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摘要：我们修改Kaliski给出的算法来计算一个质数的整数模的蒙哥马利逆。我们也给出了一个新的定义介绍了计算经典模逆、Kaliski-Montgomery逆和新的Montgomery逆的高效算法。所提出的算法适用于通用微处理器上的软件实现。

关键词：模算术；模逆；几乎逆；蒙哥马利乘法；密码学

1介绍

        模一个素数p的基本算术运算（即加法、乘法和求逆）在密码学中有许多应用，例如RSA算法中的解密运算[9]、Diffie-Hellman密钥交换算法[1]、美国政府数字签名标准[8]以及最近推出的椭圆曲线密码[5]、[6]。模逆运算在公钥密码中起着重要的作用，特别是在利用所谓的加减链[2]、[4]加速求幂运算以及计算有限域GF(p)[5]、[6]。上定义的椭圆曲线上的点运算中。

       以质数p取模的整数a∈[1,p-1]的模拟被定义为如ax=1(mod p)的整数x∈[1,p-1]。它通常写成x=a^-1(mod p)。这是模逆[4]的经典定义。接下来我们会用到以下方法表示以p取模的数a的倒数：

模逆的定义最近被Kaliski扩展到包括所谓的基于蒙哥马利乘法算法[7]的蒙哥马利逆[3]中。在这篇文章中，我们引入了蒙哥马利逆的一个新定义，也给出了计算经典模逆、Kaliski-Montgomery逆和整数a模质数p的新Montgomery逆的有效算法。

2蒙哥马利逆

两个整数a,b∈[0,p-1]的蒙哥马利乘法被定义为c=ab2^-n(mod p)  其中 n=[log₂p]。我们使用下面符号表示该乘法运算，

其中p是素数，n是其位长。整数a∈[1,p-1]的蒙哥马利逆由Kaliski[3]定义为整数x=a^-12ⁿ(mod p)。类似地，我们将使用下列符号来表示由Kaliski定义的Montgomery反演。

在[3]中引入的算法计算了a的蒙哥马利逆。我们给出了下面的算法。第一阶段的输出是整数r，使得r=a^-12^k(mod p),其中n＜k≤2n。然后使用第二阶段对该结果进行校正，以获得蒙哥马利逆x=a^-12ⁿ(mod p)。

3几乎蒙哥马利逆

如上所示，第一阶段计算整数r=a^-12^k(mod p),其中n＜k≤2n。a的蒙哥马利逆被定义为x=a^-12ⁿ(mod p),其中n=[log₂p]。

接下来我们将第一阶段的输出称为a的几乎蒙哥马利逆，并表示为：

其中n＜k≤2n。我们注意到一个类似的概念，伽罗瓦场GF（2^m）中元素的几乎逆在文献[11]中引入，也在文章[10]中解决了一些实现问题。

       由于k是阶段I的输出，我们将其作为输出值包含在AlmMonInv函数的定义中。我们还建议对几乎蒙哥马利逆算法的使用方式进行额外的改变。不是选择蒙哥马利基数作为R=2^m(其中n=[log₂p])，而是选择它作为R=2^m，其中m是计算机字数w的整数倍，这就是说w=i*w(i为正整数)。蒙哥马利乘积算法适用于任何m，只要m≥n（其中n是质数p的位长）。为了提高效率，我们选择了使m大于n的最小i，换句话说就是iw=m≥n，但是(i-1)w<n。结果表明，almost Montgomery逆算法(阶段一)也适用于这种情况。此外，它甚至适用于输入a，只要它小于2m，它就可能大于p，如下面定理1所证明的。第二个问题是几乎Montgomery逆算法终止后k的值。我们在定理2中证明了n≤k≤m+n。

定理1：如果p>2是一个质数并且a≥1（a可能比p大），那么在almost Montgomery逆算法中，中间值r、s和u总是在区间[0,2p-1]上。

证明：如果a<p，那么在文献[3]中给出的证明可以用在这里。如果a>p且a不是p的整数倍，那么在while循环中只执行步骤5和步骤7，直到v小于u。在此之前，变量u、r和s保持其初始值。 当v < u时，它们开始变化，在这一点之后，算法继续处理a < p的情况。因此，a>p时中间值保持在区间[0,2p-1]内。

定理2： 如果p>2是一个质数并且a≥1，那么在almost Montgomery逆算法结束时产生的指标k取一个介于n和m+n之间的值，其中n=[log2p],m=sw(sw≥n且(s-1)w<n)。

证明：在每次循环（步骤4-7）的uv和（u+v）的减少如表1所示。注意，这些步骤是相互排斥的。也就是说，在一次迭代中，这四种情况只有一种发生。在每次迭代中，uv值至少减半，而u+v最多减半，而且在最后一次迭代之前u和v都等于1。因为uv和(u+v)的初始值分别是ap和a+p，索引值k（即迭代次数）满足：

因为2^n-1< p < 2ⁿ并且0 < a < 2^m，我们有：

因此，我们得到结果：n≤k≤m+n。此外，我们注意到 m-n≤ w-1,其中w是机器的字号。这意味着 m-w+1≤k≤m+n。

4使用几乎蒙哥马利逆

蒙哥马利逆算法计算x=a^-12ⁿ(mod p)。Kaliski算法[3]使用了第二阶段的位级运算来实现它的目标。它在阶段II中使用（k-n）个步骤，在每个步骤中，执行一个位级右移操作。此外，如果r是奇数，则需要执行加法运算r+p。

如前所述，我们将使用这个定义x=a^-12^m(mod p)。此外，完全消除位级操作并使用Montgomery乘积算法得到相同的结果也是可能的。在我们的方法中，我们将这些位级操作替换为字级Montgomery乘积操作，这在微处理器上本质上更快，特别是当计算机的字大小很大时（16,32或64）。

新的第二阶段是基于预先计算的蒙哥马利基数R=2^m(mod p),然而，我们只需要R²(mod p)。这个值可以预先计算、保存并在必要时使用。另一个问题是AlmMonInv和MonPro函数的输入变量范围。对于这两个函数，任何输入都不能超过2^m-1。

4.1改进的Kaliski-Montgomery逆

该算法在给定整数a的情况下计算x=MonInv(a)=a^-12^m(mod p)。因此，它找到了整数a模p的逆，并将其转换为蒙哥马利域。修改后的Kaliski -蒙哥马利逆算法如下:

步骤2.1中MonPro函数的输入是r和R²，它们都在正确的范围内。步骤3中MonPro的输入2^2m-k也在正确的范围内，因为k≤m时，步骤2.2中k被调整为大于m，因此0 < 22m< 2m。

4.2经典模逆

在某些情况下，我们只对计算x=ModInv(a)=a^-1(mod p)而不需要转换到Montgomery域感兴趣。实现此目的的一种方法是首先计算a的Kaliski- Montgomery逆来获得b=a^-12^m(mod p)，依照下列式子使用Montgomery乘积，将结果重新转换回残留(非Montgomery)域：

 另一种计算经典逆的方法是反转MonInv和MonPro运算的顺序，并使用常数R²=2^2m(mod p)，具体如下：

但是，除了AlmMonInv函数之外，这些方法中的任何一种都需要两个或三个Montgomery乘积操作。取而代之的是，我们可以修改Kaliski-Montgomery逆算法，使其在一个或两个Montgomery乘积运算的AlmMonInv函数之后直接计算经典的模逆。

4.3新的蒙哥马利逆

我们提出了蒙哥马利逆的新定义：在给定输入a(mod p)的情况下， x=a^-12^2m(mod p)。根据这个新的定义，我们计算一个已经在Montgomery域中的整数的Montgomery逆，得到同样在Montgomery域中的输出x。我们将用以下式子来表示新的蒙哥马利逆计算：

a的Kaliski-Montgomery逆定义为MonInv(a)=a^-12^m(mod p)，其性质如下

换句话说，根据Kaliski-Montgomery逆，乘法恒等式等于1。如果我们在图像1为2^m(mod p)的Montgomery域中操作，这是一个错误的假设。另一方面，新蒙哥马利逆具有如下性质：

这种逆的新定义更适合于使用Montgomery乘法计算表达式，因为它在Montgomery域中计算结果。

新的蒙哥马利逆不能直接用给定输入a2^m(mod p)的MonInv算法来计算，因为我们会得到：

然而，这可以转换回蒙哥马利领域使用一个单一的蒙哥马利乘法R²(mod p)。因此，我们得到了一种计算新的Montgomery逆的方法：

同样，另一种获得相同结果的方法是颠倒操作顺序:

新算法使用预先计算的值R²(mod p)，而且它的效率更高：在AlmMonInv函数之后，它只使用两三个Montgomery乘法操作。

 5结论与应用

我们提出了Montgomery逆的新定义，并给出了计算经典模逆、Kaliski-Montgomery逆和新Montgomery逆的有效算法。新算法基于几乎蒙哥马利逆函数，之后需要两三个蒙哥马利乘积运算，而不是像[3]那样使用位级运算。

我们进行了一些实验，使用经典的(移位和加法)和新提出的基于Montgomery乘法的第二阶段步骤实现了所有三种反演算法。这些算法使用Microsoft Visual c++ 5.0开发系统进行编码。计时结果是在运行WindowsNT4.0操作系统的450MHz奔腾II处理器上获得的。在表2中，我们总结了计时结果。该表包含长度为160和192位的操作数（以微秒为单位）的新旧第二阶段计时（旧PhII和新PhII）。最后两列（PhII-Spd和All-Spd）只给出了第二阶段的加速和总体加速，这说明了所介绍算法的效率。

本文给出了新的蒙哥马利逆在eP计算中的一个应用，其中e是一个整数，P是在有限域GF(P)上定义的椭圆曲线上的一个点。这个计算要求我们执行椭圆曲线点的加法P+Q和加倍运算P+P=2P，每个点运算都需要一些模的加法和乘法以及一个模的反转。逆运算用于计算变量λ:=(y2-y1)(x2-x1)^-1(mod p)，这是计算椭圆曲线的点加法：P(x1,y1)和Q(x2,y2)是为了得到P+Q=(x3,y3)所需的。假设输入变量在Montgomery域中给定，我们希望得到Montgomery域中的结果。如果使用KaliskiMontgomery逆，它将计算经典逆，这是在留数（非Montgomery）域中的，并且不容易在后续操作中使用。为了转换回蒙哥马利域，我们需要用R²(mod p)执行一个蒙哥马利乘法。然而，借助于新的Montgomery逆，我们可以在一步内完成上述计算。由于这些运算是针对指数e的每一位执行的，因此新的Montgomery逆在这种情况下更有效和更有用。

 by JFQ

论文翻译2：61蒙哥马利模块化逆算法回顾

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原文地址：https://www.cnblogs.com/kingQ/p/12371248.html