数据结构-图的最短路径之Djikstra算法（迪杰斯特拉算法）

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一. Djikstra算法定义

1. 形式：用来解决单源最短路径的问题，即给出图G和起点s，通过算法到达每个顶点的最短距离。
2. 基本思想: 对图G(V, E)设置集合S， 存放已被访问的顶点，然后每次从集合V-S中选择与起点s的最短距离最小的一个顶点u，访问并加入集合S。之后，令顶点u为中介点， 优化起点和所有的从u能到达的顶点v之间的最短距离。这样的操作执行n（顶点的个数）次。
3. 伪代码:

//G为图， 一般设置为全局变量，数组d为源点到达各点的最短路径长度，s为起点
Djikstra(G, d[], s){
    初始化
    for(循环n次){
        u = 是d[u]最小的还未被访问的顶点的标号
        记u已被访问
        for(从u出发能到达的所有顶点v){
            if(v未被访问&&以U为中介使得s到顶点v的最短距离d[v]更优){
                优化d[v]
            }
        }
    }
}

二、具体实现

1. 邻接矩阵版

const int MAXV = 1000;//最大顶点数
const int INF = 10000000000;//设INF为一个很大数

//适用于点数不大的情况
int n, G[MAXV][MAXV];
int d[MAXV];
bool vis[MAXV];

void Dijkstra(int s){
    fill(d, d+MAXV, INF);
    d[s] = 0;
    for(int i = 0; i < n; i++){
        int u = -1. MIN = INF;//u使d[u]最小， MIN存放该最小d[u]
        for(int j = 0; j < n; j++){
            if(vis[j] == false && d[j] < MIN){
                u = j;
                MIN = d[j];
            }
        }
        //找不到小于INF的d[u],说明剩下的顶点与s不连通
        if(u == -1) return;
        vis[u] = true;//标记u为已访问
        for(int v = 0; v < n; v++){
            //如果v未访问&&u能够到达v&&以u为中介点可以使d[v]更优
            if(vis[v] == false && G[u][v] != INF && d[u] + G[u][v] < d[v]){
                d[v] = d[u] + G[u][v];//优化d[v]
            }
        }
    }
}

2. 邻接表版

struct node{
    int v, dis;//v为边的目标顶点，dis为边权
};

vector<node> Adj[MAXV];
int n;
int d[MAXn];
bool vis[MAXV] = {false};

void Dijkstra(int s){
    fill(d, d+MAXV, INF);
    d[s] = 0;
    for(int i = 0; i < n; i++){
        int u = -1, MIN = INF;
        for(int j = 0; j < n; j++){
            if(vis[j] == false && d[j] < MIN){
                u = j;
                MIN = d[j];
            }
        }
        if(u == -1) return;
        vis[u] = true;
        //只有这个部分与邻接矩阵自而发不同
        for(int j = 0; j < Adj[u].size(); j++){
            int v = Adj[u][j].v//通过邻接表直接获得u能够到达的v
            if(vis[v] == false && d[u] + Adj[u][j].dis < d[v]){
                d[v] = d[u] + Adj[u][j].dis;
            }
        }
    }
}

3. 最短路径的求法（在上面的基础上）

• 如果题目中给出的是无向图，那么根据邻接表和邻接矩阵自行改变即可，如果是邻接矩阵可以在两边同时加上一样的权值；如果是邻接表那么使用push_back,也是同时交换输入。

<1>以邻接矩阵为例

const int MAXV = 1000;//最大顶点数
const int INF = 10000000000;//设INF为一个很大数

//适用于点数不大的情况
int n, G[MAXV][MAXV];
int d[MAXV];
bool vis[MAXV];
int pre[MAXV];//表示从起点到顶点v的最短路径上v的前一个顶点（新添加）
void Dijkstra(int s){
    fill(d, d+MAXV, INF);
    d[s] = 0;
    for(int i = 0; i < n; i++){
        int u = -1. MIN = INF;//u使d[u]最小， MIN存放该最小d[u]
        for(int j = 0; j < n; j++){
            if(vis[j] == false && d[j] < MIN){
                u = j;
                MIN = d[j];
            }
        }
        //找不到小于INF的d[u],说明剩下的顶点与s不连通
        if(u == -1) return;
        vis[u] = true;//标记u为已访问
        for(int v = 0; v < n; v++){
            //如果v未访问&&u能够到达v&&以u为中介点可以使d[v]更优
            if(vis[v] == false && G[u][v] != INF && d[u] + G[u][v] < d[v]){
                d[v] = d[u] + G[u][v];//优化d[v]
                //就是在这里改变，添加了一条语句
                pre[v] = u;//新添加
            }
        }
    }
}

//如何打印，就是递归打印
void dfs(int s, int v){
    if(v == s){
        printf("%d\n", s);
        return;
    }
    dfs(s, pre[v]);
    printf("%d\n", v);
}

4. 会出现的其他情况，即附加条件

• 即出现除了第一个条件最短路径外，可能还会有其他的条件限制，如有多条路径
• 每条边增加一个边权（花费）；
• 每个点增加一个点权（如每个城市可以收到的物资）；
• 直接问有多少条最短路径。

<1>新增边权。以新增边权花费为例，都是在最后判断出进行修改，其余均不需改动

        for(int v = 0; v < n; v++){
            //如果v未访问&&u能够到达v&&以u为中介点可以使d[v]更优
            if(vis[v] == false && G[u][v] != INF){
                if(d[u] + G[u][v] < d[v]){
                     d[v] = d[u] + G[u][v];//优化d[v]
                     c[v] = c[u] + cost[u][v];
                }else if(d[u] + G[u][v] == d[v] && c[u] + cost[u][v] < c[v]){
                    c[v] = c[u] + cost[u][v];
                }
            }
        }

<2>新增点权，以新增的点权代表城市中能收集到的物资为例，用weight[u]表示城市u中物资数目，并增加一个数组w[],令其为起点s到到达顶点u可以收集的最大物资w[u].

        for(int v = 0; v < n; v++){
            //如果v未访问&&u能够到达v&&以u为中介点可以使d[v]更优
            if(vis[v] == false && G[u][v] != INF){
                if(d[u] + G[u][v] < d[v]){
                     d[v] = d[u] + G[u][v];//优化d[v]
                     w[v] = w[u] + weight[v];
                }else if(d[u] + G[u][v] == d[v] && w[u] + weight[v] > w[v]){
                    w[v] = w[u] + weight[v];
                }
            }
        }

<3>求最短路径的条数。只需要增加一个数组num[],初始时num[s] = 1,其余都为num[u] = 0.

        for(int v = 0; v < n; v++){
            //如果v未访问&&u能够到达v&&以u为中介点可以使d[v]更优
            if(vis[v] == false && G[u][v] != INF){
                if(d[u] + G[u][v] < d[v]){
                     d[v] = d[u] + G[u][v];//优化d[v]
                     num[v] = num[u];
                }else if(d[u] + G[u][v] == d[v]){
                    num[v] += num[u];
                }
            }
        }

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