[算法学习] 长链剖分

标签：for   ant   算法学习   ems   codeforce   dice   最大的   时间复杂度   长度   

简介

长链剖分是跟dsu on tree类似的小\(trick\)，可以资瓷维护子树中只与深度有关的信息。
并能达到线性的时间复杂度。

算法流程

对于每个点，记录重儿子\(heavy[u]\)表示深度最大的儿子，其余作为轻儿子。
这样我们可以得到若干条互不相交的长链。
在维护信息的过程中，我们先\(O(1)\)继承重儿子的信息，再暴力合并其余轻儿子的信息。
因为每一个点仅属于一条长链，且一条长链只会在链顶位置作为轻儿子暴力合并一次，所以复杂度是线性的。
但是我们发现，这个数组仿佛开不下（大雾），所以我们需要想想办法来解决。
有一个比较巧妙的方法，就是利用指针来实现。
下面以一道题为例。

CF1009F Dominant Indices

题目链接：CF1009F Dominant Indices

Description

给定一个以 \(1\) 为根， \(n\) 个节点的树。
设 \(d(u,x)\) 为 \(u\) 子树中到 \(u\) 距离为 \(x\) 的节点数。
求对于每一个点，最小的 \(k\) ，使得 \(d(u,k)\) 最大。
数据范围 \(1\le n\le 10^6\)。

Solution

我们先考虑如何暴力做。
定义\(f_{u,i}\)表示在 \(u\) 的子树内，到 \(u\) 的距离为 \(i\) 的点的个数。
那么，我们不难推出转移方程： \(f_{u,0}=1,f_{u,i}=\sum_{v\in son(x)}f_{v,i-1}\)。
复杂度：\(O(n^2)\)，需要进行优化。
我们定义\(heavy[u]\)表示深度最大的儿子，\(len[u]\)表示\(x\)到儿子的最长距离。
不难发现\(dp\)第二维的 \(i\) 肯定不超过 \(len[u]\)。
为避免数组存不下的问题，我们采用指针来代替，即对于每条长链的链顶给它一个长度为\(len[x]\)的内存。
这样的好处在于，对于一条长链，我们可以直接让父亲点从子节点那里继承答案。
对于非重儿子的点，我们暴力合并链即可。
很显然，每条链只会被合并一次，因此复杂度是线性的。
复杂度：\(O(n)\)，可以通过本题。

Code

[算法学习] 长链剖分

标签：for   ant   算法学习   ems   codeforce   dice   最大的   时间复杂度   长度   

原文地址：https://www.cnblogs.com/wlzhouzhuan/p/12590088.html