浅谈树状数组套主席树

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话说主席树还没写就先写这一篇了\(qwq\)

回顾一下主席树的实现过程：类似查分思想，将线段树的每次修改看做函数式以支持可持久化。因为这样的线段树是可减的。

那么我们维护信息的时候，就要维护每一次新形成的信息。但是我们可以根据前一个信息的基础上进行改动，而不必要去再建一棵树。

所以总而言之，是前缀和的思想。

那么，当需要修改的时候，怎么做呢？

考虑普通的区间操作，当做单点修改的时候，一般用树状数组，线段树和分块。最好实现的就是树状数组。

考虑用树状数组来维护主席树的信息。

树状数组中维护了每一次加入一个数的新形成的主席树的信息。

对于修改一个值，考虑树状数组的单点修改，若修改点\(p\)，则把一路上的\(p+lowbit(p)\)全部修改即可，这样是\(O(log)\)的，主席树修改是\(O(log)\)的，即总复杂度\((\log^2{n})\).

查询的时候，我们可以用树状数组提前将第\(r\)棵树和第\(l-1\)棵树的信息预处理出来，是\(log\)的，然后在树上二分，跳左右子树的时候，这\(log\)个信息也一起跳。大概复杂度也是\(O(\log^2{n})\)的。

总时间复杂度：\(O(n\log^2{n})\)

代码：

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int MAXN=1e6+10;
int n,m,a[MAXN],u[MAXN],x[MAXN];
int l[MAXN],r[MAXN],k[MAXN],cur;
int cur1,cur2,q1[MAXN],q2[MAXN],v[MAXN];
char op[MAXN];
set<int>ST;
map<int,int>mp;
struct SGT{
    int cur,rt[MAXN<<2],sum[MAXN<<5],lc[MAXN<<5],rc[MAXN<<5];
    void build(int &o){o=++cur;}
    void print(int o,int l,int r){
        if(!o)return;
        if(l==r&&sum[o])printf("%d",l);
        int mid=l+r>>1;
        print(lc[o],l,mid);
        print(rc[o],mid+1,r);
    }
    void update(int &o,int l,int r,int x,int v){
        if(!o)o=++cur;
        sum[o]+=v;
        if(l==r)return ;
        int mid=l+r>>1;
        if(x<=mid)update(lc[o],l,mid,x,v);
        else update(rc[o],mid+1,r,x,v);
    }
}st;
inline int lbt(int x){return x&(-x);}
void upd(int o,int x,int v){
    for(;o<=n;o+=lbt(o))st.update(st.rt[o],1,n,x,v);
}
void gtv(int o,int *A,int &p){
    p=0;
    //A数组维护了树状数组o所控制的所有根信息 
    for(;o;o-=lbt(o))A[++p]=st.rt[o];
}
int query(int l,int r,int k){
    if(l==r)return l;
    int mid=l+r>>1,siz=0;
    for(int i=1;i<=cur1;++i)siz+=st.sum[st.lc[q1[i]]];
    //q1是r树的信息 
    for(int i=1;i<=cur2;++i)siz-=st.sum[st.lc[q2[i]]];
    //q2是l-1树的信息，通过gtv处理 
    //siz代表信息的区间[l,r]信息 
    if(siz>=k){
        for(int i=1;i<=cur1;++i)q1[i]=st.lc[q1[i]];
        for(int i=1;i<=cur2;++i)q2[i]=st.lc[q2[i]];
        return query(l,mid,k);//q1q2一样改，走左子树 
    }
    else{
        for(int i=1;i<=cur1;++i)q1[i]=st.rc[q1[i]];
        for(int i=1;i<=cur2;++i)q2[i]=st.rc[q2[i]];
        return query(mid+1,r,k-siz);
    }
}
int main(){
    scanf("%d%d",&n,&m);
    for(int i=1;i<=n;++i)scanf("%d",a+i),ST.insert(a[i]);
    for(int i=1;i<=m;++i){
        scanf(" %c",op+i);
        if(op[i]=='C')scanf("%d%d",u+i,x+i),ST.insert(x[i]);
        else scanf("%d%d%d",l+i,r+i,k+i);
    }
    for(set<int>::iterator it=ST.begin();it!=ST.end();++it)
        mp[*it]=++cur,v[cur]=*it;//unique 
    for(int i=1;i<=n;++i)a[i]=mp[a[i]];
    for(int i=1;i<=m;++i)if(op[i]=='C')x[i]=mp[x[i]];
    n+=m;
    for(int i=1;i<=n;++i)upd(i,a[i],1);
    for(int i=1;i<=m;++i){
        if(op[i]=='C'){
            upd(u[i],a[u[i]],-1);
            upd(u[i],x[i],1);
            a[u[i]]=x[i];
        }
        else{
            gtv(r[i],q1,cur1);//预处理 
            gtv(l[i]-1,q2,cur2);//预处理 
            printf("%d\n",v[query(1,n,k[i])]);
        }
    }
    return 0;
}

代码中的\(set\)是用来去重的，\(map\)是用来离散化的。

注意询问的字符输入，不要漏了前面的空格。

浅谈树状数组套主席树

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