解式个数之和，即f(n)= 1386 ∑??%??=0??(??/??)。对应的程序如下： 1387 #include <stdio.h> 1388 #define MAX 101 1389 int solve(int n) //求n的不同分解式个数 1390 { if (n==1) return 1; 1391 else 1392 { int sum=0; 1393 for (int i=2;i<=n;i++) 1394 if (n%i==0) 1395 sum+=solve(n/i); 1396 return sum; 1397 } 1398 } 1399 void main() 1400 { int n=12; 1401 int ans=solve(n); 1402 printf("结果: %d\n",ans); 1403 } 1404 上述程序的执行结果如图1.28所示。 1405 1406 1407 1408 1409 图1.28 程序执行结果 1410 18. 解：对应的并行算法如下： 1411 int Sum(int a[],int s,int t,int p,int i) //处理器i执行求和 1412 { int j,s=0; 1413 for (j=s;j<=t;j++) 1414 s+=a[j]; 1415 return s; 1416 } 1417 int ParaSum(int a[],int s,int t,int p,int i) 1418 { int sum=0,j,k=0,sj; 1419 for (j=0;j<p;j++) //for循环的各个子问题并行执行 1420 { sj=Sum(a,k,k+n/p-1,p,j); 1421 k+=n/p; 1422 } 1423 sum+=sj; 1424 return sum; 1425 } 1426 每个处理器的执行时间为O(n/p)，同步开销为O(p)，所以该算法的时间复杂度为 1427 O(n/p+p)。 1428 1429 30 1430 第1章 概论 1.4 第4章─蛮力法 1431 1432 1.4.1 练习题 1433 1. 简要比较蛮力法和分治法。 1434 2. 在采用蛮力法求解时什么情况下使用递归？ 1435 3. 考虑下面这个算法，它求的是数组a中大小相差最小的两个元素的差。请对这个 1436 算法做尽可能多的改进。 1437 #define INF 99999 1438 #define abs(x) (x)<0?-(x):(x) //求绝对值宏 1439 int Mindif(int a[],int n) 1440 { int dmin=INF; 1441 for (int i=0;i<=n-2;i++) 1442 for (int j=i+1;j<=n-1;j++) 1443 { int temp=abs(a[i]-a[j]); 1444 if (temp<dmin) 1445 dmin=temp; 1446 } 1447 return dmin; 1448 } 1449 4. 给定一个整数数组A=(a0，a1，…an-1)，若i<j且ai>aj，则<ai，aj>就为一个逆序 1450 对。例如数组（3，1，4，5，2）的逆序对有<3，1>，<3，2>，<4，2>，<5，2>。设计一 个算法采用蛮力法求A中逆序对的个数即逆序数。 1451 5. 对于给定的正整数n（n>1）, 采用蛮力法求1!+2!+…+n!，并改进该算法提高效 1452 率。 1453 6. 有一群鸡和一群兔，它们的只数相同，它们的脚数都是三位数，且这两个三位数 的各位数字只能是0、1、2、3、4、5。设计一个算法用蛮力法求鸡和兔的只数各是多 少？它们的脚数各是多少？ 1454 7. 有一个三位数，个位数字比百位数字大，而百位数字又比十位数字大，并且各位 数字之和等于各位数字相乘之积，设计一个算法用穷举法求此三位数。 1455 8. 某年级的同学集体去公园划船，如果每只船坐10人，那么多出2个座位；如果每 只船多坐2人，那么可少租1只船，设计一个算法用蛮力法求该年级的最多人数？ 1456 9. 已知：若一个合数的质因数分解式逐位相加之和等于其本身逐位相加之和，则称 这个数为Smith数。如4937775=3*5*5*65837，而3+5+5+6+5+8+3+7=42， 1457 4+9+3+7+7+7+5=42，所以4937775是Smith数。求给定一个正整数N，求大于N的最小 Smith数。 1458 输入：若干个case，每个case一行代表正整数N，输入0表示结束 1459 输出：大于N的最小Smith数 1460 输入样例： 1461 4937774 1462 0 1463 样例输出： 1464 31 1465 1466 算法设计 1467 1468 4937775 1469 10. 求解涂棋盘问题。小易有一块n*n的棋盘，棋盘的每一个格子都为黑色或者白 1470 色，小易现在要用他喜欢的红色去涂画棋盘。小易会找出棋盘中某一列中拥有相同颜色的 最大的区域去涂画，帮助小易算算他会涂画多少个棋格。 1471 输入描述：输入数据包括n+1行：第一行为一个整数n（1≤ n≤50），即棋盘的大 小，接下来的n行每行一个字符串表示第i行棋盘的颜色，‘W‘表示白色，‘B‘表示黑色。 1472 输出描述：输出小易会涂画的区域大小。 1473 输入例子： 1474 3 1475 BWW 1476 BBB 1477 BWB 1478 输出例子： 1479 3 1480 11. 给定一个含n（n>1）个整数元素的a，所有元素不相同，采用蛮力法求出a中所 有元素的全排列。 1481 1.4.2 练习题参考答案 1482 1. 答：蛮力法是一种简单直接地解决问题的方法，适用范围广，是能解决几乎所有 问题的一般性方法，常用于一些非常基本、但又十分重要的算法（排序、查找、矩阵乘法 和字符串匹配等），蛮力法主要解决一些规模小或价值低的问题，可以作为同样问题的更 1483 高效算法的一个标准。而分治法采用分而治之思路，把一个复杂的问题分成两个或更多的 相同或相似的子问题，再把子问题分成更小的子问题直到问题解决。分治法在求解问题 1484 时，通常性能比蛮力法好。 1485 2. 答：如果用蛮力法求解的问题可以分解为若干个规模较小的相似子问题，此时可 以采用递归来实现算法。 1486 3. 解：上述算法的时间复杂度为O(n2)，采用的是最基本的蛮力法。可以先对a中元 素递增排序，然后依次比较相邻元素的差，求出最小差，改进后的算法如下： 1487 #include <stdio.h> 1488 #include <algorithm> 1489 using namespace std; 1490 int Mindif1(int a[],int n) 1491 { sort(a,a+n); //递增排序 1492 int dmin=a[1]-a[0]; 1493 for (int i=2;i<n;i++) 1494 { int temp=a[i]-a[i-1]; 1495 if (temp<dmin) 1496 dmin=temp; 1497 } 1498 return dmin; 1499 } 1500 1501 32 1502 第1章 概论 1503 1504 上述算法的主要时间花费在排序上，算法的时间复杂度为O(nlog2n)。 1505 4. 解：采用两重循环直接判断是否为逆序对，算法的时间复杂度为O(n2)，比第3章 1506 实验3算法的性能差。对应的算法如下： 1507 int solve(int a[],int n) //求逆序数 1508 { int ans=0; 1509 for (int i=0;i<n-1;i++) 1510 for (int j=i+1;j<n;j++) 1511 if (a[i]>a[j]) 1512 ans++; 1513 return ans; 1514 } 1515 5. 解：直接采用蛮力法求解算法如下： 1516 long f(int n) //求n! 1517 { long fn=1; 1518 for (int i=2;i<=n;i++) 1519 fn=fn*i; 1520 return fn; 1521 } 1522 long solve(int n) //求1!+2!+…+n! 1523 { long ans=0; 1524 for (int i=1;i<=n;i++) 1525 ans+=f(i); 1526 return ans; 1527 } 1528 实际上，f(n)=f(n-1)*n，f(1)=1，在求f(n)时可以利用f(n-1)的结果。改进后的算法如 1529 下： 1530 long solve1(int n) //求1!+2!+…+n! 1531 { long ans=0; 1532 long fn=1; 1533 for (int i=1;i<=n;i++) 1534 { fn=fn*i; 1535 ans+=fn; 1536 } 1537 return ans; 1538 } 1539 6. 解：设鸡脚数为y=abc，兔脚数为z=def，有1≤a，d≤5，0≤b，c，e，f≤5，采 用6重循环，求出鸡只数x1=y/2（y是2的倍数），兔只数x2=z/4（z是4的倍数），当 x1=x2时输出结果。对应的程序如下： 1540 #include <stdio.h> 1541 void solve() 1542 { int a,b,c,d,e,f; 1543 int x1,x2,y,z; 1544 for (a=1;a<=5;a++) 1545 for (b=0;b<=5;b++) 1546 for (c=0;c<=5;c++) 1547 1548 33 1549 1550 算法设计 1551 1552 for (d=1;d<=5;d++) 1553 for (e=0;e<=5;e++) 1554 for (f=0;f<=5;f++) 1555 { y=a*100+b*10+c; //鸡脚数 1556 z=d*100+e*10+f; //兔脚数 1557 if (y%2!=0 || z%4!=0) 1558 continue; 1559 x1=y/2; //鸡只数 1560 x2=z/4; //兔只数 1561 if (x1==x2) 1562 printf(" 鸡只数:%d,兔只数:%d,鸡脚数:%d, 兔脚数:%d\n",x1,x2,y,z); 1563 } 1564 } 1565 void main() 1566 { printf("求解结果\n"); 1567 solve(); 1568 } 1569 上述程序的执行结果如图1.29所示。 1570 1571 1572 1573 1574 1575 1576 1577 1578 1579 1580 1581 1582 1583 图1.29 程序执行结果 1584 7. 解：设该三位数为x=abc，有1≤a≤9，0≤b，c≤9，满足c>a，a>b， 1585 a+b+c=a*b*c。对应的程序如下： 1586 #include <stdio.h> 1587 void solve() 1588 { int a,b,c; 1589 for (a=1;a<=9;a++) 1590 for (b=0;b<=9;b++) 1591 for (c=0;c<=9;c++) 1592 { if (c>a && a>b && a+b+c==a*b*c) 1593 printf(" %d%d%d\n",a,b,c); 1594 } 1595 } 1596 void main() 1597 1598 34 1599 1600 1601 { printf("求解结果\n"); 1602 solve(); 1603 } 1604 上述程序的执行结果如图1.30所示。 1605 1606 第1章 概论 1607 1608 1609 1610 1611 1612 图1.30 程序执行结果 1613 8. 解：设该年级的人数为x，租船数为y。因为每只船坐10人正好多出2个座位，则 1614 x=10*y-2；因为每只船多坐2人即12人时可少租1只船（没有说恰好全部座位占满），有 x+z=12*(y-1)，z表示此时空出的座位，显然z<12。让y从1到100（实际上y取更大范围 的结果是相同的）、z从0到11枚举，求出最大的x即可。对应的程序如下： 1615 #include <stdio.h> 1616 int solve() 1617 { int x,y,z; 1618 for (y=1;y<=100;y++) 1619 for (z=0;z<12;z++) 1620 if (10*y-2==12*(y-1)-z) 1621 x=10*y-2; 1622 return x; 1623 } 1624 void main() 1625 { printf("求解结果\n"); 1626 printf(" 最多人数:%d\n",solve()); 1627 } 1628 上述程序的执行结果如图1.31所示。 1629 1630 1631 1632 1633 1634 图1.31 程序执行结果 1635 9. 解：采用蛮力法求出一个正整数n的各位数字和sum1，以及n的所有质因数的数 1636 字和sum2，若sum1=sum2，即为Smitch数。从用户输入的n开始枚举，若是Smitch 1637 数，输出，本次结束，否则n++继续查找大于n的最小Smitch数。对应的完整程序如 1638 下： 1639 #include <stdio.h> 1640 int Sum(int n) //求n的各位数字和 1641 { int sum=0; 1642 while (n>0) 1643 35 1644 1645 算法设计 1646 1647 { sum+=n%10; 1648 n=n/10; 1649 } 1650 return sum; 1651 } 1652 bool solve(int n) //判断n是否为Smitch数 1653 { int m=2; 1654 int sum1=Sum(n); 1655 int sum2=0; 1656 while (n>=m) 1657 { if (n%m==0) //找到一个质因数m 1658 { n=n/m; 1659 sum2+=Sum(m); 1660 } 1661 else 1662 m++; 1663 } 1664 if (sum1==sum2) 1665 return true; 1666 else 1667 return false; 1668 } 1669 void main() 1670 { int n; 1671 while (true) 1672 { scanf("%d",&n); 1673 if (n==0) break; 1674 while (!solve(n)) 1675 n++; 1676 printf("%d\n",n); 1677 } 1678 } 1679 10. 解：采用蛮力法，统计每一列相邻相同颜色的棋格个数countj，在countj中求最 大值。对应的程序如下： 1680 #include <stdio.h> 1681 #define MAXN 51 1682 //问题表示 1683 int n; 1684 char board[MAXN][MAXN]; 1685 int getMaxArea() //蛮力法求解算法 1686 { int maxArea=0; 1687 for (int j=0; j<n; j++) 1688 { int countj=1; 1689 for (int i=1; i<n; i++) //统计第j列中相同颜色相邻棋格个数 1690 { if (board[i][j]==board[i-1][j]) 1691 countj++; 1692 else 1693 countj=1; 1694 } 1695 1696 36 1697 第1章 概论 1698 1699 if (countj>maxArea) 1700 maxArea=countj; 1701 } 1702 return maxArea; 1703 } 1704 int main() 1705 { scanf("%d",&n); 1706 for (int i=0;i<n;i++) 1707 scanf("%s",board[i]); 1708 printf("%d\n",getMaxArea()); 1709 return 0; 1710 } 1711 11. 解：与《教程》中求全排列类似，但需要将求1～n的全排列改为按下标0～n-1 求a的全排列（下标从0开始）。采用非递归的程序如下： 1712 #include <stdio.h> 1713 #include <vector> 1714 using namespace std; 1715 vector<vector<int> > ps; //存放全排列 1716 void Insert(vector<int> s,int a[],int i,vector<vector<int> > &ps1) 1717 //在每个集合元素中间插入i得到ps1 1718 { vector<int> s1; 1719 vector<int>::iterator it; 1720 for (int j=0;j<=i;j++) //在s(含i个整数)的每个位置插入a[i] 1721 { s1=s; 1722 it=s1.begin()+j; //求出插入位置 1723 s1.insert(it,a[i]); //插入整数a[i] 1724 ps1.push_back(s1); //添加到ps1中 1725 } 1726 } 1727 void Perm(int a[],int n) //求a[0..n-1]的所有全排列 1728 { vector<vector<int> > ps1; //临时存放子排列 1729 vector<vector<int> >::iterator it; //全排列迭代器 1730 vector<int> s,s1; 1731 s.push_back(a[0]); 1732 ps.push_back(s); //添加{a[0]}集合元素 1733 for (int i=1;i<n;i++) //循环添加a[1]～a[n-1] 1734 { ps1.clear(); //ps1存放插入a[i]的结果 1735 for (it=ps.begin();it!=ps.end();++it) 1736 Insert(*it,a,i,ps1); //在每个集合元素中间插入a[i]得到ps1 1737 ps=ps1; 1738 } 1739 } 1740 void dispps() //输出全排列ps 1741 { vector<vector<int> >::reverse_iterator it; //全排列的反向迭代器 1742 vector<int>::iterator sit; //排列集合元素迭代器 1743 for (it=ps.rbegin();it!=ps.rend();++it) 1744 { for (sit=(*it).begin();sit!=(*it).end();++sit) 1745 printf("%d",*sit); 1746 printf(" "); 1747 1748 37 1749 1750 算法设计 1751 1752 } 1753 printf("\n"); 1754 } 1755 void main() 1756 { int a[]={2,5,8}; 1757 int n=sizeof(a)/sizeof(a[0]); 1758 printf("a[0～%d]的全排序如下:\n ",n-1); Perm(a,n); 1759 dispps(); 1760 } 1761 上述程序的执行结果如图1.32所示。 1762 1763 1764 1765 1766 1767 图1.32 程序执行结果 1768 1.5 第5章─回溯法 1769 1770 1.5.1 练习题 1771 1. 回溯法在问题的解空间树中，按（ ）策略，从根结点出发搜索解空间树。 1772 A.广度优先 B.活结点优先 C.扩展结点优先 D.深度优先 1773 2. 关于回溯法以下叙述中不正确的是（ ）。 1774 A.回溯法有“通用解题法”之称，它可以系统地搜索一个问题的所有解或任意解 1775 B.回溯法是一种既带系统性又带有跳跃性的搜索算法 1776 C.回溯算法需要借助队列这种结构来保存从根结点到当前扩展结点的路径 1777 D.回溯算法在生成解空间的任一结点时，先判断该结点是否可能包含问题的解，如果 1778 肯定不包含，则跳过对该结点为根的子树的搜索，逐层向祖先结点回溯 1779 3. 回溯法的效率不依赖于下列哪些因素（ ）。 1780 A.确定解空间的时间 B.满足显约束的值的个数 1781 C.计算约束函数的时间 D.计算限界函数的时间 1782 4. 下面（ ）函数是回溯法中为避免无效搜索采取的策略。 1783 A.递归函数 B.剪枝函数 C.随机数函数 D.搜索函数 1784 5.回溯法的搜索特点是什么？ 1785 6. 用回溯法解0/1背包问题时，该问题的解空间是何种结构？用回溯法解流水作业调 1786 度问题时，该问题的解空间是何种结构？ 1787 7. 对于递增序列a[]={1，2，3，4，5}，采用例5.4的回溯法求全排列，以1、2开头 1788 的排列一定最先出现吗？为什么？ 1789 8. 考虑n皇后问题，其解空间树为由1、2、…、n构成的n!种排列所组成。现用回 1790 1791 38 1792 第1章 概论 1793 1794 溯法求解，要求： 1795 （1）通过解搜索空间说明n=3时是无解的。 1796 （2）给出剪枝操作。 1797 （3）最坏情况下在解空间树上会生成多少个结点？分析算法的时间复杂度。 1798 9. 设计一个算法求解简单装载问题，设有一批集装箱要装上一艘载重量为W的轮 1799 船，其中编号为i（0≤i≤n-1）的集装箱的重量为wi。现要从n个集装箱中选出若干装上 轮船，使它们的重量之和正好为W。如果找到任一种解返回true，否则返回false。 1800 10. 给定若干个正整数a0、a0 、…、an-1 ，从中选出若干数，使它们的和恰好为k， 要求找选择元素个数最少的解。 1801 11. 设计求解有重复元素的排列问题的算法，设有n个元素a[]={a0，a1，…，an-1)， 其中可能含有重复的元素，求这些元素的所有不同排列。如a[]={1，1，2}，输出结果是 （1，1，2)，（1，2，1），（2，1，1）。 1802 12. 采用递归回溯法设计一个算法求1～n的n个整数中取出m个元素的排列，要求每个 元素最多只能取一次。例如，n=3，m=2的输出结果是（1，2），（1，3），（2，1）， （2，3），（3，1），（3，2）。 1803 13. 对于n皇后问题，有人认为当n为偶数时，其解具有对称性，即n皇后问题的解个 数恰好为n/2皇后问题的解个数的2倍，这个结论正确吗？请编写回溯法程序对n=4、6、 8、10的情况进行验证。 1804 14. 给定一个无向图，由指定的起点前往指定的终点，途中经过所有其他顶点且只经 过一次，称为哈密顿路径，闭合的哈密顿路径称作哈密顿回路（Hamiltonian cycle）。设计 一个回溯算法求无向图的所有哈密顿回路。 1805 1.5.2 练习题参考答案 1806 1. 答：D。 1807 2. 答：回溯算法是采用深度优先遍历的，需要借助系统栈结构来保存从根结点到当 1808 前扩展结点的路径。答案为C。 1809 3. 答：回溯法解空间是虚拟的，不必确定整个解空间。答案为A。 1810 4. 答：B。 1811 5. 答：回溯法在解空间树中采用深度优先遍历方式进行解搜索，即用约束条件和限 1812 界函数考察解向量元素x[i]的取值，如果x[i]是合理的就搜索x[i]为根结点的子树，如果 1813 x[i]取完了所有的值，便回溯到x[i-1]。 1814 6. 答：用回溯法解0/1背包问题时，该问题的解空间是子集树结构。用回溯法解流水 作业调度问题时，该问题的解空间是排列树结构。 1815 7. 答：是的。对应的解空间是一棵排列树，如图1.33所示给出前面3层部分，显然 最先产生的排列是从G结点扩展出来的叶子结点，它们就是以1、2开头的排列。 1816 1817 1818 1819 1820 1821 39 1822 1823 1824 1825 1826 1 1827 1828 1829 算法设计 1830 1831 A 1832 23 4 1833 1834 1835 1836 1837 1838 5 1839 1840 2 1841 1842 B C 1843 34 5 1844 1845 D E F 1846 G H I J 1847 图1.33 部分解空间树 1848 8. 答：（1）n=3时的解搜索空间如图1.34所示，不能得到任何叶子结点，所有无 1849 解。 1850 （2）剪枝操作是任何两个皇后不能同行、同列和同两条对角线。 1851 （3）最坏情况下每个结点扩展n个结点，共有nn个结点，算法的时间复杂度为 1852 O(nn)。 1853 (*,*,*) 1854 1855 1856 1857 (1,*,*) 1858 1859 (1,3,*) 1860 1861 1862 1863 1864 1865 (2,*,*) 1866 1867 1868 1869 1870 (3,*,*) 1871 1872 (3,1,*) 1873 1874 图1.34 3皇后问题的解搜索空间 1875 9. 解：用数组w[0..n-1]存放n个集装箱的重量，采用类似判断子集和是否存在解的 1876 方法求解。对应完整的求解程序如下： 1877 #include <stdio.h> 1878 #define MAXN 20 //最多集装箱个数 1879 //问题表示 1880 int n=5,W; 1881 int w[]={2,9,5,6,3}; 1882 int count; //全局变量，累计解个数 1883 void dfs(int tw,int rw,int i) //求解简单装载问题 1884 { if (i>=n) //找到一个叶子结点 1885 { if (tw==W) //找到一个满足条件的解,输出它 1886 count++; 1887 } 1888 else //尚未找完 1889 { rw-=w[i]; //求剩余的集装箱重量和 1890 if (tw+w[i]<=W) //左孩子结点剪枝：选取满足条件的集装箱w[i] 1891 dfs(tw+w[i],rw,i+1); //选取第i个集装箱 1892 if (tw+rw>=W) //右孩子结点剪枝：剪除不可能存在解的结点 1893 dfs(tw,rw,i+1); //不选取第i个集装箱,回溯 1894 } 1895 } 1896 bool solve() //判断简单装载问题是否存在解 1897 1898 40 1899 第1章 概论 1900 1901 { count=0; 1902 int rw=0; 1903 for (int j=0;j<n;j++) //求所有集装箱重量和rw rw+=w[j]; 1904 dfs(0,rw,0); //i从0开始 1905 if (count>0) 1906 return true; 1907 else 1908 return false; 1909 } 1910 void main() 1911 { printf("求解结果\n"); 1912 W=4; 1913 printf(" W=%d时%s\n",W,(solve()?"存在解":"没有解")); W=10; 1914 printf(" W=%d时%s\n",W,(solve()?"存在解":"没有解")); W=12; 1915 printf(" W=%d时%s\n",W,(solve()?"存在解":"没有解")); W=21; 1916 printf(" W=%d时%s\n",W,(solve()?"存在解":"没有解")); } 1917 本程序执行结果如图1.35所示。 1918 1919 1920 1921 1922 1923 1924 图1.35 程序执行结果 1925 10. 解：这是一个典型的解空间为子集树的问题，采用子集树的回溯算法框架。当找 1926 到一个解后通过选取的元素个数进行比较求最优解minpath。对应的完整程序如下： 1927 #include <stdio.h> 1928 #include <vector> 1929 using namespace std; 1930 //问题表示 1931 int a[]={1,2,3,4,5}; //设置为全局变量 1932 int n=5,k=9; 1933 vector<int> minpath; //存放最优解 1934 //求解结果表示 1935 int minn=n; //最多选择n个元素 1936 void disppath() //输出一个解 1937 { printf(" 选择的元素:"); 1938 for (int j=0;j<minpath.size();j++) 1939 printf("%d ",minpath[j]); 1940 printf("元素个数=%d\n",minn); 1941 } 1942 1943 41 1944 1945 算法设计 1946 1947 void dfs(vector<int> path,int sum,int start) //求解算法 1948 { if (sum==k) //如果找到一个解，不一定到叶子结点 { if (path.size()<minn) 1949 { minn=path.size(); 1950 minpath=path; 1951 } 1952 return; 1953 } 1954 if (start>=n) return; //全部元素找完，返回 1955 dfs(path,sum,start+1); //不选择a[start] 1956 path.push_back(a[start]); //选择a[start] 1957 dfs(path,sum+a[start],start+1); 1958 } 1959 void main() 1960 { vector<int> path; //path存放一个子集 1961 dfs(path,0,0); 1962 printf("最优解:\n"); 1963 disppath(); 1964 } 1965 上述程序的执行结果如图1.36所示。 1966 1967 1968 1969 1970 1971 图1.36 程序执行结果 1972 11. 解：在回溯法求全排列的基础上，增加元素的重复性判断。例如，对于a[]={1， 1973 1，2}，不判断重复性时输出（1，1，2），（1，2，1），（1，1，2），（1，2，1）， （2，1，1），（2，1，1），共6个，有3个是重复的。重复性判断是这样的，对于在扩 展a[i]时，仅仅将与a[i..j-1]没有出现的元素a[j]交换到a[i]的位置，如果出现，对应的排 列已经在前面求出了。对应的完整程序如下： 1974 #include <stdio.h> 1975 bool ok(int a[],int i,int j) //ok用于判别重复元素 1976 { if (j>i) 1977 { for(int k=i;k<j;k++) 1978 if (a[k]==a[j]) 1979 return false; 1980 } 1981 return true; 1982 } 1983 void swap(int &x,int &y) //交换两个元素 1984 { int tmp=x; 1985 x=y; y=tmp; 1986 } 1987 void dfs(int a[],int n,int i) //求有重复元素的排列问题 1988 { if (i==n) 1989 1990 42 1991 第1章 概论 1992 1993 { for(int j=0;j<n;j++) 1994 printf("%3d",a[j]); 1995 printf("\n"); 1996 } 1997 else 1998 { for (int j=i;j<n;j++) 1999 if (ok(a,i,j)) //选取与a[i..j-1]不重复的元素a[j] { swap(a[i],a[j]); 2000 dfs(a,n,i+1); 2001 swap(a[i],a[j]); 2002 } 2003 } 2004 } 2005 void main() 2006 { int a[]={1,2,1,2}; 2007 int n=sizeof(a)/sizeof(a[0]); 2008 printf("序列("); 2009 for (int i=0;i<n-1;i++) 2010 printf("%d ",a[i]); 2011 printf("%d)的所有不同排列:\n",a[n-1]); 2012 dfs(a,n,0); 2013 } 2014 上述程序的执行结果如图1.37所示。 2015 2016 2017 2018 2019 2020 2021 2022 图1.37 程序执行结果 2023 12. 解：采用求全排列的递归框架。选取的元素个数用i表示（i从1开始），当i>m 2024 时达到一个叶子结点，输出一个排列。为了避免重复，用used数组实现，used[i]=0表示 没有选择整数i，used[i]=1表示已经选择整数i。对应的完整程序如下： 2025 #include <stdio.h> 2026 #include <string.h> 2027 #define MAXN 20 2028 #define MAXM 10 2029 int m,n; 2030 int x[MAXM]; //x[1..m]存放一个排列 2031 bool used[MAXN]; 2032 void dfs(int i) //求n个元素中m个元素的全排列 2033 { if (i>m) 2034 { for (int j=1;j<=m;j++) 2035 printf(" %d",x[j]); //输出一个排列 2036 printf("\n"); 2037 2038 43 2039 2040 算法设计 2041 2042 } 2043 else 2044 { for (int j=1;j<=n;j++) 2045 { if (!used[j]) 2046 { used[j]=true; //修改used[i] 2047 x[i]=j; //x[i]选择j 2048 dfs(i+1); //继续搜索排列的下一个元素 used[j]=false; //回溯：恢复used[i] 2049 } 2050 } 2051 } 2052 } 2053 void main() 2054 { n=4,m=2; 2055 memset(used,0,sizeof(used)); //初始化为0 2056 printf("n=%d,m=%d的求解结果\n",n,m); 2057 dfs(1); //i从1开始 2058 } 2059 上述程序的执行结果如图1.38所示。 2060 2061 2062 2063 2064 2065 2066 2067 2068 2069 2070 图1.38 程序执行结果 2071 13. 解：这个结论不正确。验证程序如下： 2072 #include <stdio.h> 2073 #include <stdlib.h> 2074 #define MAXN 10 2075 int q[MAXN]; 2076 bool place(int i) //测试第i行的q[i]列上能否摆放皇后 2077 { int j=1; 2078 if (i==1) return true; 2079 while (j<i) //j=1～i-1是已放置了皇后的行 2080 { if ((q[j]==q[i]) || (abs(q[j]-q[i])==abs(j-i))) 2081 //该皇后是否与以前皇后同列，位置(j,q[j])与(i,q[i])是否同对角线 return false; 2082 j++; 2083 } 2084 return true; 2085 } 2086 44 2087 第1章 概论 2088 2089 int Queens(int n) //求n皇后问题的解个数 2090 { int count=0,k; //计数器初始化 2091 int i=1; //i为当前行 2092 q[1]=0; //q[i]为皇后i的列号 2093 while (i>0) 2094 { q[i]++; //移到下一列 2095 while (q[i]<=n && !place(i)) 2096 q[i]++; 2097 if (q[i]<=n) 2098 { if (i==n) 2099 count++; //找到一个解计数器count加1 2100 else 2101 { 2102 i++;; q[i]=0; 2103 } 2104 } 2105 else i--; //回溯 2106 } 2107 return count; 2108 } 2109 void main() 2110 { printf("验证结果如下:\n"); 2111 for (int n=4;n<=10;n+=2) 2112 if (Queens(n)==2*Queens(n/2)) 2113 printf(" n=%d: 正确\n",n); 2114 else 2115 printf(" n=%d: 错误\n",n); 2116 } 2117 上述程序的执行结果如图1.39所示。从执行结果看出结论是不正确的。 2118 2119 2120 2121 2122 2123 2124 图1.39 程序执行结果 2125 14. 解：假设给定的无向图有n个顶点（顶点编号从0到n-1），采用邻接矩阵数组a 2126 （0/1矩阵）存放，求从顶点v出发回到顶点v的哈密顿回路。采用回溯法，解向量为 2127 x[0..n]，x[i]表示第i步找到的顶点编号（i=n-1时表示除了起点v外其他顶点都查找了）， 初始时将起点v存放到x[0]，i从1开始查找，i>0时循环：为x[i]找到一个合适的顶点， 当i=n-1时，若顶点x[i]到顶点v有边对应一个解；否则继续查找下一个顶点。如果不能 为x[i]找到一个合适的顶点，则回溯。采用非递归回溯框架（与《教程》中求解n皇后问 题的非递归回溯框架类似）的完整程序如下： 2128 #include <stdio.h> 2129 #define MAXV 10 2130 2131 45 2132 2133 算法设计 2134 2135 //求解问题表示 2136 int n=5; //图中顶点个数 2137 int a[MAXV][MAXV]={{0,1,1,1,0},{1,0,0,1,1},{1,0,0,0,1},{1,1,0,0,1},{0,1,1,1,0}}; //邻接矩阵数组 2138 //求解结果表示 2139 int x[MAXV]; 2140 int count; 2141 void dispasolution() //输出一个解路径 2142 { for (int i=0;i<=n-1;i++) 2143 printf("(%d,%d) ",x[i],x[i+1]); 2144 printf("\n"); 2145 } 2146 bool valid(int i) //判断顶点第i个顶点x[i]的有效性 2147 { if (a[x[i-1]][x[i]]!=1) //x[i-1]到x[i]没有边，返回false 2148 return false; 2149 for (int j=0;j<=i-1;j++) 2150 if (x[i]==x[j]) //顶点i重复出现，返回false 2151 return false; 2152 return true; 2153 } 2154 void Hamiltonian(int v) //求从顶点v出发的哈密顿回路 2155 { x[0]=v; //存放起点 2156 int i=1; 2157 x[i]=-1; //从顶点-1+1=0开始试探 2158 while (i>0) //尚未回溯到头，循环 2159 { x[i]++; 2160 while (!valid(i) && x[i]<n) 2161 x[i]++; //试探一个顶点x[i] 2162 if (x[i]<n) //找到一个有效的顶点x[i] 2163 { if (i==n-1) //达到叶子结点 2164 { if (a[x[i]][v]==1) 2165 { x[n]=v; //找到一个解 2166 printf(" 第%d个解: ",count++); 2167 dispasolution(); 2168 } 2169 } 2170 else 2171 { 2172 i++; x[i]=-1; 2173 } 2174 } 2175 else 2176 i--; //回溯 2177 } 2178 } 2179 void main() 2180 { printf("求解结果\n"); 2181 for (int v=0;v<n;v++) 2182 { printf(" 从顶点%d出发的哈密顿回路:\n",v); 2183 count=1; 2184 2185 46 2186 第1章 概论 2187 2188 Hamiltonian(v); //从顶点v出发 2189 } 2190 } 2191 上述程序对如图1.40所示的无向图求从每个顶点出发的哈密顿回路，程序执行结果 如图1.41所示。 2192 1 2193 2194 2195 0 2196 2197 2198 2199 3 2200 2201 2202 2 2203 2204 2205 2206 4 2207 2208 图1.40 一个无向图 2209 2210 2211 2212 2213 2214 2215 2216 2217 2218 2219 2220 2221 2222 2223 2224 2225 2226 图1.41 程序执行结果 2227 1.6 第6章─分枝限界法 2228 2229 1.6.1 练习题 2230 1. 分枝限界法在问题的解空间树中，按（ ）策略，从根结点出发搜索解空间树。 2231 A.广度优先 B.活结点优先 C.扩展结点优先 D. 深度优先 2232 2. 常见的两种分枝限界法为（ ）。 2233 A.广度优先分枝限界法与深度优先分枝限界法 2234 2235 47 2236 2237 算法设计 2238 2239 B.队列式（FIFO）分枝限界法与堆栈式分枝限界法 2240 C.排列树法与子集树法 2241 D.队列式（FIFO）分枝限界法与优先队列式分枝限界法 2242 3. 分枝限界法求解0/1背包问题时，活结点表的组织形式是（ ）。 2243 A.小根堆 B.大根堆 C.栈 D.数组 2244 4. 采用最大效益优先搜索方式的算法是（ ）。 2245 A.分支界限法 B.动态规划法 C.贪心法 D.回溯法 2246 5. 优先队列式分枝限界法选取扩展结点的原则是（ ）。 2247 A.先进先出 B.后进先出 C.结点的优先级 D.随机 2248 6. 简述分枝限界法的搜索策略。 2249 7. 有一个0/1背包问题，其中n=4，物品重量为（4，7，5，3），物品价值为（40， 2250 42，25，12），背包最大载重量W=10，给出采用优先队列式分枝限界法求最优解的过程。 8. 有一个流水作业调度问题，n=4，a[]={5，10，9，7}，b[]={7，5，9，8}，给出采 2251 用优先队列式分枝限界法求一个解的过程。 2252 9. 有一个含n个顶点（顶点编号为0～n-1）的带权图，采用邻接矩阵数组A表示， 2253 采用分枝限界法求从起点s到目标点t的最短路径长度，以及具有最短路径长度的路径条 数。 2254 10. 采用优先队列式分枝限界法求解最优装载问题。给出以下装载问题的求解过程和 结果：n=5，集装箱重量为w=（5，2，6，4，3），限重为W=10。在装载重量相同时，最 优装载方案是集装箱个数最少的方案。 2255 1.6.2 练习题参考答案 2256 1. 答：A。 2257 2. 答：D。 2258 3. 答：B。 2259 4. 答：A。 2260 5. 答：C。 2261 6. 答：分枝限界法的搜索策略是广度优先遍历，通过限界函数可以快速找到一个解 2262 或者最优解。 2263 7. 答：求解过程如下： 2264 （1）根结点1进队，对应结点值：e.i=0，e.w=0，e.v=0，e.ub=76，x:[0，0，0，0]。 2265 （2）出队结点1：左孩子结点2进队，对应结点值：e.no=2，e.i=1，e.w=4， 2266 e.v=40，e.ub=76，x:[1，0，0，0]；右孩子结点3进队，对应结点值：e.no=3，e.i=1， 2267 e.w=0，e.v=0，e.ub=57，x:[0，0，0，0]。 2268 （3）出队结点2：左孩子超重；右孩子结点4进队，对应结点值：e.no=4，e.i=2， 2269 e.w=4，e.v=40，e.ub=69，x:[1，0，0，0]。 2270 （4）出队结点4：左孩子结点5进队，对应结点值：e.no=5，e.i=3，e.w=9， 2271 e.v=65，e.ub=69，x:[1，0，1，0]；右孩子结点6进队，对应结点值：e.no=6，e.i=3， 2272 e.w=4，e.v=40，e.ub=52，x:[1，0，0，0]。 2273 48 2274 第1章 概论 2275 2276 （5）出队结点5：产生一个解，maxv= 65，bestx:[1，0，1，0]。 2277 （6）出队结点3：左孩子结点8进队，对应结点值：e.no=8，e.i=2，e.w=7， 2278 e.v=42，e.ub=57，x:[0，1，0，0]；右孩子结点9被剪枝。 2279 （7）出队结点8：左孩子超重；右孩子结点10被剪枝。 2280 （8）出队结点6：左孩子结点11超重；右孩子结点12被剪枝。 2281 （9）队列空，算法结束，产生的最优解：maxv= 65，bestx:[1，0，1，0]。 2282 8. 答：求解过程如下： 2283 （1）根结点1进队，对应结点值：e.i=0，e.f1=0，e.f2=0，e.lb=29， x：[0，0，0， 2284 0]。 2285 （2）出队结点1：扩展结点如下： 2286 进队（j=1）：结点2，e.i=1，e.f1=5，e.f2=12，e.lb=27，x：[1，0，0，0]。 2287 进队（j=2）：结点3，e.i=1，e.f1=10，e.f2=15，e.lb=34，x：[2，0，0，0]。 2288 进队（j=3）：结点4，e.i=1，e.f1=9，e.f2=18，e.lb=29，x：[3，0，0，0]。 2289 进队（j=4）：结点5，e.i=1，e.f1=7，e.f2=15，e.lb=28，x：[4，0，0，0]。 2290 （3）出队结点2：扩展结点如下： 2291 进队（j=2）：结点6，e.i=2，e.f1=15，e.f2=20，e.lb=32，x：[1，2，0，0]。 2292 进队（j=3）：结点7，e.i=2，e.f1=14，e.f2=23，e.lb=27，x：[1，3，0，0]。 2293 进队（j=4）：结点8，e.i=2，e.f1=12，e.f2=20，e.lb=26，x：[1，4，0，0]。 2294 （4）出队结点8：扩展结点如下： 2295 进队（j=2）：结点9，e.i=3，e.f1=22，e.f2=27，e.lb=31，x：[1，4，2，0]。 2296 进队（j=3）：结点10，e.i=3，e.f1=21，e.f2=30，e.lb=26，x：[1，4，3，0]。 2297 （5）出队结点10，扩展一个j=2的子结点，有e.i=4，到达叶子结点，产生的一个解 2298 是e.f1=31，e.f2=36，e.lb=31，x=[1，4，3，2]。 2299 该解对应的调度方案是：第1步执行作业1，第2步执行作业4，第3步执行作业 2300 3，第4步执行作业2，总时间=36。 2301 9. 解：采用优先队列式分枝限界法求解，队列中结点的类型如下： 2302 struct NodeType 2303 { int vno; //顶点的编号 2304 int length; //当前结点的路径长度 2305 bool operator<(const NodeType &s) const //重载<关系函数 2306 { return length>s.length; } //length越小越优先 2307 }; 2308 从顶点s开始广度优先搜索，找到目标点t后比较求最短路径长度及其路径条数。对 应的完整程序如下： 2309 #include <stdio.h> 2310 #include <queue> 2311 using namespace std; 2312 #define MAX 11 2313 #define INF 0x3f3f3f3f 2314 //问题表示 2315 int A[MAX][MAX]={ //一个带权有向图 2316 2317 49 2318 2319 算法设计 2320 2321 {0，1，4，INF，INF}， 2322 {INF，0，INF，1，5}， 2323 {INF，INF，0，INF，1}， 2324 {INF，INF，2，0，3}， 2325 {INF，INF，INF，INF，INF} }; 2326 int n=5; 2327 //求解结果表示 2328 int bestlen=INF; //最优路径的路径长度 2329 int bestcount=0; //最优路径的条数 2330 struct NodeType 2331 { int vno; //顶点的编号 2332 int length; //当前结点的路径长度 2333 bool operator<(const NodeType &s) const //重载>关系函数 2334 { return length>s.length; } //length越小越优先 2335 }; 2336 void solve(int s，int t) //求最短路径问题 2337 { NodeType e，e1; //定义2个结点 2338 priority_queue<NodeType> qu; //定义一个优先队列qu 2339 e.vno=s; //构造根结点 2340 e.length=0; 2341 qu.push(e); //根结点进队 2342 while (!qu.empty()) //队不空循环 2343 { e=qu.top(); qu.pop(); //出队结点e作为当前结点 2344 if (e.vno==t) //e是一个叶子结点 2345 { if (e.length<bestlen) //比较找最优解 2346 { bestcount=1; 2347 bestlen=e.length; //保存最短路径长度 2348 } 2349 else if (e.length==bestlen) 2350 bestcount++; 2351 } 2352 else //e不是叶子结点 2353 { for (int j=0; j<n; j++) //检查e的所有相邻顶点 2354 if (A[e.vno][j]!=INF && A[e.vno][j]!=0) //顶点e.vno到顶点j有边 { if (e.length+A[e.vno][j]<bestlen) //剪枝 2355 { e1.vno=j; 2356 e1.length=e.length+A[e.vno][j]; 2357 qu.push(e1); //有效子结点e1进队 2358 } 2359 } 2360 } 2361 } 2362 } 2363 void main() 2364 { int s=0，t=4; 2365 solve(s，t); 2366 if (bestcount==0) 2367 printf("顶点%d到%d没有路径\n"，s，t); 2368 else 2369 { printf("顶点%d到%d存在路径\n"，s，t); 2370 2371 50 2372 第1章 概论 2373 2374 printf(" 最短路径长度=%d，条数=%d\n"， bestlen，bestcount); //输出：5 3 2375 } 2376 } 2377 上述程序的执行结果如图1.39所示。 2378 2379 2380 2381 2382 2383 图1.39 程序执行结果 2384 10. 解：采用优先队列式分枝限界法求解。设计优先队列 2385 priority_queue<NodeType>，并设计优先队列的关系比较函数Cmp，指定按结点的ub值进 行比较，即ub值越大的结点越先出队。对应的完整程序如下： 2386 #include <stdio.h> 2387 #include <queue> 2388 using namespace std; 2389 #define MAXN 21 //最多的集装箱数 2390 //问题表示 2391 int n=5; 2392 int W=10; 2393 int w[]={0,5,2,6,4,3}; //集装箱重量,不计下标0的元素 2394 //求解结果表示 2395 int bestw=0; //存放最大重量,全局变量 2396 int bestx[MAXN]; //存放最优解,全局变量 2397 int Count=1; //搜索空间中结点数累计,全局变量 2398 typedef struct 2399 { int no; //结点编号 2400 int i; //当前结点在解空间中的层次 2401 int w; //当前结点的总重量 2402 int x[MAXN]; //当前结点包含的解向量 2403 int ub; //上界 2404 } NodeType; 2405 struct Cmp //队列中关系比较函数 2406 { bool operator()(const NodeType &s,const NodeType &t) 2407 { return (s.ub<t.ub) || (s.ub==t.ub && s.x[0]>t.x[0]); 2408 //ub越大越优先,当ub相同时x[0]越小越优先 2409 } 2410 }; 2411 void bound(NodeType &e) //计算分枝结点e的上界 2412 { int i=e.i+1; 2413 int r=0; //r为剩余集装箱的重量 2414 while (i<=n) 2415 { r+=w[i]; 2416 i++; 2417 } 2418 e.ub=e.w+r; 2419 2420 51 2421 2422 算法设计 2423 2424 } 2425 void Loading() //求装载问题的最优解 2426 { NodeType e,e1,e2; //定义3个结点 2427 priority_queue<NodeType,vector<NodeType>,Cmp > qu; //定义一个优先队列qu 2428 e.no=Count++; //设置结点编号 2429 e.i=0; //根结点置初值,其层次计为0 2430 e.w=0; 2431 for (int j=0; j<=n; j++) //初始化根结点的解向量 2432 e.x[j]=0; 2433 bound(e); //求根结点的上界 2434 qu.push(e); //根结点进队 2435 while (!qu.empty()) //队不空循环 2436 { e=qu.top(); qu.pop(); //出队结点e作为当前结点 2437 if (e.i==n) //e是一个叶子结点 2438 { if ((e.w>bestw) || (e.w==bestw && e.x[0]<bestx[0])) //比较找最优解 { bestw=e.w; //更新bestw 2439 for (int j=0;j<=e.i;j++) 2440 bestx[j]=e.x[j]; //复制解向量e.x->bestx 2441 } 2442 } 2443 else //e不是叶子结点 2444 { if (e.w+w[e.i+1]<=W) //检查左孩子结点 2445 { e1.no=Count++; //设置结点编号 2446 e1.i=e.i+1; //建立左孩子结点 2447 e1.w=e.w+w[e1.i]; 2448 for (int j=0; j<=e.i; j++) 2449 e1.x[j]=e.x[j]; //复制解向量e.x->e1.x 2450 e1.x[e1.i]=1; //选择集装箱i 2451 e1.x[0]++; //装入集装箱数增1 2452 bound(e1); //求左孩子结点的上界 2453 qu.push(e1); //左孩子结点进队 2454 } 2455 e2.no=Count++; //设置结点编号 2456 e2.i=e.i+1; //建立右孩子结点 2457 e2.w=e.w; 2458 for (int j=0; j<=e.i; j++) //复制解向量e.x->e2.x 2459 e2.x[j]=e.x[j]; 2460 e2.x[e2.i]=0; //不选择集装箱i 2461 bound(e2); //求右孩子结点的上界 2462 if (e2.ub>bestw) //若右孩子结点可行,则进队,否则被剪枝 qu.push(e2); 2463 } 2464 } 2465 } 2466 void disparr(int x[],int len) //输出一个解向量 2467 { for (int i=1;i<=len;i++) 2468 printf("%2d",x[i]); 2469 } 2470 void dispLoading() //输出最优解 2471 { printf(" X=["); 2472 2473 52 2474 第1章 概论 2475 2476 disparr(bestx,n); 2477 printf("],装入总价值为%d\n",bestw); 2478 } 2479 void main() 2480 { Loading(); 2481 printf("求解结果:\n"); 2482 dispLoading(); //输出最优解 } 2483 上述程序的执行结果如图1.40所示。 2484 2485 2486 2487 2488 2489 图1.40 程序执行结果 2490 1.7 第7章─贪心法 2491 2492 1.7.1 练习题 2493 1. 下面是贪心算法的基本要素的是（ ）。 2494 A.重叠子问题 B.构造最优解 C.贪心选择性质 D.定义最优解 2495 2. 下面问题（ ）不能使用贪心法解决。 2496 A.单源最短路径问题 B.n皇后问题 C.最小花费生成树问题 D.背包问题 2497 3. 采用贪心算法的最优装载问题的主要计算量在于将集装箱依其重量从小到大排 2498 序，故算法的时间复杂度为（ ）。 2499 A.O(n) B.O(n2) C.O(n3) D.O(nlog2n) 2500 4. 关于0/ 1背包问题以下描述正确的是（ ）。 2501 A.可以使用贪心算法找到最优解 2502 B.能找到多项式时间的有效算法 2503 C.使用教材介绍的动态规划方法可求解任意0－1背包问题 2504 D.对于同一背包与相同的物品，做背包问题取得的总价值一定大于等于做0/1背包问 2505 题 2506 5. 一棵哈夫曼树共有215个结点，对其进行哈夫曼编码，共能得到（ ）个不同的码 2507 字。 2508 A.107 B.108 C.214 D.215 2509 6. 求解哈夫曼编码中如何体现贪心思路？ 2510 7. 举反例证明0/1背包问题若使用的算法是按照vi/wi的非递减次序考虑选择的物 2511 品，即只要正在被考虑的物品装得进就装入背包，则此方法不一定能得到最优解（此题说 明0/1背包问题与背包问题的不同）。 2512 2513 53 2514 2515 算法设计 2516 2517 8. 求解硬币问题。有1分、2分、5分、10分、50分和100分的硬币各若干枚，现 在要用这些硬币来支付W元，最少需要多少枚硬币。 2518 9. 求解正整数的最大乘积分解问题。将正整数n分解为若干个互不相同的自然数之 和，使这些自然数的乘积最大。 2519 10. 求解乘船问题。有n个人，第i个人体重为wi（0≤i<n）。每艘船的最大载重量均 为C，且最多只能乘两个人。用最少的船装载所有人。 2520 11. 求解会议安排问题。有一组会议A和一组会议室B，A[i]表示第i个会议的参加人 数，B[j]表示第j个会议室最多可以容纳的人数。当且仅当A[i]≤B[j]时，第j个会议室可 以用于举办第i个会议。给定数组A和数组B，试问最多可以同时举办多少个会议。例 如，A[]={1，2，3}，B[]={3，2，4}，结果为3；若A[]={3，4，3，1}，B[]={1，2，2， 6}，结果为2. 2521 12. 假设要在足够多的会场里安排一批活动，n个活动编号为1～n，每个活动有开始 时间bi和结束时间ei（1≤i≤n）。设计一个有效的贪心算法求出最少的会场个数。 2522 13. 给定一个m×n的数字矩阵，计算从左到右走过该矩阵且经过的方格中整数最小的 路径。一条路径可以从第1列的任意位置出发，到达第n列的任意位置，每一步为从第i 列走到第i+1列相邻行（水平移动或沿45度斜线移动），如图1.41所示。第1行和最后一 行看作是相邻的，即应当把这个矩阵看成是一个卷起来的圆筒。 2523 2524 2525 2526 2527 2528 2529 2530 2531 图1.41 每一步的走向 2532 两个略有不同的5×6的数字矩阵的最小路径如图1.42所示，只有最下面一行的数不 2533 同。右边矩阵的路径利用了第一行与最后一行相邻的性质。 2534 输入：包含多个矩阵，每个矩阵的第一行为两个数m和n，分别表示矩阵的行数和列 2535 数，接下来的m×n个整数按行优先的顺序排列，即前n个数组成第一行，接下的n个数 组成第2行，依此类推。相邻整数间用一个或多个空格分隔。注意这些数不一定是正数。 输入中可能有一个或多个矩阵描述，直到输入结束。每个矩阵的行数在1到10之间，列 数在1到100之间。 2536 输出：对每个矩阵输出两行，第一行为最小整数之和的路径，路径由n个整数组成， 表示路径经过的行号，如果这样的路径不止一条，输出字典序最小一条。 2537 2538 2539 3 4 1 2 8 6 2540 6 1 8 2 7 4 2541 5 9 3 9 9 5 2542 8 4 1 3 2 6 2543 2544 2545 2546 2547 2548 2549 2550 2551 2552 2553 2554 3 4 1 2 8 6 2555 6 1 8 2 7 4 2556 5 9 3 9 9 5 2557 8 4 1 3 2 6 2558 3 7 2 1 2 3 2559 54 2560 第1章 概论 2561 2562 6 1 8 2 7 4 2563 5 9 3 9 9 5 2564 8 4 1 3 2 6 2565 3 7 2 8 6 4 2566 输出结果： 2567 1 2 3 4 4 5 2568 16 2569 1.7.2 练习题参考答案 2570 1. 答：C。 2571 2. 答：n皇后问题的解不满足贪心选择性质。答案为B。 2572 3. 答：D。 2573 4. 答：由于背包问题可以取物品的一部分，所以总价值一定大于等于做0/1背包问 2574 题。答案为D。 2575 5. 答：这里n=215，哈夫曼树中n1=0，而n0=n2+1，n=n0+n1+n2=2n0-1， 2576 n0=(n+1)/2=108。答案为B。 2577 6. 答：在构造哈夫曼树时每次都是将两棵根结点最小的树合并，从而体现贪心的思 2578 路。 2579 7. 证明：例如，n=3，w={3，2，2}，v={7，4，4}，W=4时，由于7/3最大，若按题 目要求的方法，只能取第一个，收益是7。而此实例的最大的收益应该是8，取第2、3 个物品。 2580 8. 解：用结构体数组A存放硬币数据，A[i].v存放硬币i的面额，A[i].c存放硬币i的 枚数。采用贪心思路，首先将数组A按面额递减排序，再兑换硬币，每次尽可能兑换面额 大的硬币。对应的完整程序如下： 2581 #include <stdio.h> 2582 #include <algorithm> 2583 using namespace std; 2584 #define min(x,y) ((x)<(y)?(x):(y)) 2585 #define MAX 21 2586 //问题表示 2587 int n=7; 2588 struct NodeType 2589 { int v; //面额 2590 int c; //枚数 2591 bool operator<(const NodeType &s) 2592 { //用于按面额递减排序 2593 return s.v<v; 2594 } 2595 }; 2596 NodeType A[]={{1,12},{2,8},{5,6},{50,10},{10,8},{200,1},{100,4}}; 2597 int W; 2598 //求解结果表示 2599 int ans=0; //兑换的硬币枚数 2600 void solve() //兑换硬币 2601 2602 55 2603 2604 算法设计 2605 2606 { sort(A,A+n); //按面额递减排序 2607 for (int i=0;i<n;i++) 2608 { int t=min(W/A[i].v,A[i].c); //使用硬币i的枚数 if (t!=0) 2609 printf(" 支付%3d面额: %3d枚\n",A[i].v,t); W-=t*A[i].v; //剩余的金额 2610 ans+=t; 2611 if (W==0) break; 2612 } 2613 } 2614 void main() 2615 { W=325; //支付的金额 2616 printf("支付%d分:\n",W); 2617 solve(); 2618 printf("最少硬币的个数: %d枚\n",ans); 2619 } 2620 上述程序的执行结果如图1.43所示。 2621 2622 2623 2624 2625 2626 2627 2628 图1.43 程序执行结果 2629 9. 解：采用贪心方法求解。用a[0..k]存放n的分解结果： 2630 （1）n≤4时可以验证其分解成几个正整数的和的乘积均小于n，没有解。 2631 （2）n>4时，把n分拆成若干个互不相等的自然数的和，分解数的个数越多乘积越 2632 大。为此让n的分解数个数尽可能多（体现贪心的思路），把n分解成从2开始的连续的 自然数之和。例如，分解n为a[0]=2，a[1]=3，a[2]=4，…，a[k]=k+2（共有k+1个分解 2633 数），用m表示剩下数，这样的分解直到m≤a[k]为止，即m≤k+2。对剩下数m的处理分 为如下两种情况： 2634 ① m<k+2：将m平均分解到a[k..i]（对应的分解数个数为m）中，即从a[k]开始往前 的分解数增加1（也是贪心的思路，分解数越大加1和乘积也越大）。 2635 ② m=k+2：将a[0..k-1] （对应的分解数个数为k）的每个分解数增加1，剩下的2增 加到a[k]中，即a[k]增加2。 2636 对应的完整程序如下： 2637 #include <stdio.h> 2638 #include <string.h> 2639 #define MAX 20 2640 //问题表示 2641 int n; 2642 //求解结果表示 2643 2644 56 2645 第1章 概论 2646 2647 int a[MAX]; //存放被分解的数 2648 int k=0; //a[0..k]存放被分解的数 2649 void solve() //求解n的最大乘积分解问题 2650 { int i; 2651 int sum=1; 2652 if (n<4) //不存在最优方案,直接返回 2653 return; 2654 else 2655 { int m=n; //m表示剩下数 2656 a[0]=2; //第一个数从2开始 2657 m-=a[0]; //减去已经分解的数 2658 k=0; 2659 while (m>a[k]) //若剩下数大于最后一个分解数,则继续分解 2660 { k++; //a数组下标+1 2661 a[k]=a[k-1]+1; //按2、3、4递增顺序分解 2662 m-=a[k]; //减去最新分解的数 2663 } 2664 if (m<a[k]) //若剩下数小于a[k],从a[k]开始往前的数+1 2665 { for (i=0; i<m; i++) 2666 a[k-i]+=1; 2667 } 2668 if (m==a[k]) //若剩下数等于a[k],则a[k]的值+2,之前的数+1 { a[k]+=2; 2669 for (i=0; i<k; i++) 2670 a[i]+=1; 2671 } 2672 } 2673 } 2674 void main() 2675 { n=23; 2676 memset(a,0,sizeof(a)); 2677 solve(); 2678 printf("%d的最优分解方案\n",n); 2679 int mul=1; 2680 printf(" 分解的数: "); 2681 for (int i=0;i<=k;i++) 2682 if (a[i]!=0) 2683 { printf("%d ",a[i]); 2684 mul*=a[i]; 2685 } 2686 printf("\n 乘积最大值: %d\n",mul); 2687 } 2688 上述程序的执行结果如图1.44所示。 2689 2690 2691 2692 2693 2694 2695 2696 57 2697 2698 算法设计 2699 2700 图1.44 程序执行结果 2701 10. 解：采用贪心思路，首先按体重递增排序；再考虑前后的两个人（最轻者和最重 2702 者），分别用i、j指向：若w[i]+w[j]≤C，说明这两个人可以同乘（执行i++，j--），否则 w[j]单乘（执行j--），若最后只剩余一个人，该人只能单乘。 2703 对应的完整程序如下： 2704 #include <stdio.h> 2705 #include <algorithm> 2706 using namespace std; 2707 #define MAXN 101 2708 //问题表示 2709 int n=7; 2710 int w[]={50,65,58,72,78,53,82}; 2711 int C=150; 2712 //求解结果表示 2713 int bests=0; 2714 void Boat() //求解乘船问题 2715 { sort(w,w+n); //递增排序 2716 int i=0; 2717 int j=n - 1; 2718 while (i<=j) 2719 { if(i==j) //剩下最后一个人 2720 { printf(" 一艘船: %d\n",w[i]); 2721 bests++; 2722 break; 2723 } 2724 if (w[i]+w[j]<=C) //前后两个人同乘 2725 { printf(" 一艘船: %d %d\n",w[i],w[j]); 2726 bests++; 2727 i++; 2728 j--; 2729 } 2730 else //w[j]单乘 2731 { printf(" 一艘船: %d\n",w[j]); 2732 bests++; 2733 j--; 2734 } 2735 } 2736 } 2737 void main() 2738 { printf("求解结果:\n"); 2739 Boat(); 2740 printf("最少的船数=%d\n",bests); 2741 } 2742 上述程序的执行结果如图1.45所示。 2743 2744 2745 2746 58 2747 第1章 概论 2748 2749 2750 2751 2752 2753 2754 2755 2756 图1.45 程序执行结果 2757 11. 解：采用贪心思路。每次都在还未安排的容量最大的会议室安排尽可能多的参会 2758 人数，即对于每个会议室，都安排当前还未安排的会议中，参会人数最多的会议。若能容 纳下，则选择该会议，否则找参会人数次多的会议来安排，直到找到能容纳下的会议。 2759 对应的完整程序如下： 2760 #include <stdio.h> 2761 #include <algorithm> 2762 using namespace std; 2763 //问题表示 2764 int n=4; //会议个数 2765 int m=4; //会议室个数 2766 int A[]={3,4,3,1}; 2767 int B[]={1,2,2,6}; 2768 //求解结果表示 2769 int ans=0; 2770 void solve() //求解算法 2771 { sort(A,A+n); //递增排序 2772 sort(B,B+m); //递增排序 2773 int i=n-1,j=m-1; //从最多人数会议和最多容纳人数会议室开始 2774 for(i;i>=0;i--) 2775 { if(A[i]<=B[j] && j>=0) 2776 { ans++; //不满足条件，增加一个会议室 2777 j--; 2778 } 2779 } 2780 } 2781 void main() 2782 { solve(); 2783 printf("%d\n",ans); //输出2 2784 } 2785 12. 解：与《教程》例7.2类似，会场对应蓄栏，只是这里仅仅求会场个数，即最大 兼容活动子集的个数。对应的完整程序如下： 2786 #include <stdio.h> 2787 #include <string.h> 2788 #include <algorithm> 2789 using namespace std; 2790 #define MAX 51 2791 //问题表示 2792 struct Action //活动的类型声明 2793 2794 59 2795 2796 算法设计 2797 2798 { int b; //活动起始时间 2799 int e; //活动结束时间 2800 bool operator<(const Action &s) const //重载<关系函数 2801 { if (e==s.e) //结束时间相同按开始时间递增排序 2802 return b<=s.b; 2803 else //否则按结束时间递增排序 2804 return e<=s.e; 2805 } 2806 }; 2807 int n=5; 2808 Action A[]={{0},{1,10},{2,4},{3,6},{5,8},{4,7}}; //下标0不用 2809 //求解结果表示 2810 int ans; //最少会场个数 2811 void solve() //求解最大兼容活动子集 2812 { bool flag[MAX]; //活动标志 2813 memset(flag,0,sizeof(flag)); 2814 sort(A+1,A+n+1); //A[1..n]按指定方式排序 2815 ans=0; //会场个数 2816 for (int j=1;j<=n;j++) 2817 { if (!flag[j]) 2818 { flag[j]=true; 2819 int preend=j; //前一个兼容活动的下标 2820 for (int i=preend+1;i<=n;i++) 2821 { if (A[i].b>=A[preend].e && !flag[i]) 2822 { preend=i; 2823 flag[i]=true; 2824 } 2825 } 2826 ans++; //增加一个最大兼容活动子集 2827 } 2828 } 2829 } 2830 void main() 2831 { solve(); 2832 printf("求解结果\n"); 2833 printf(" 最少会场个数: %d\n",ans); //输出4 2834 } 2835 13. 解：采用贪心思路。从第1列开始每次查找a[i][j]元素上、中、下3个对应数中 的最小数。对应的程序如下： 2836 #include <stdio.h> 2837 #define M 12 2838 #define N 110 2839 int m=5, n=6; 2840 int a[M][N]={{3,4,1,2,8,6},{6,1,8,2,7,4},{5,9,3,9,9,5},{8,4,1,3,2,6},{3,7,2,8,6,4}}; 2841 int minRow,minCol; 2842 int minValue(int i, int j) 2843 //求a[i][j]有方上、中、下3个数的最小数,同时要把行标记录下来 2844 { int s = (i == 0) ? m - 1 : i - 1; 2845 int x = (i == m - 1) ? 0 : i + 1; 2846 2847 60 2848 第1章 概论 2849 2850 minRow = s; 2851 minRow = a[i][j+1] < a[minRow][j+1] ? i : minRow; 2852 minRow = a[x][j+1] < a[minRow][j+1] ? x : minRow; 2853 minRow = a[minRow][j+1] == a[s][j+1] && minRow > s ? s : minRow; 2854 minRow = a[minRow][j+1] == a[i][j+1] && minRow > i ? i : minRow; 2855 minRow = a[minRow][j+1] == a[x][j+1] && minRow > x ? x : minRow; 2856 return a[minRow][j+1]; 2857 } 2858 void solve() 2859 { int i,j,min; 2860 for (j=n-2; j>=0; j--) 2861 for (i=0; i<m; i++) 2862 a[i][j]+= minValue(i,j); 2863 min=a[0][0]; 2864 minRow=0; 2865 for (i=1; i<m; i++) //在第一列查找最小代价的行 2866 if (a[i][0]<min) 2867 { min=a[i][0]; 2868 minRow=i; 2869 } 2870 for (j=0; j<n; j++) 2871 { printf("%d",minRow+1); 2872 if (j<n-1) printf(" "); 2873 minValue(minRow, j); 2874 } 2875 printf("\n%d\n",min); 2876 } 2877 void main() 2878 { 2879 solve(); 2880 } 2881 1.8 第8章─动态规划 2882 1.8.1 练习题 2883 1. 下列算法中通常以自底向上的方式求解最优解的是（ ）。 2884 A.备忘录法 B.动态规划法 C.贪心法 D.回溯法 2885 2. 备忘录方法是（ ）算法的变形。 2886 A.分治法 B.回溯法 C.贪心法 D.动态规划法 2887 3. 下列是动态规划算法基本要素的是（ ）。 2888 A.定义最优解 B.构造最优解 C.算出最优解 D.子问题重叠性质 2889 4. 一个问题可用动态规划算法或贪心算法求解的关键特征是问题的（ ）。 2890 A.贪心选择性质 B.重叠子问题 C.最优子结构性质 D.定义最优解 2891 5. 简述动态规划法的基本思路。 2892 6. 简述动态规划法与贪心法的异同。 2893 2894 61 2895 2896 算法设计 2897 2898 7. 简述动态规划法与分治法的异同。 2899 8. 下列算法中哪些属于动态规划算法？ 2900 （1）顺序查找算法 2901 （2）直接插入排序算法 2902 （3）简单选择排序算法 2903 （4）二路归并排序算法 2904 9. 某个问题对应的递归模型如下： 2905 f(1)=1 2906 f(2)=2 2907 f(n)=f(n-1)+f(n-2)+…+f(1)+1 当n>2时 2908 可以采用如下递归算法求解： 2909 long f(int n) 2910 { if (n==1) return 1; 2911 if (n==2) return 2; 2912 long sum=1; 2913 for (int i=1;i<=n-1;i++) 2914 sum+=f(i); 2915 return sum; 2916 } 2917 但其中存在大量的重复计算，请采用备忘录方法求解。 2918 10. 第3章中的实验4采用分治法求解半数集问题，如果直接递归求解会存在大量重 2919 复计算，请改进该算法。 2920 11. 设计一个时间复杂度为O(n2)的算法来计算二项式系数Cnk（k≤n）。二项式系数 2921 Cnk的求值过程如下： 2922 ??0??=1 2923 ???? 2924 ?? 2925 ???1 2926 12. 一个机器人只能向下和向右移动，每次只能移动一步，设计一个算法求它从 2927 （0，0）移动到（m，n）有多少条路径。 2928 13. 两种水果杂交出一种新水果，现在给新水果取名，要求这个名字中包含了以前两 2929 种水果名字的字母，并且这个名字要尽量短。也就是说以前的一种水果名字arr1是新水果 名字arr的子序列，另一种水果名字arr2也是新水果名字arr的子序列。设计一个算法求 2930 arr。 2931 例如：输入以下3组水果名称： 2932 apple peach 2933 ananas banana 2934 pear peach 2935 输出的新水果名称如下： 2936 2937 62 2938 第1章 概论 2939 2940 appleach 2941 bananas 2942 pearch 2943 1.8.2 练习题参考答案 2944 1. 答：B。 2945 2. 答：D。 2946 3. 答：D。 2947 4. 答：C。 2948 5. 答：动态规划法的基本思路是将待求解问题分解成若干个子问题，先求子问题的 2949 解，然后从这些子问题的解得到原问题的解。 2950 6. 答：动态规划法的3个基本要素是最优子结构性质、无后效性和重叠子问题性 2951 质，而贪心法的两个基本要素是贪心选择性质和最优子结构性质。所以两者的共同点是都 要求问题具有最优子结构性质。 2952 两者的不同点如下： 2953 （1）求解方式不同，动态规划法是自底向上的，有些具有最优子结构性质的问题只 2954 能用动态规划法，有些可用贪心法。而贪心法是自顶向下的。 2955 （2）对子问题的依赖不同，动态规划法依赖于各子问题的解，所以应使各子问题最 2956 优，才能保证整体最优；而贪心法依赖于过去所作过的选择，但决不依赖于将来的选择， 也不依赖于子问题的解。 2957 7. 答：两者的共同点是将待求解的问题分解成若干子问题，先求解子问题，然后再 从这些子问题的解得到原问题的解。 2958 两者的不同点是：适合于用动态规划法求解的问题，分解得到的各子问题往往不是相 互独立的（重叠子问题性质），而分治法中子问题相互独立；另外动态规划法用表保存已 求解过的子问题的解，再次碰到同样的子问题时不必重新求解，而只需查询答案，故可获 得多项式级时间复杂度，效率较高，而分治法中对于每次出现的子问题均求解，导致同样 的子问题被反复求解，故产生指数增长的时间复杂度，效率较低。 2959 8. 答：判断算法是否具有最优子结构性质、无后效性和重叠子问题性质。（2）、（3） 和（4）均属于动态规划算法。 2960 9. 解：设计一个dp数组，dp[i]对应f(i)的值，首先dp的所有元素初始化为0，在计 算f(i)时，若dp[0]>0表示f(i)已经求出，直接返回dp[i]即可，这样避免了重复计算。对应 的算法如下： 2961 long dp[MAX]; //dp[n]保存f(n)的计算结果 2962 long f1(int n) 2963 { if (n==1) 2964 { dp[n]=1; 2965 return dp[n]; 2966 } 2967 if (n==2) 2968 { dp[n]=2; 2969 return dp[n]; 2970 63 2971 2972 算法设计 2973 2974 } 2975 if (dp[n]>0) return dp[n]; 2976 long sum=1; 2977 for (int i=1;i<=n-1;i++) 2978 sum+=f1(i); 2979 dp[n]=sum; 2980 return dp[n]; 2981 } 2982 10. 解：设计一个数组a，其中a[i]=f(i)，首先将a的所有元素初始化为0，当a[i]>0 时表示对应的f(i)已经求出，直接返回就可以了。对应的完整程序如下： 2983 #include <stdio.h> 2984 #include <string.h> 2985 #define MAXN 201 2986 //问题表示 2987 int n; 2988 int a[MAXN]; 2989 int fa(int i) //求a[i] 2990 { int ans=1; 2991 if (a[i]>0) 2992 return a[i]; 2993 for(int j=1;j<=i/2;j++) 2994 ans+=fa(j); 2995 a[i]=ans; 2996 return ans; 2997 } 2998 int solve(int n) //求set(n)的元素个数 2999 { memset(a,0,sizeof(a)); 3000 a[1]=1; 3001 return fa(n); 3002 } 3003 void main() 3004 { n=6; 3005 printf("求解结果\n"); 3006 printf(" n=%d时半数集元素个数=%d\n",n,solve(n)); 3007 } 3008 11. 解：定义C(i，j)=Cij，i≥j。则有如下递推计算公式：C(i，j)=C(i-1，j-1)+C(i- 1，j)，初始条件为C(i，0)=1，C(i，i)=1。可以根据初始条件由此递推关系计算C(n，k)， 即Cnk。对应的程序如下： 3009 #include <stdio.h> 3010 #define MAXN 51 3011 #define MAXK 31 3012 //问题表示 3013 int n,k; 3014 //求解结果表示 3015 int C[MAXN][MAXK]; 3016 void solve() 3017 { int i,j; 3018 3019 64 3020 第1章 概论 3021 3022 for (i=0;i<=n;i++) 3023 { C[i][i]=1; 3024 C[i][0]=1; 3025 } 3026 for (i=1;i<=n;i++) 3027 for (j=1;j<=k;j++) 3028 C[i][j]=C[i-1][j-1]+C[i-1][j]; 3029 } 3030 void main() 3031 { n=5,k=3; 3032 solve(); 3033 printf("%d\n",C[n][k]); //输出10 3034 } 3035 显然，solve()算法的时间复杂度为O(n2)。 3036 12. 解：设从（0，0）移动到（i，j）的路径条数为dp[i][j]，由于机器人只能向下和 3037 向右移动，不同于迷宫问题（迷宫问题由于存在后退，不满足无后效性，不适合用动态规 划法求解）。对应的状态转移方程如下： 3038 dp[0][j]=1 3039 dp[i][0]=1 3040 dp[i][j]=dp[i][j-1]+dp[i-1][j] i、j>0 3041 最后结果是dp[m][n]。对应的程序如下： 3042 #include <stdio.h> 3043 #include <string.h> 3044 #define MAXX 51 3045 #define MAXY 51 3046 //问题表示 3047 int m,n; 3048 //求解结果表示 3049 int dp[MAXX][MAXY]; 3050 void solve() 3051 { int i,j; 3052 dp[0][0]=0; 3053 memset(dp,0,sizeof(dp)); 3054 for (i=1;i<=m;i++) 3055 dp[i][0]=1; 3056 for (j=1;j<=n;j++) 3057 dp[0][j]=1; 3058 for (i=1;i<=m;i++) 3059 for (j=1;j<=n;j++) 3060 dp[i][j]=dp[i][j-1]+dp[i-1][j]; 3061 } 3062 void main() 3063 { m=5,n=3; 3064 solve(); 3065 printf("%d\n",dp[m][n]); 3066 } 3067 13. 解：本题目的思路是求arr1和arr2字符串的最长公共子序列，基本过程参见《教 3068 65 3069 3070 算法设计 3071 3072 程》第8章8.5节。对应的完整程序如下： 3073 #include <iostream> 3074 #include <string.h> 3075 #include <vector> 3076 #include <string> 3077 using namespace std; 3078 #define max(x,y) ((x)>(y)?(x):(y)) 3079 #define MAX 51 //序列中最多的字符个数 3080 //问题表示 3081 int m,n; 3082 string arr1,arr2; 3083 //求解结果表示 3084 int dp[MAX][MAX]; //动态规划数组 3085 vector<char> subs; //存放LCS 3086 void LCSlength() //求dp 3087 { int i,j; 3088 for (i=0;i<=m;i++) //将dp[i][0]置为0,边界条件 3089 dp[i][0]=0; 3090 for (j=0;j<=n;j++) //将dp[0][j]置为0,边界条件 3091 dp[0][j]=0; 3092 for (i=1;i<=m;i++) 3093 for (j=1;j<=n;j++) //两重for循环处理arr1、arr2的所有字符 3094 { if (arr1[i-1]==arr2[j-1]) //比较的字符相同 3095 dp[i][j]=dp[i-1][j-1]+1; 3096 else //比较的字符不同 3097 dp[i][j]=max(dp[i][j-1],dp[i-1][j]); 3098 } 3099 } 3100 void Buildsubs() //由dp构造从subs 3101 { int k=dp[m][n]; //k为arr1和arr2的最长公共子序列长度 3102 int i=m; 3103 int j=n; 3104 while (k>0) //在subs中放入最长公共子序列(反向) 3105 if (dp[i][j]==dp[i-1][j]) i--; 3106 else if (dp[i][j]==dp[i][j-1]) j--; 3107 else 3108 { subs.push_back(arr1[i-1]); //subs中添加arr1[i-1] 3109 i--; j--; k--; 3110 } 3111 } 3112 void main() 3113 { cin >> arr1 >> arr2; //输入arr1和arr2 3114 m=arr1.length(); //m为arr1的长度 3115 n=arr2.length(); //n为arr2的长度 3116 LCSlength(); //求出dp 3117 Buildsubs(); //求出LCS 3118 cout << "求解结果" << endl; 3119 cout << " arr: "; 3120 vector<char>::reverse_iterator rit; 3121 3122 66 3123 第1章 概论 3124 3125 for (rit=subs.rbegin();rit!=subs.rend();++rit) 3126 cout << *rit; 3127 cout << endl; 3128 cout << " 长度: " << dp[m][n] << endl; 3129 } 3130 改为如下： 3131 13. 解：本题目的思路是先求arr1和arr2字符串的最长公共子序列，基本过程参见 3132 《教程》第8章8.5节，再利用递归输出新水果取名。 3133 算法中设置二维动态规划数组dp，dp[i][j]表示arr1[0..i-1]（i个字母）和arr2[0..j-1] 3134 （j个字母）中最长公共子序列的长度。另外设置二维数组b，b[i][j]表示arr1和arr2比较 的3种情况：b[i][j]=0表示arr1[i-1]=arr2[j-1]，b[i][j]=1表示arr1[i-1]≠arr2[j-1]并且dp[i- 3135 1][j]>dp[i][j-1]，b[i][j]=2表示arr1[i-1]≠arr2[j-1]并且dp[i-1][j]≤dp[i][j-1]。 3136 对应的完整程序如下： 3137 #include <stdio.h> 3138 #include <string.h> 3139 #define MAX 51 //序列中最多的字符个数 3140 //问题表示 3141 int m,n; 3142 char arr1[MAX],arr2[MAX]; 3143 //求解结果表示 3144 int dp[MAX][MAX]; //动态规划数组 3145 int b[MAX][MAX]; //存放arr1与arr2比较的3种情况 3146 void Output(int i,int j) //利用递归输出新水果取名 3147 { if (i==0 && j==0) //输出完毕 3148 return; 3149 if(i==0) //arr1完毕，输出arr2的剩余部分 3150 { Output(i,j-1); 3151 printf("%c",arr2[j-1]); 3152 return; 3153 } 3154 else if(j==0) //arr2完毕，输出arr1的剩余部分 3155 { Output(i-1,j); 3156 printf("%c",arr1[i-1]); 3157 return; 3158 } 3159 if (b[i][j]==0) //arr1[i-1]=arr2[j-1]的情况 3160 { Output(i-1,j-1); 3161 printf("%c",arr1[i-1]); 3162 return; 3163 } 3164 else if(b[i][j]==1) 3165 { Output(i-1,j); 3166 printf("%c",arr1[i-1]); 3167 return; 3168 } 3169 else 3170 { Output(i,j-1); 3171 3172 67 3173 3174 算法设计 3175 3176 printf("%c",arr2[j-1]); 3177 return; 3178 } 3179 } 3180 void LCSlength() //求dp 3181 { int i,j; 3182 for (i=0;i<=m;i++) //将dp[i][0]置为0,边界条件 3183 dp[i][0]=0; 3184 for (j=0;j<=n;j++) //将dp[0][j]置为0,边界条件 3185 dp[0][j]=0; 3186 for (i=1;i<=m;i++) 3187 for (j=1;j<=n;j++) //两重for循环处理arr1、arr2的所有字符 { if (arr1[i-1]==arr2[j-1]) //比较的字符相同：情况0 3188 { dp[i][j]=dp[i-1][j-1]+1; 3189 b[i][j]=0; 3190 } 3191 else if (dp[i-1][j]>dp[i][j-1]) //情况1 3192 { dp[i][j]=dp[i-1][j]; 3193 b[i][j]=1; 3194 } 3195 else //dp[i-1][j]<=dp[i][j-1]:情况2 3196 { dp[i][j]=dp[i][j-1]; 3197 b[i][j]=2; 3198 } 3199 } 3200 } 3201 void main() 3202 { int t; //输入测试用例个数 3203 printf("测试用例个数: "); 3204 scanf("%d",&t); 3205 while(t--) 3206 { scanf("%s",arr1); 3207 scanf("%s",arr2); 3208 memset(b,-1,sizeof(b)); 3209 m=strlen(arr1); //m为arr1的长度 3210 n=strlen(arr2); //n为arr2的长度 3211 LCSlength(); //求出dp 3212 printf("结果: "); Output(m,n); //输出新水果取名 3213 printf("\n"); 3214 } 3215 } 3216 上述程序的一次执行结果如图1.46所示。 3217 3218 3219 3220 3221 3222 3223 3224 68 3225 第1章 概论 3226 3227 3228 3229 3230 3231 3232 3233 3234 3235 图1.46 程序的一次执行结果 3236 13. 解：本题目的思路是求arr1和arr2字符串的最长公共子序列，基本过程参见《教 3237 程》第8章8.5节。对应的完整程序如下： 3238 3239 然后再用递归思想，逐一输出，得到的就是最后答案。 3240 #include <iostream> 3241 #include <string.h> 3242 #include <vector> 3243 #include <string> 3244 using namespace std; 3245 #define max(x,y) ((x)>(y)?(x):(y)) 3246 #define MAX 51 //序列中最多的字符个数 3247 //问题表示 3248 int m,n; 3249 string arr1,arr2; 3250 //求解结果表示 3251 int dp[MAX][MAX]; //动态规划数组 3252 vector<char> subs; //存放LCS 3253 void LCSlength() //求dp 3254 { int i,j; 3255 for (i=0;i<=m;i++) //将dp[i][0]置为0,边界条件 3256 dp[i][0]=0; 3257 for (j=0;j<=n;j++) //将dp[0][j]置为0,边界条件 3258 dp[0][j]=0; 3259 for (i=1;i<=m;i++) 3260 for (j=1;j<=n;j++) //两重for循环处理arr1、arr2的所有字符 { if (arr1[i-1]==arr2[j-1]) //比较的字符相同 3261 dp[i][j]=dp[i-1][j-1]+1; 3262 else //比较的字符不同 3263 dp[i][j]=max(dp[i][j-1],dp[i-1][j]); 3264 } 3265 } 3266 void Buildsubs() //由dp构造从subs 3267 { int k=dp[m][n]; //k为arr1和arr2的最长公共子序列长度 3268 int i=m; 3269 int j=n; 3270 while (k>0) //在subs中放入最长公共子序列(反向) 3271 if (dp[i][j]==dp[i-1][j]) i--; 3272 else if (dp[i][j]==dp[i][j-1]) j--; 3273 3274 69 3275 3276 算法设计 3277 3278 else 3279 { subs.push_back(arr1[i-1]); //subs中添加arr1[i-1] i--; j--; k--; 3280 } 3281 } 3282 void main() 3283 { cin >> arr1 >> arr2; //输入arr1和arr2 3284 m=arr1.length(); //m为arr1的长度 3285 n=arr2.length(); //n为arr2的长度 3286 LCSlength(); //求出dp 3287 Buildsubs(); //求出LCS 3288 cout << "求解结果" << endl; 3289 cout << " arr: "; 3290 vector<char>::reverse_iterator rit; 3291 for (rit=subs.rbegin();rit!=subs.rend();++rit) 3292 cout << *rit; 3293 cout << endl; 3294 cout << " 长度: " << dp[m][n] << endl; 3295 } 3296 上述程序的一次执行结果如图1.46所示。 3297 3298 3299 3300 3301 3302 3303 图1.46 程序的一次执行结果 3304 1.9 第9章─图算法设计 3305 3306 1.9.1 练习题 3307 1. 以下不属于贪心算法的是（ ）。 3308 A.Prim算法 B.Kruskal算法 C.Dijkstra算法 D.深度优先遍历 3309 2. 一个有n个顶点的连通图的生成树是原图的最小连通子图，且包含原图中所有n 3310 个顶点，并且有保持图联通的最少的边。最大生成树就是权和最大生成树，现在给出一个 无向带权图的邻接矩阵为{{0，4，5，0，3}，{4，0，4，2，3}，{5，4，0，2，0}，{0， 2，2，0，1}，{3，3，0，1，0}}，其中权为0表示没有边。一个图为求这个图的最大生 3311 成树的权和是（ ）。 3312 A.11 B.12 C.13 D.14 E.15 3313 3. 某个带权连通图有4个以上的顶点，其中恰好有2条权值最小的边，尽管该图的 最小生成树可能有多个，而这2条权值最小的边一定包含在所有的最小生成树中吗？如果 有3条权值最小的边呢？ 3314 3315 70 3316 第1章 概论 3317 3318 4. 为什么TSP问题采用贪心算法求解不一定得到最优解？ 3319 5. 求最短路径的4种算法适合带权无向图吗？ 3320 6. 求单源最短路径的算法有Dijkstra算法、Bellman-Ford算法和SPFA算法，比较这 3321 些算法的不同点。 3322 7. 有人这样修改Dijkstra算法以便求一个带权连通图的单源最长路径，将每次选择 3323 dist最小的顶点u改为选择最大的顶点u，将按路径长度小进行调整改为按路径长度大调 整。这样可以求单源最长路径吗？ 3324 8. 给出一种方法求无环带权连通图（所有权值非负）中从顶点s到顶点t的一条最长 简单路径。 3325 9. 一个运输网络如图1.47所示，边上数字为（c(i，j)，b(i，j)），其中c(i，j)表示容 量，b(i，j)表示单位运输费用。给出从1、2、3位置运输货物到位置6的最小费用最大流 的过程。 3326 10. 本教程中的Dijkstra算法采用邻接矩阵存储图，算法时间复杂度为O(n2)。请你从 各个方面考虑优化该算法，用于求源点v到其他顶点的最短路径长度。 3327 11. 有一个带权有向图G（所有权为正整数），采用邻接矩阵存储。设计一个算法求 其中的一个最小环。 3328 1 3329 (6,4) 3330 2 3331 3332 (4,2) 3333 3334 (3,5) 3335 3336 3337 3338 4 3339 3340 3341 3342 (12,3) 3343 3344 3345 3346 3347 6 3348 3349 3350 3 3351 3352 (3,4) 3353 3354 3355 (1,6) 3356 (2,3) 3357 3358 5 3359 3360 (9,12) 3361 图1.47 一个运输网络 3362 1.9.2 练习题参考答案 3363 1. 答：D。 3364 2. 答：采用类似Kurskal算法来求最大生成树，第1步取最大边（0，2），第2步取 3365 边（0，1），第3步取边（0，4），第4步取最大边（1，3），得到的权和为14。答案为 3366 D。 3367 3. 答：这2条权值最小的边一定包含在所有的最小生成树中，因为按Kurskal算法一 定首先选中这2条权值最小的边。如果有3条权值最小的边，就不一定了，因为首先选中 这3条权值最小的边有可能出现回路。 3368 4. 答：TSP问题不满足最优子结构性质，如（0，1，2，3，0）是整个问题的最优 解，但（0，1，2，0）不一定是子问题的最优解。 3369 5. 答：都适合带权无向图求最短路径。 3370 6. 答：Dijkstra算法不适合存在负权边的图求单源最短路径，其时间复杂度为 3371 O(n2)。Bellman-Ford算法和SPFA算法适合存在负权边的图求单源最短路径，但图中不能 3372 3373 71 3374 3375 算法设计 3376 3377 存在权值和为负的环。Bellman-Ford算法的时间复杂度为O(ne)，而SPFA算法的时间复 杂度为O(e)，所以SPFA算法更优。 3378 7. 答：不能。Dijkstra算法本质上是一种贪心算法，而求单源最长路径不满足贪心选 择性质。 3379 8. 答：Bellman-Ford算法和SPFA算法适合存在负权边的图求单源最短路径。可以 将图中所有边权值改为负权值，求出从顶点s到顶点t的一条最短简单路径，它就是原来 图中从顶点s到顶点t的一条最长简单路径。 3380 9. 答：为该运输网络添加一个虚拟起点0，它到1、2、3位置运输费用为0，容量分 别为到1、2、3位置运输容量和，如图1.48所示，起点s=0，终点t=6。 3381 3382 3383 3384 0 3385 3386 3387 (10,0) 3388 (6,0) 3389 3390 1 3391 (6,4) 3392 2 3393 3394 (4,2) 3395 3396 (3,5) 3397 3398 3399 3400 4 3401 3402 3403 3404 (12,3) 3405 3406 3407 3408 3409 6 3410 3411 (3,0) 3412 3413 3414 3415 3 3416 3417 (3,4) 3418 3419 3420 (1,6) 3421 (2,3) 3422 3423 5 3424 3425 (9,12) 3426 图1.48 添加一个虚拟起点的运输网络 3427 首先初始化f为零流，最大流量maxf=0，最小费用mincost=0，采用最小费用最大流 3428 算法求解过程如下： 3429 （1）k=0，求出w如下： 3430 3431 0 0 0 0 ∞ ∞ ∞ 3432 ∞ 0 ∞ ∞ 2 4 ∞ 3433 ∞ ∞ 0 ∞ 5 4 ∞ 3434 ∞ ∞ ∞ 0 6 3 ∞ 3435 ∞ ∞ ∞ ∞ 0 ∞ 3 3436 ∞ ∞ ∞ ∞ ∞ 0 12 3437 ∞ ∞ ∞ ∞ ∞ ∞ 0 3438 3439 3440 3441 3442 3443 3444 求出从起点0到终点6的最短路径为0→1→4→6，求出最小调整量?=4，f[4][6]调整 为4，f[1][4]调整为4，f[0][1]调整为4，mincost=20，maxf=4。 3445 （2）k=1，求出w如下： 3446 3447 0 0 0 0 ∞ ∞ ∞ 3448 0 0 ∞ ∞ ∞ 4 ∞ 3449 ∞ ∞ 0 ∞ 5 4 ∞ 3450 ∞ ∞ ∞ 0 6 3 ∞ 3451 ∞ -2 ∞ ∞ 0 ∞ 3 3452 ∞ ∞ ∞ ∞ ∞ 0 12 3453 ∞ ∞ ∞ ∞ -3 ∞ 0 3454 3455 3456 3457 3458 3459 3460 求出从起点0到终点6的最短路径为0→2→4→6，求出最小调整量?=3，f[4][6]调整 3461 3462 72 3463 第1章 概论 3464 3465 为7，f[2][4]调整为3，f[0][2]调整为3，mincost=44，maxf=4+3=7。 3466 （3）k=2，求出w如下： 3467 3468 0 0 0 0 ∞ ∞ ∞ 3469 0 0 ∞ ∞ ∞ 4 ∞ 3470 0 ∞ 0 ∞ ∞ 4 ∞ 3471 ∞ ∞ ∞ 0 6 3 ∞ 3472 ∞ -2 -5 ∞ 0 ∞ 3 3473 ∞ ∞ ∞ ∞ ∞ 0 12 3474 ∞ ∞ ∞ ∞ -3 ∞ 0 3475 3476 3477 3478 3479 3480 3481 求出从起点0到终点6的最短路径为0→3→4→6，求出最小调整量?=1，f[4][6]调整 为8，f[3][4]调整为1，f[0][3]调整为1，mincost=53，maxf=7+1=8。 3482 （4）k=3，求出w如下： 3483 3484 0 0 0 0 ∞ ∞ ∞ 3485 0 0 ∞ ∞ ∞ 4 ∞ 3486 0 ∞ 0 ∞ ∞ 4 ∞ 3487 0 ∞ ∞ 0 ∞ 3 ∞ 3488 ∞ -2 -5 -6 0 ∞ 3 3489 ∞ ∞ ∞ ∞ ∞ 0 12 3490 ∞ ∞ ∞ ∞ -3 ∞ 0 3491 3492 3493 3494 3495 3496 3497 求出从起点0到终点6的最短路径为0→3→5→6，求出最小调整量?=2，f[5][6]调整 为2，f[3][5]调整为2，f[0][3]调整为3，mincost=83，maxf=8+2=10。 3498 （5）k=4，求出w如下： 3499 3500 0 0 0 ∞ ∞ ∞ ∞ 3501 0 0 ∞ ∞ ∞ 4 ∞ 3502 0 ∞ 0 ∞ ∞ 4 ∞ 3503 0 ∞ ∞ 0 ∞ ∞ ∞ 3504 ∞ -2 -5 -6 0 ∞ 3 3505 ∞ ∞ ∞ -3 ∞ 0 12 3506 ∞ ∞ ∞ ∞ -3 -12 0 3507 3508 3509 3510 3511 3512 3513 求出从起点0到终点6的最短路径为0→1→5→6，求出最小调整量?=6，f[5][6]调整 为8，f[1][5]调整为6，f[0][1]调整为10，mincost=179，maxf=10+6=16。 3514 （6）k=5，求出w如下： 3515 3516 0 ∞ 0 ∞ ∞ ∞ ∞ 3517 0 0 ∞ ∞ ∞ ∞ ∞ 3518 0 ∞ 0 ∞ ∞ 4 ∞ 3519 0 ∞ ∞ 0 ∞ ∞ ∞ 3520 ∞ -2 -5 -6 0 ∞ 3 3521 ∞ -4 ∞ -3 ∞ 0 12 3522 ∞ ∞ ∞ ∞ -3 -12 0 3523 3524 3525 3526 3527 3528 3529 求出从起点0到终点6的最短路径为0→1→5→6，求出最小调整量?=1，f[5][6]调整 3530 3531 73 3532 3533 算法设计 3534 3535 为9，f[2][5]调整为1，f[0][2]调整为4，mincost=195，maxf=16+1=17。 3536 （7）k=6，求出的w中没有增广路径，调整结束。对应的最大流如下： 3537 3538 0 10 4 3 0 0 0 3539 0 0 0 0 4 6 0 3540 0 0 0 0 3 1 0 3541 0 0 0 0 1 2 0 3542 0 0 0 0 0 0 8 3543 0 0 0 0 0 0 9 3544 0 0 0 0 0 0 0 3545 3546 3547 3548 3549 3550 3551 3552 最终结果，maxf=17，mincost=195。即运输的最大货物量为17，对应的最小总运输费 用为195。 3553 10. 解：从两个方面考虑优化： 3554 （1）在Dijkstra算法中，当求出源点v到顶点u的最短路径长度后，仅仅调整从顶 3555 点u出发的邻接点的最短路径长度，而教程中的Dijkstra算法由于采用邻接矩阵存储图， 需要花费O(n)的时间来调整顶点u出发的邻接点的最短路径长度，如果采用邻接表存储 3556 图，可以很快查找到顶点u的所有邻接点并进行调整，时间为O(MAX(图中顶点的出 3557 度))。 3558 （2）求目前一个最短路径长度的顶点u时，教科书上的Dijkstra算法采用简单比较 3559 方法，可以改为采用优先队列（小根堆）求解。由于最多e条边对应的顶点进队，对应的 3560 时间为O(log2e)。 3561 对应的完整程序和测试数据算法如下： 3562 #include "Graph.cpp" //包含图的基本运算算法 3563 #include <queue> 3564 #include <string.h> 3565 using namespace std; 3566 ALGraph *G; //图的邻接表存储结构，作为全局变量 3567 struct Node //声明堆中结点类型 3568 { int i; //顶点编号 3569 int v; //dist[i]值 3570 friend bool operator<(const Node &a，const Node &b) //定义比较运算符 3571 { return a.v > b.v; } 3572 }; 3573 void Dijkstra(int v，int dist[]) //改进的Dijkstra算法 3574 { ArcNode *p; 3575 priority_queue<Node> qu; //创建小根堆 3576 Node e; 3577 int S[MAXV]; //S[i]=1表示顶点i在S中， S[i]=0表示顶点i在U中 3578 int i，j，u，w; 3579 memset(S，0，sizeof(S)); 3580 p=G->adjlist[v].firstarc; 3581 for (i=0;i<G->n;i++) dist[i]=INF; 3582 while (p!=NULL) 3583 { w=p->adjvex; 3584 3585 74 3586 第1章 概论 3587 3588 dist[w]=p->weight; //距离初始化 3589 e.i=w; e.v=dist[w]; //将v的出边顶点进队qu 3590 qu.push(e); 3591 p=p->nextarc; 3592 } 3593 S[v]=1; //源点编号v放入S中 3594 for (i=0;i<G->n-1;i++) //循环直到所有顶点的最短路径都求出 3595 { e=qu.top(); qu.pop(); //出队e 3596 u=e.i; //选取具有最小最短路径长度的顶点u 3597 S[u]=1; //顶点u加入S中 3598 p=G->adjlist[u].firstarc; 3599 while (p!=NULL) //考察从顶点u出发的所有相邻点 3600 { w=p->adjvex; 3601 if (S[w]==0) //考虑修改不在S中的顶点w的最短路径长度 if (dist[u]+p->weight<dist[w]) 3602 { dist[w]=dist[u]+p->weight; //修改最短路径长度 3603 e.i=w; e.v=dist[w]; 3604 qu.push(e); //修改最短路径长度的顶点进队 3605 } 3606 p=p->nextarc; 3607 } 3608 } 3609 } 3610 void Disppathlength(int v，int dist[]) //输出最短路径长度 3611 { printf("从%d顶点出发的最短路径长度如下:\n"，v); 3612 for (int i=0;i<G->n;++i) 3613 if (i!=v) 3614 printf(" 到顶点%d: %d\n"，i，dist[i]); 3615 } 3616 void main() 3617 { int A[MAXV][MAXV]={ 3618 {0，4，6，6，INF，INF，INF}， 3619 {INF，0，1，INF，7，INF，INF}， 3620 {INF，INF，0，INF，6，4，INF}， 3621 {INF，INF，2，0，INF，5，INF}， 3622 {INF，INF，INF，INF，0，INF，6}， 3623 {INF，INF，INF，INF，1，0，8}， 3624 {INF，INF，INF，INF，INF，INF，0}}; 3625 int n=7， e=12; 3626 CreateAdj(G，A，n，e); //建立图的邻接表 3627 printf("图G的邻接表:\n"); 3628 DispAdj(G); //输出邻接表 3629 int v=0; 3630 int dist[MAXV]; 3631 Dijkstra(v，dist); //调用Dijkstra算法 3632 Disppathlength(v，dist); //输出结果 3633 DestroyAdj(G); //销毁图的邻接表 3634 } 3635 上述程序的执行结果如图1.49所示。 3636 3637 75 3638 3639 算法设计 3640 3641 3642 3643 3644 3645 3646 3647 3648 3649 3650 3651 3652 图1.49 程序执行结果 3653 其中Dijkstra算法的时间复杂度为O(n(log2e+MAX(顶点的出度))，一般图中最大顶点 3654 出度远小于e，所以进一步简化时间复杂度为O(nlog2e)。 3655 11. 有一个带权有向图G（所有权为正整数），采用邻接矩阵存储。设计一个算法求 3656 其中的一个最小环。 3657 解：利用Floyd算法求出所有顶点对之间的最短路径，若顶点i到j有最短路径，而 3658 图中又存在顶点j到i的边，则构成一个环，在所有环中比较找到一个最小环并输出。对 应的程序如下： 3659 #include "Graph.cpp" //包含图的基本运算算法 3660 #include <vector> 3661 using namespace std; 3662 void Dispapath(int path[][MAXV],int i,int j) 3663 //输出顶点i到j的一条最短路径 3664 { vector<int> apath; //存放一条最短路径中间顶点(反向) 3665 int k=path[i][j]; 3666 apath.push_back(j); //路径上添加终点 3667 while (k!=-1 && k!=i) //路径上添加中间点 3668 { apath.push_back(k); 3669 k=path[i][k]; 3670 } 3671 apath.push_back(i); //路径上添加起点 3672 for (int s=apath.size()-1;s>=0;s--) //输出路径上的中间顶点 3673 printf("%d→",apath[s]); 3674 } 3675 int Mincycle(MGraph g,int A[MAXV][MAXV],int &mini,int &minj) 3676 //在图g和A中的查找一个最小环 3677 { int i,j,min=INF; 3678 for (i=0;i<g.n;i++) 3679 for (j=0;j<g.n;j++) 3680 if (i!=j && g.edges[j][i]<INF) 3681 { if (A[i][j]+g.edges[j][i]<min) 3682 { min=A[i][j]+g.edges[j][i]; 3683 mini=i; minj=j; 3684 3685 76 3686 第1章 概论 3687 3688 } 3689 } 3690 return min; 3691 } 3692 void Floyd(MGraph g) //Floyd算法求图g中的一个最小环 { int A[MAXV][MAXV],path[MAXV][MAXV]; 3693 int i,j,k,min,mini,minj; 3694 for (i=0;i<g.n;i++) 3695 for (j=0;j<g.n;j++) 3696 { A[i][j]=g.edges[i][j]; 3697 if (i!=j && g.edges[i][j]<INF) 3698 path[i][j]=i; //顶点i到j有边时 3699 else 3700 path[i][j]=-1; //顶点i到j没有边时 3701 } 3702 for (k=0;k<g.n;k++) //依次考察所有顶点 3703 { for (i=0;i<g.n;i++) 3704 for (j=0;j<g.n;j++) 3705 if (A[i][j]>A[i][k]+A[k][j]) 3706 { A[i][j]=A[i][k]+A[k][j]; //修改最短路径长度 3707 path[i][j]=path[k][j]; //修改最短路径 3708 } 3709 } 3710 min=Mincycle(g,A,mini,minj); 3711 if (min!=INF) 3712 { printf("图中最小环："); 3713 Dispapath(path,mini,minj); //输出一条最短路径 3714 printf("%d, 长度：%d\n",mini,min); 3715 } 3716 else printf(" 图中没有任何环\n"); 3717 } 3718 void main() 3719 { MGraph g; 3720 int A[MAXV][MAXV]={ {0,5,INF,INF},{INF,0,1,INF}, 3721 {3,INF,0,2}, {INF,4,INF,0}}; 3722 int n=4, e=5; 3723 CreateMat(g,A,n,e); //建立图的邻接矩阵 3724 printf("图G的邻接矩阵:\n"); 3725 DispMat(g); //输出邻接矩阵 3726 Floyd(g); 3727 } 3728 上述程序的执行结果如图1.50所示。 3729 3730 3731 3732 3733 3734 3735 3736 77 3737 3738 算法设计 3739 3740 3741 3742 3743 3744 3745 3746 3747 图1.50 程序执行结果 3748 1.10 第10章─计算几何 3749 3750 1.10.1 练习题 3751 1. 对如图1.51所示的点集A，给出采用Graham扫描算法求凸包的过程及结果。 3752 3753 7 3754 0 a 3755 3756 3757 3758 a6 a 4 3759 a8 3760 a9 3761 a 3 a 2 3762 3763 a1 1 3764 a 1 3765 1 3766 3767 1 2 3 4 5 6 78 9 10 3768 3769 3770 3771 3772 3773 3774 3775 3776 图1.51 一个点集A 3777 2. 对如图1.51所示的点集A，给出采用分治法求最近点对的过程及结果。 3778 3. 对如图1.51所示的点集A，给出采用旋转卡壳法求最远点对的结果。 3779 4. 对应3个点向量p1、p2、p3，采用S(p1，p2，p3)=(p2-p1)?(p3-p1)/2求它们构成的三 3780 角形面积，请问什么情况下计算结果为正？什么情况下计算结果为负？ 3781 5. 已知坐标为整数，给出判断平面上一点p是否在一个逆时针三角形 p1-p2-p3 内部 3782 的算法。 3783 1.10.2 练习题参考答案 3784 1. 答：采用Graham扫描算法求凸包的过程及结果如下： 3785 求出起点a0(1，1)。 3786 排序后：a0(1，1) a1(8，1) a2(9，4) a3(5，4) a4(8，7) a5(5，6) a10(7，10) a9(3，5) 3787 a6(3，7) a7(4，10) a8(1，6) a11(0，3)。 3788 先将a0(1，1)进栈，a1(8，1)进栈，a2(9，4)进栈。 3789 处理点a3(5，4)：a3(5，4)进栈。 3790 处理点a4(8，7)：a3(5，4)存在右拐关系，退栈，a4(8，7)进栈。 3791 3792 78 3793 第1章 概论 3794 3795 处理点a5(5，6)：a5(5，6)进栈。 3796 处理点a10(7，10)：a5(5，6)存在右拐关系，退栈，a10(7，10)进栈。 3797 处理点a9(3，5)：a9(3，5)进栈。 3798 处理点a6(3，7)：a9(3，5)存在右拐关系，退栈，a6(3，7)进栈。 3799 处理点a7(4，10)：a6(3，7)存在右拐关系，退栈，a7(4，10)进栈。 3800 处理点a8(1，6)：a8(1，6)进栈。 3801 处理点a11(0，3)：a11(0，3)进栈。 3802 结果：n=8，凸包的顶点：a0(1，1) a1(8，1) a2(9，4) a4(8，7) a10(7，10) a7(4，10) 3803 a8(1，6) a11(0，3)。 3804 2. 答：求解过程如下： 3805 排序前：(1，1) (8，1) (9，4) (5，4) (8，7) (5，6) (3，7) (4，10) (1，6) (3，5) (7，10) (0，3)。按x坐标排序后：(0，3) (1，1) (1，6) (3，7) (3，5) (4，10) (5，4) (5，6) (7，10) (8，1) (8，7) (9，4)。按y坐标排序后：(1，1) (8，1) (0，3) (5，4) (9，4) (3，5) (1，6) (5，6) (3，7) (8，7) (4，10) (7，10)。 3806 （1）中间位置midindex=5，左部分：(0，3) (1，1) (1，6) (3，7) (3，5) (4，10)；右 部分：(5，4) (5，6) (7，10) (8，1) (8，7) (9，4)；中间部分点集为 (0，3) (3，7) (4，10) (5，4) (5，6) (7，10) (8，7)。 3807 （2）求解左部分：(0，3) (1，1) (1，6) (3，7) (3，5) (4，10)。 3808 中间位置=2，划分为左部分1：(0，3) (1，1) (1，6)，右部分1：(3，7) (3，5) (4，10) 3809 处理左部分1：点数少于4：求出最近距离=2.23607，即(0，3)和(1，1)之间的距离。 3810 处理右部分1：点数少于4：求出最近距离=2，即(3，7)和(3，5)之间的距离。 3811 再考虑中间部分（中间部分最近距离=2.23）求出左部分d1=2。 3812 （3）求解右部分：(5，4) (5，6) (7，10) (8，1) (8，7) (9，4)。 3813 中间位置=8，划分为左部分2：(5，4) (5，6) (7，10)，右部分2：(8，1) (8，7) (9， 3814 4)。 3815 处理左部分2：点数少于4，求出最近距离=2，即 (5，4)和(5，6)之间的距离。 3816 处理右部分2：点数少于4，求出最近距离=3.16228，即(8，1)和(9，4)之间的距离。 3817 再考虑中间部分（中间部分为空）求出右部分d2=2。 3818 （4）求解中间部分点集：(0，3) (3，7) (4，10) (5，4) (5，6) (7，10) (8，7)。求出最 3819 近距离d3=5。 3820 最终结果为：d=MIN{d1，d2，d3)=2。 3821 3. 答：采用旋转卡壳法求出两个最远点对是（1，1）和（7，10），最远距离为 10.82。 3822 4. 答：当三角形p1-p2-p3逆时针方向时，如图1.52所示，p2-p1在p3-p1的顺时针方 向上，(p2-p1)?(p3-p1)>0，对应的面积(p2-p1)?(p3-p1)/2为正。 3823 当三角形p1-p2-p3顺时针方向时，如图1.53所示，p2-p1在p3-p1的逆时针方向上， 3824 (p2-p1)?(p3-p1)<0，对应的面积(p2-p1)?(p3-p1)/2为负。 3825 3826 3827 3828 79 3829 3830 3831 3832 3833 p3-p1 3834 p1 p2-p1 3835 3836 3837 3838 3839 3840 3841 3842 3843 算法设计 3844 3845 3846 p2-p1 3847 p1 p3-p1 3848 3849 3850 3851 3852 3853 3854 图1.52 p1-p2-p3逆时针方向图 图1.53 p1-p2-p3逆时针方向 3855 5. 答：用S(p1，p2，p3)=(p2-p1)?(p3-p1)/2求三角形p1、p2、p3带符号的的面积。如图 3856 1.54所示，若S(p，p2，p3)和S(p，p3，p1)和S(p，p1，p2)（3个三角形的方向均为逆时针 方向）均大于0，表示p在该三角形内部。 3857 p3 3858 3859 3860 p1 3861 3862 3863 3864 p 3865 3866 3867 3868 3869 p2 3870 图1.54 一个点p和一个三角形 3871 对应的程序如下： 3872 #include "Fundament.cpp" //包含向量基本运算算法 3873 double getArea(Point p1,Point p2,Point p3) //求带符号的面积 3874 { 3875 return Det(p2-p1,p3-p1); 3876 } 3877 bool Intrig(Point p,Point p1,Point p2,Point p3) //判断p是否在三角形p1p2p3的内部 { double area1=getArea(p,p2,p3); 3878 double area2=getArea(p,p3,p1); 3879 double area3=getArea(p,p1,p2); 3880 if (area1>0 && area2>0 && area3>0) 3881 return true; 3882 else 3883 return false; 3884 } 3885 void main() 3886 { printf("求解结果\n"); 3887 Point p1(0,0); 3888 Point p2(5,-4); 3889 Point p3(4,3); 3890 Point p4(3,1); 3891 Point p5(-1,1); 3892 printf(" p1:"); p1.disp(); printf("\n"); 3893 printf(" p2:"); p2.disp(); printf("\n"); 3894 printf(" p3:"); p3.disp(); printf("\n"); 3895 printf(" p4:"); p4.disp(); printf("\n"); 3896 3897 80 3898 第1章 概论 3899 3900 printf(" p5:"); p5.disp(); printf("\n"); 3901 printf(" p1p2p3三角形面积: %g\n",getArea(p1,p2,p3)); 3902 printf(" p4在p1p2p3三角形内部: %s\n",Intrig(p4,p1,p2,p3)?"是":"不是"); printf(" p5在p1p2p3三角形内部: %s\n",Intrig(p5,p1,p2,p3)?"是":"不是"); } 3903 上述程序的执行结果如图1.55所示。 3904 3905 3906 3907 3908 3909 3910 3911 3912 图1.55 程序执行结果 3913 1.11 第11章─计算复杂性理论 3914 3915 1.11.1 练习题 3916 1. 旅行商问题是NP问题吗？ 3917 A.否 B.是 C.至今尚无定论 3918 2. 下面有关P问题，NP问题和NPC问题，说法错误的是（ ）。 3919 A.如果一个问题可以找到一个能在多项式的时间里解决它的算法，那么这个问题就属 3920 于P问题 3921 B.NP问题是指可以在多项式的时间里验证一个解的问题 3922 C.所有的P类问题都是NP问题 3923 D.NPC问题不一定是个NP问题，只要保证所有的NP问题都可以约化到它即可 3924 3. 对于《教程》例11.2设计的图灵机，分别给出执行f(3，2)和f(2，3)的瞬像演变过 3925 程。 3926 4. 什么是P类问题？什么是NP类问题？ 3927 5. 证明求两个m行n列的二维矩阵相加的问题属于P类问题。 3928 6. 证明求含有n个元素的数据序列中求最大元素的问题属于P类问题。 3929 7. 设计一个确定性图灵机M，用于计算后继函数S(n)=n+1（n为一个二进制数），并 3930 给出求1010001的后继函数值的瞬像演变过程。 3931 1.11.2 练习题参考答案 3932 1. 答：B。 3933 2. 答：D。 3934 3. 答：（1）执行f(3，2)时，输入带上的初始信息为000100B，其瞬像演变过程如 3935 3936 81 3937 3938 3939 3940 下： 3941 3942 3943 算法设计 3944 q0000100B?Bq100100B? B0q10100B?B00q1100B? B001q200B?B00q3110B? 3945 B0q30110B?Bq300110B?q3B00110B?Bq000110B?BBq10110B?BB0q1110B? 3946 BB01q210B?BB011q20B?BB01q311B?BB0q3111B?BBq30111B?BBq00111B? 3947 BBB1q211B?BBB11q21B?BBB111q2B?BBB11q41B?BBB1q41BB? 3948 BBBq41BBB?BBBq4BBBB?BBB0q6BBB 3949 最终带上有一个0，计算结果为1。 3950 （2）执行f(2，3)时，输入带上的初始信息为001000B，其瞬像演变过程如下： 3951 q0001000B?Bq001000B?B0q11000B?B01q2000B?B0q31100B?Bq301100B? 3952 q3 B01100B?Bq001100B?BBq11100B?BB1q2100B?BB11q200B?BB1q3100B? 3953 BBq31100B?Bq3B1100B?BBq01100B?BBBq5100B?BBBBq500B? 3954 BBBBBq50B?BBBBBBq5B?BBBBBBBq6 3955 最终带上有零个0，计算结果为0。 3956 4. 答：用确定性图灵机以多项式时间界可解的问题称为P类问题。用非确定性图灵 3957 机以多项式时间界可解的问题称为NP类问题。 3958 5. 答：求两个m行n列的二维矩阵相加的问题对应的算法时间复杂度为O(mn)，所 3959 以属于P类问题。 3960 6. 答：求含有n个元素的数据序列中最大元素的问题的算法时间复杂度为O(n)，所 3961 以属于P类问题。 3962 7. 解： q0为初始状态，q3为终止状态，读写头初始时注视最右边的格。δ动作函数 3963 如下： 3964 δ(q0，0)→(q1，1，L) 3965 δ(q0，1)→(q2，0，L) 3966 δ(q0，B)→(q3，B，R) 3967 δ(q1，0)→(q1，0，L) 3968 δ(q1，1)→(q1，1，L) 3969 δ(q1，B)→(q3，B，L) 3970 δ(q2，0)→(q1，1，L) 3971 δ(q2，1)→(q2，0，L) 3972 δ(q2，B)→(q3，B，L) 3973 求10100010的后继函数值的瞬像演变过程如下： 3974 B1010001q00B?B101000q111B?B10100q1011B?B1010q10011B?B101q100011B 3975 ?B10q1100011B?B1q10100011B?Bq110100011B?q1B10100011B 3976 ?q3BB10100011B 3977 其结果为10100011。 3978 3979 3980 3981 3982 3983 82 3984 第1章 概论 3985 1.12 第12章─概率算法和近似算法 3986 3987 1.12.1 练习题 3988 1. 蒙特卡罗算法是（ ）的一种。 3989 A.分枝限界算法 B.贪心算法 C.概率算法 D.回溯算法 3990 2. 在下列算法中有时找不到问题解的是（ ）。 3991 A.蒙特卡罗算法 B.拉斯维加斯算法 C.舍伍德算法 D.数值概率算法 3992 3. 在下列算法中得到的解未必正确的是（ ）。 3993 A.蒙特卡罗算法 B.拉斯维加斯算法 C.舍伍德算法 D.数值概率算法 3994 4. 总能求得非数值问题的一个解，且所求得的解总是正确的是（ ）。 3995 A.蒙特卡罗算法 B.拉斯维加斯算法 C.数值概率算法 D.舍伍德算法 3996 5. 目前可以采用（ ）在多项式级时间内求出旅行商问题的一个近似最优解。 3997 A.回溯法 B.蛮力法 C.近似算法 D.都不可能 3998 6. 下列叙述错误的是（ ）。 3999 A.概率算法的期望执行时间是指反复解同一个输入实例所花的平均执行时间 4000 B.概率算法的平均期望时间是指所有输入实例上的平均期望执行时间 4001 C.概率算法的最坏期望事件是指最坏输入实例上的期望执行时间 4002 D.概率算法的期望执行时间是指所有输入实例上的所花的平均执行时间 4003 7. 下列叙述错误的是（ ）。 4004 A.数值概率算法一般是求数值计算问题的近似解 4005 B.Monte Carlo总能求得问题的一个解，但该解未必正确 4006 C.Las Vegas算法的一定能求出问题的正确解 4007 D.Sherwood算法的主要作用是减少或是消除好的和坏的实例之间的差别 4008 8. 近似算法和贪心法有什么不同？ 4009 9. 给定能随机生成整数1到5的函数rand5()，写出能随机生成整数1到7的函数 4010 rand7()。 4011 1.12.2 练习题参考答案 4012 1. 答：C。 4013 2. 答：B。 4014 3. 答：A。 4015 4. 答：D。 4016 5. 答：C。 4017 6. 答：对概率算法通常讨论平均的期望时间和最坏的期望时间，前者指所有输入实 4018 例上平均的期望执行时间，后者指最坏的输入实例上的期望执行时间。答案为D。 4019 7. 答：一旦用拉斯维加斯算法找到一个解，那么这个解肯定是正确的，但有时用拉 4020 斯维加斯算法可能找不到解。答案为C。 4021 8. 答：近似算法不能保证得到最优解。贪心算法不一定是近似算法，如果可以证明 4022 4023 83 4024 4025 算法设计 4026 4027 决策既不受之前决策的影响，也不影响后续决策，则贪心算法就是确定的最优解算法。 4028 9. 解：通过rand5()*5+rand5()产生6，7，8，9，…，26，27，28，29，30这25个整 4029 数，每个整数x出现的概率相等，取前面3*7=21个整数，舍弃后面的4个整数，将{6， 7，8}转化成1，{9，10，11}转化成2，以此类推，即由y= (x-3)/3为最终结果。对应的程 序如下： 4030 #include <stdio.h> 4031 #include <stdlib.h> //包含产生随机数的库函数 4032 #include <time.h> 4033 int rand5() //产生一个[1,5]的随机数 4034 { int a=1,b=5; 4035 return rand()%(b-a+1)+a; 4036 } 4037 int rand7() //产生一个[1,7]的随机数 4038 { int x; 4039 do 4040 { 4041 x=rand5()*5+rand5(); 4042 } while (x>26); 4043 int y=(x-3)/3; 4044 return y; 4045 } 4046 void main() 4047 { srand((unsigned)time(NULL)); //随机种子 4048 for (int i=1;i<=20;i++) //输出20个[1,7]的随机数 4049 printf("%d ",rand7()); 4050 printf("\n"); 4051 } 4052 上述程序的一次执行结果如图1.56所示。 4053 4054 4055 4056 4057 图1.56 程序执行结果 4058 4059 4060 4061 4062 4063 4064 4065 4066 4067 4068 4069 4070 84
算法设计与分析 - 李春葆 - 第二版 - pdf->word v3
标签：子集和 若是 排序算法 种子 声明 creat 水果 函数定义 bbb
原文地址：https://www.cnblogs.com/JUSTDOINS/p/12085050.html
