不动点迭代算法

标签：iostream   数学   复合   搜索引擎   正数   问题   范围   cos   and   

今天有个小朋友向我提出了一个「了不起」的问题。

一个有趣的现象

打开一个没有 Bug 的计算器，任意输入一个数值 \(x\)，然后找到函数 \(sin(x)\) 或者 \(cos(x)\) ，连续点击这个函数若干次，你会发现一个有趣的现象：无论初始的 \(x\) 为多少，最后的值总是接近某一个数值（这些数值在某个精度范围内是相等的）。\(sin(x)\) 最后总为 \(0\) ，\(cos(x)?\) 最后为 0.73 或者 0.99 （取决于你的计算器是否开启弧度制）。

从数学的角度来看，实际上就是：定义 \(f^1(x) = f(x), f^2(x)=f(f(x)), f^{n}(x)=f(f(f(...f(x))))\) ，\(n\) 个 \(f\) 进行复合函数运算，求 \(\lim\limits_{n \rightarrow \infty} f^{n}(x)\) 。

显然，这道证明题我不会??。

万能的搜索引擎

虽然我不会证明，但是找一下是什么知识点还是挺简单的。查了一圈回来，发现这其实是「数值分析」中的 不动点方程 。上述证明题，\(\lim\limits_{n \rightarrow \infty} f^{n}(x)\) 的值实际上是 \(x = f(x)?\) 的根。这个方程用「零点定理」，写一个 while-loop 就出来了，所以就不说了。

算了，还是说一下吧，反正闲着也是闲着。设 \(g(x) = x - \cos(x)?\)，显然 \(g(0) \cdot g(1) < 0?\)，\(g(x)?\) 为增函数，因此在 \((0,1)?\) 上有 1 个零点。

#include <iostream>
#include <cmath>
using namespace std;
double func(double x)
{
    return x - cos(x);
}
int main()
{
    const double eps = 1e-8;
    double l = 0, r = 1;
    while ((r - l) >= eps)
    {
        double mid = (l + r) / 2;
        func(mid) > 0 ? (r = mid) : (l = mid);
    }
    printf("%.8lf %.8lf\n", l, r);
}

不动点迭代算法

这是扩展阅读部分，因为这篇文章看起来篇幅不太够，所以就凑点字数，反正看 blog 的人大多数都是一些「无聊的人」O(∩_∩)O 。

不动点迭代 (Fixed Point Iteration) ，用于求解某些非线性函数 \(f(x)?\) 的零点，也就是解方程 \(f(x) = 0?\) 。那么这个「不动点迭代算法」到底有什么用呢？

比如我想求 \(f(x) = 1 + 0.5 \sin{x} - x?\) 的根，那么可以进行如下变换：
\[ f(x) = 0 \quad \Rightarrow \quad x = 1+0.5\sin{x} \]
然后令 \(g(x) = 1+0.5 \sin {x}\) ，对 \(x_{i+1} = g(x_i)\) 执行迭代若干次，就可以得到原方程的根 \(x_n\) 。

有这个「不动点迭代」法，求根就可以简单一点（虽然比「二分法」没简单多少??）。

double func(double x)
{
    return 1 + 0.5 * sin(x);
}
int main()
{
    srand(time(NULL));
    double x = rand();
    for (int i = 0; i < 10; i++)
        x = func(x);
    printf("%.10lf", x);
}

但这个算法其实对于 \(g(x)\) 来说是有条件的，并不是所有的方程都适用。如果对于方程 \(x = 2x^3-1, g(x)=2x^3-1\) 执行上面的算法，我们是得不到正确的答案 \(x=1\) 的。

Aside
设迭代函数 \(g(x)\) 在 \([a,b]\) 上连续，且满足：

• 当 \(x \in [a,b]\) 时，\(a \le g(x) \le b\)
• 存在一正数 \(L\) 满足 \(0 < L < 1\)，且 \(\forall{x} \in [a,b]\) 均有 \(|g^{'}(x)| \le L\)

则方程 \(x = g(x)\) 在 \([a,b]\) 上有唯一解 \(x_n\) 。对于任意的初值 \(x_0 \in [a,b]\) ，均可通过 \(x_{i+1} = g(x_i)\) 迭代求得 \(x_n\) 。

详细的证明请看这里。

总结

实际上我并没有解决这个小朋友的疑问（因为??也??懂怎么证明），但是至少我又水了一篇 blog，打发了两个小时的无聊时间。唉，什么时候才动手搞毕业设计呢，真是有够堕落的。

众所周知，百度是一家大型广告公关公司，附带高质量的站内搜索引擎??，但有一说一，百度文库确实挺好用的??，特别是找课件看，找期末题库。

不动点迭代算法

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原文地址：https://www.cnblogs.com/sinkinben/p/12422931.html