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LCS(最长公共子序列)动规算法正确性证明

时间:2014-11-05 18:49:36      阅读:230      评论:0      收藏:0      [点我收藏+]

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今天在看代码源文件求diff的原理的时候看到了LCS算法。这个算法应该不陌生,动规的经典算法。具体算法做啥了我就不说了,不知道的可以直接看《算法导论》动态规划那一章。既然看到了就想回忆下,当想到算法正确性的时候,发现这个算法的正确性证明并不好做。于是想了一段时间,里面有几个细节很trick,容易陷进去。想了几轮,现在把证明贴出来,有异议的可以留言一起交流。

先把一些符号和约定说明下:

假设有两个数组,A和B。A[i]为A的第i个元素,A(i)为有A的第一个元素到第i个元素所组成的前缀。m(i, j)为A(i)和B(j)的最长公共子序列长度。

由于算法本身的递推性质,其实只要证明,对于某个i和j:

  m(i, j) = m(i-1, j-1) + 1 (当A[i] = B[j]时)

  m(i, j) = max( m(i-1, j), m(i, j-1) ) (当A[i] != B[j]时)

第一个式子很好证明,即当A[i] = B[j]时。可以用反证,假设m(i, j) > m(i-1, j-1) + 1 (m(i, j)不可能小于m(i-1, j-1) + 1,原因很明显),那么可以推出m(i-1, j-1)不是最长的这一矛盾结果。

第二个有些trick。当A[i] != B[j]时,还是反证,假设m(i, j) > max( m(i-1, j), m(i, j-1) )。

由反证假设,可得m(i, j) > m(i-1, j)。这个可以推出A[i]一定在m(i, j)对应的LCS序列中(反证可得)。而由于A[i] != B[j],故B[j]一定不在m(i, j)对应的LCS序列中。所以可推出m(i, j) = m(i, j-1)。这就推出了与反正假设矛盾的结果。

得证。

LCS(最长公共子序列)动规算法正确性证明

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原文地址:http://www.cnblogs.com/waytofall/p/4076685.html

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