码迷,mamicode.com
首页 > 编程语言 > 详细

算法总结之求解模线性方程组

时间:2014-11-04 17:34:21      阅读:228      评论:0      收藏:0      [点我收藏+]

标签:style   blog   http   io   color   ar   for   sp   on   

转自链接:Enumz

1)求解模线性方程 ax = b(mod n)

  方程ax = b(mod n) -> ax = b + ny ->ax - ny = b

  -> ax + n (-y) =b 其中a,n,b已知。 可用扩展欧几里得来求解该方程的一组特解。

  这里给出下列几个定理用来求解方程:

  1.当且仅当d|b时,方程ax = b(mod n)有解。d=gcd(a,n)

  2.ax = b(mod n) 或者有d个不同解,或者无解。

  3.令d=gcd(a,n) 假定对整数x‘, y‘, 有d = ax‘ + ny‘, 如果d | b, 则方程ax = b(mod n)有一个解的值为x0, 满足:

    x0=x‘(b/d)(mod n)

  4.假设方程ax = b(mod n)有解, x0是方程的任意一个解, 则方程对模n恰有d个不同的解, 分别为:

    xi = x0 + i * (n / d), 其中 i = 1,2,3......d - 1

  根据这4个定理,运用扩展欧几里得算法就能轻易的求出模线性方程的所有解了。

伪代码如下:

MODULAR_LINEAR_EQUATION_SOLVER(a,b,n)
(d,x',y')=EXTENDED_EUCLID(a,n)
if (d|b)
    x0=x'(b/d) mod n
    for i=0 to d-1
    print (x0+i(n/d)) mod n
else
    print "no solutions"

2)求解模线性方程组

  x = a1(mod m1)

  x = a2(mod m2)

  x = a3(mod m3)

  

  先求解方程组前两项。 x=m1*k1+a1=m2*k2+a2

 -> m1*k1+m2*(-k2)=a2-a1

  这个方程可以通过欧几里得求解出最小正整数的k1 则x=m1*k1+a1 显然x为两个方程的最小正整数解。

  则这两个方程的通解为 X=x+k*LCM(m1,m2) -> X=x(mod LCM(m1,m2)) 就转换成了一个形式相同方程了

  在通过这个方程和后面的其他方程求解。最终的结果就出来了。


算法总结之求解模线性方程组

标签:style   blog   http   io   color   ar   for   sp   on   

原文地址:http://blog.csdn.net/acm_code/article/details/40785957

(0)
(0)
   
举报
评论 一句话评论(0
登录后才能评论!
© 2014 mamicode.com 版权所有  联系我们:gaon5@hotmail.com
迷上了代码!