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【最短路径】之Dijkstra算法
最短路径问题是图论研究中的一个经典算法问题,旨在寻找图(由结点和路径组成的)中两结点之间的最短路径。算法具体的形式包括:
用于解决最短路径问题的算法被称做“最短路径算法”,有时被简称作“路径算法”。最常用的路径算法有:
应用实例——计算机网络传输的问题:怎样找到一种最经济的方式,从一台计算机向网上所有其它计算机发送一条消息。
Dijkstra算法基本思想:每次找到离源点(如1号结点)最近的一个顶点,然后以该顶点为中心进行扩展,最终得到源点到其余所有点的最短路径。
基本步骤:
1,设置标记数组book[]:将所有的顶点分为两部分,已知最短路径的顶点集合P和未知最短路径的顶点集合Q,很显然最开始集合P只有源点一个顶点。book[i]
为1表示在集合P中;
2,设置最短路径数组dis[]并不断更新:初始状态下,令dis[i] = edge[s]i,很显然此时dst[s]=0
,book[s]=1
。此时,在集合\(Q\)中可选择一个离源点\(s\)最近的顶点\(u\)加入到\(P\)中。并依据以\(u\)为新的中心点,对每一条边进行松弛操作(松弛是指由结点\(s->j\)的途中可以经过点u,并令\(dst[j]=min{dst[j], dst[u]+edge[u][j]})\),并令book[u]=1
;
3,在集合Q中再次选择一个离源点s最近的顶点v加入到P中。并依据v为新的中心点,对每一条边进行松弛操作(即\(dst[j]=min{dst[j], dst[v]+edge[v][j]})\),并令book[v]=1
;
4,重复3,直至集合Q为空。
图示:
参考源程序:
以下是该算法不使用堆优化的一个C++实现
#include<iostream>
using namespace std;
int main()
{
int map[10][10], dis[10], book[10] = { 0 };
int inf = 999999, t1, t2, t3, n, m, min = inf;
cin >> n >> m;
//初始化map地图数组
for (int i = 1; i <= n; ++i)
for (int j = 1; j <= n; ++j)
if (i == j)map[i][j] = 0;
else map[i][j] = inf;
for (int i = 1; i <= m; ++i)
{
cin >> t1 >> t2 >> t3;
map[t1][t2] = t3;
}
for (int i = 1; i <= n; ++i)
dis[i] = map[1][i];
book[1] = 1;
//Dijkstra算法核心
int u;
for (int i = 1; i <= n-1; ++i)
{
min = inf;
//找到离1号顶点最近的顶点,u存储
for (int j = 1; j <= n; ++j)
{
if (book[j] == 0 && dis[j] < min)
{
min = dis[j];
u = j;
}
}
book[u] = 1;
for (int v = 1; v <= n; ++v)
{
if (map[u][v] < inf)
{
if (dis[v] > dis[u] + map[u][v])
dis[v] = dis[u] + map[u][v];
}
}
}
for (int i = 1; i <= n; ++i)
cout << dis[i] << " ";
cout << endl;
return 0;
}
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原文地址:https://www.cnblogs.com/RioTian/p/12597634.html