算法总结之求解模线性方程组

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转自链接：Enumz

1）求解模线性方程 ax = b(mod n)

　　方程ax = b(mod n) -> ax = b + ny ->ax - ny = b

　　-> ax + n (-y) =b 其中a,n,b已知。 可用扩展欧几里得来求解该方程的一组特解。

　　这里给出下列几个定理用来求解方程：

　　1.当且仅当d|b时，方程ax = b(mod n)有解。d=gcd(a,n)

　　2.ax = b(mod n) 或者有d个不同解，或者无解。

　　3.令d=gcd(a,n) 假定对整数x‘, y‘, 有d = ax‘ + ny‘， 如果d | b, 则方程ax = b(mod n)有一个解的值为x0, 满足：

　　　　x0=x‘(b/d)(mod n)

　　4.假设方程ax = b(mod n)有解， x0是方程的任意一个解， 则方程对模n恰有d个不同的解， 分别为:

　　　　xi = x0 + i * (n / d), 其中 i = 1,2,3......d - 1

　　根据这4个定理，运用扩展欧几里得算法就能轻易的求出模线性方程的所有解了。

MODULAR_LINEAR_EQUATION_SOLVER(a,b,n)
(d,x',y')=EXTENDED_EUCLID(a,n)
if (d|b)
    x0=x'(b/d) mod n
    for i=0 to d-1
    print (x0+i(n/d)) mod n
else
    print "no solutions"

2)求解模线性方程组

　　x = a1(mod m1)

　　x = a2(mod m2)

　　x = a3(mod m3)

　　先求解方程组前两项。 x=m1*k1+a1=m2*k2+a2

　-> m1*k1+m2*(-k2)=a2-a1

　　这个方程可以通过欧几里得求解出最小正整数的k1 则x=m1*k1+a1 显然x为两个方程的最小正整数解。

　　则这两个方程的通解为 X=x+k*LCM(m1,m2) -> X=x(mod LCM(m1,m2)) 就转换成了一个形式相同方程了

　　在通过这个方程和后面的其他方程求解。最终的结果就出来了。

算法总结之求解模线性方程组

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原文地址：http://blog.csdn.net/acm_code/article/details/40785957