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通俗易懂的KMP算法详解

时间:2020-02-05 16:27:14      阅读:130      评论:0      收藏:0      [点我收藏+]

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角色:

甲:abbaabbaaba
乙:abbaaba

乙对甲说:「帮忙找一下我在你的哪个位置。」

甲从头开始与乙一一比较,发现第 7 个字符不匹配。

要是在往常,甲会回退到自己的第 2 个字符,乙则回退到自己的开头,然后两人开始重新比较。[1]这样的事情在字符串王国中每天都在上演:不匹配,回退,不匹配,回退,……

但总有一些妖艳字符串要花出自己不少的时间。

上了年纪的甲想做出一些改变。于是甲把乙叫走了:「你先一边玩去,我自己研究下。」

甲给自己定了个小目标:发生不匹配,自己不回退。

甲发现,若要成功与乙匹配,必须要匹配 7 个字符。也就是说,就算自己回退了,在后续的匹配流程中,肯定还要匹配自己的第 7 个字符。

当在甲的某个字符 c 上发生不匹配时,甲即使回退,最终还是会重新匹配到字符 c 上。

那干脆不回退,岂不美哉!

甲不回退,乙必须回退地尽可能少,并且乙回退位置的前面那段已经和甲匹配,这样甲才能不用回退。

如何找到乙回退的位置?

「不匹配发生时,前面匹配的那一小段 abbaab 于我俩是相同的」,甲想,「这样的话,用 abbaab 的头部去匹配 abbaab 的尾部,最长的那段就是答案。」

具体来说,
abbaab 的头部有 a, ab, abb, abba, abbaa(不包含最后一个字符。下文称之为「前缀」)
abbaab 的尾部有 b, ab, aab, baab, bbaab(不包含第一个字符。下文称之为「后缀」)
这样最长匹配是 ab,乙回退到第三个字符和甲继续匹配。

「要计算的内容只和乙有关」,甲想,「那就假设乙在所有位置上都发生了不匹配,乙在和我匹配之前把所有位置的最长匹配都算出来(算个长度就行),生成一张表,之后我俩发生不匹配时直接查这张表就行。」

据此,甲总结出了一条甲方规则:

所有要与甲匹配的字符串,必须先自身匹配:对每个子字符串 [0...i],算出其「相匹配的前缀与后缀中,最长的字符串的长度」。

甲把乙叫了回来,告诉他新出炉的甲方规则。

「小 case,我对自己还不了解吗」,乙眨了一下眼睛,「那我回退到第三个字符和你继续匹配就行了」。

有些算法,适合从它产生的动机,如何设计与解决问题这样正向地去介绍。但KMP算法真的不适合这样去学。最好的办法是先搞清楚它所用的数据结构是什么,再搞清楚怎么用,最后为什么的问题就会有恍然大悟的感觉。我试着从这个思路再介绍一下。大家只需要记住一点,PMT是什么东西。然后自己临时推这个算法也是能推出来的,完全不需要死记硬背。KMP算法的核心,是一个被称为部分匹配表(Partial Match Table)的数组。我觉得理解KMP的最大障碍就是很多人在看了很多关于KMP的文章之后,仍然搞不懂PMT中的值代表了什么意思。这里我们抛开所有的枝枝蔓蔓,先来解释一下这个数据到底是什么。对于字符串“abababca”,它的PMT如下表所示:

技术图片

 

就像例子中所示的,如果待匹配的模式字符串有8个字符,那么PMT就会有8个值。

我先解释一下字符串的前缀和后缀。如果字符串A和B,存在A=BS,其中S是任意的非空字符串,那就称B为A的前缀。例如,”Harry”的前缀包括{”H”, ”Ha”, ”Har”, ”Harr”},我们把所有前缀组成的集合,称为字符串的前缀集合。同样可以定义后缀A=SB, 其中S是任意的非空字符串,那就称B为A的后缀,例如,”Potter”的后缀包括{”otter”, ”tter”, ”ter”, ”er”, ”r”},然后把所有后缀组成的集合,称为字符串的后缀集合。要注意的是,字符串本身并不是自己的后缀。

有了这个定义,就可以说明PMT中的值的意义了。PMT中的值是字符串的前缀集合与后缀集合的交集中最长元素的长度。例如,对于”aba”,它的前缀集合为{”a”, ”ab”},后缀 集合为{”ba”, ”a”}。两个集合的交集为{”a”},那么长度最长的元素就是字符串”a”了,长 度为1,所以对于”aba”而言,它在PMT表中对应的值就是1。再比如,对于字符串”ababa”,它的前缀集合为{”a”, ”ab”, ”aba”, ”abab”},它的后缀集合为{”baba”, ”aba”, ”ba”, ”a”}, 两个集合的交集为{”a”, ”aba”},其中最长的元素为”aba”,长度为3。

好了,解释清楚这个表是什么之后,我们再来看如何使用这个表来加速字符串的查找,以及这样用的道理是什么。如图 1.12 所示,要在主字符串"ababababca"中查找模式字符串"abababca"。如果在 j 处字符不匹配,那么由于前边所说的模式字符串 PMT 的性质,主字符串中 i 指针之前的 PMT[j −1] 位就一定与模式字符串的第 0 位至第 PMT[j−1] 位是相同的。这是因为主字符串在 i 位失配,也就意味着主字符串从 i−j 到 i 这一段是与模式字符串的 0 到 j 这一段是完全相同的。而我们上面也解释了,模式字符串从 0 到 j−1 ,在这个例子中就是”ababab”,其前缀集合与后缀集合的交集的最长元素为”abab”, 长度为4。所以就可以断言,主字符串中i指针之前的 4 位一定与模式字符串的第0位至第 4 位是相同的,即长度为 4 的后缀与前缀相同。这样一来,我们就可以将这些字符段的比较省略掉。具体的做法是,保持i指针不动,然后将j指针指向模式字符串的PMT[j −1]位即可。

简言之,以图中的例子来说,在 i 处失配,那么主字符串和模式字符串的前边6位就是相同的。又因为模式字符串的前6位,它的前4位前缀和后4位后缀是相同的,所以我们推知主字符串i之前的4位和模式字符串开头的4位是相同的。就是图中的灰色部分。那这部分就不用再比较了。

技术图片

 

有了上面的思路,我们就可以使用PMT加速字符串的查找了。我们看到如果是在 j 位 失配,那么影响 j 指针回溯的位置的其实是第 j −1 位的 PMT 值,所以为了编程的方便, 我们不直接使用PMT数组,而是将PMT数组向后偏移一位。我们把新得到的这个数组称为next数组。下面给出根据next数组进行字符串匹配加速的字符串匹配程序。其中要注意的一个技巧是,在把PMT进行向右偏移时,第0位的值,我们将其设成了-1,这只是为了编程的方便,并没有其他的意义。在本节的例子中,next数组如下表所示。
技术图片
 
 1 // 返回值为首次匹配的串的第一个字符的下标
 2 int KMP(string t, string p)
 3 {
 4     int i = 0;
 5     int j = 0;
 6 
 7     while (i < t.length() && j < p.length())
 8     {
 9         if (j == -1 || t[i] == p[j])
10         {
11             i++;
12             j++;
13         }
14         else
15         {
16             j = next[j];
17         }
18     }
19 
20     if (j == p.length())
21         return i - j;
22     else
23         return -1;
24 }

 

 

好了,讲到这里,其实KMP算法的主体就已经讲解完了。你会发现,其实KMP算法的动机是很简单的,解决的方案也很简单。远没有很多教材和算法书里所讲的那么乱七八糟,只要搞明白了PMT的意义,其实整个算法都迎刃而解

现在,我们再看一下如何编程快速求得next数组。其实,求next数组的过程完全可以看成字符串匹配的过程,即以模式字符串为主字符串,以模式字符串的前缀为目标字符串,一旦字符串匹配成功,那么当前的next值就是匹配成功的字符串的长度

具体来说,就是从模式字符串的第一位(注意,不包括第0位)开始对自身进行匹配运算。 在任一位置,能匹配的最长长度就是当前位置的next值。如下图所示。

技术图片

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求next数组值的程序如下所示:

 1 void getNext(string p, int next[])
 2 {
 3     next[0] = -1;
 4     int i = 0, j = -1;
 5 
 6     while (i < p.length())
 7     {
 8         if (j == -1 || p[i] == p[j])
 9         {
10             ++i;
11             ++j;
12             next[i] = j;    // next[1]永远都为0
13         }
14         else
15             j = next[j];
16     }
17 
18 }

 

 

作者:海纳

链接:https://www.zhihu.com/question/21923021/answer/281346746
来源:知乎
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原文地址:https://www.cnblogs.com/FengZeng666/p/12264096.html

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