标签：高精度 微积分 无法 推出 pid 关系 角度 取值 建立
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PID算法是控制行业最经典、最简单、而又最能体现反馈控制思想的算法。对于一般的研发人员来说，设计和实现PID算法是完成自动控制系统的基本要求。这一算法虽然简单，但真正要实现好，却也需要下一定功夫。首先我们从PID算法最基本的原理开始分析和设计这一经典命题。
PID算法的执行流程是非常简单的，即利用反馈来检测偏差信号，并通过偏差信号来控制被控量。而控制器本身就是比例、积分、微分三个环节的加和。其功能框图如下：
根据上图我们考虑在某个特定的时刻t，此时输入量为rin(t)，输出量为rout(t)，于是偏差就可计算为err(t)=rin(t)-rout(t)。于是PID的基本控制规律就可以表示为如下公式：
其中Kp为比例带，TI为积分时间，TD为微分时间。PID控制的基本原理就是如此。
上一节简单介绍了PID算法的基本原理，但要在计算机上实现就必须将其离散化，接下来我们就说一说PID算法的离散化问题。在实现离散化之前，我们需要对比例、积分、微分的特性做一个简单的说明。
比例就是用来对系统的偏差进行反应，所以只要存在偏差，比例就会起作用。积分主要是用来消除静差，所谓静差就是指系统稳定后输入输出之间依然存在的差值，而积分就是通过偏差的累计来抵消系统的静差。而微分则是对偏差的变化趋势做出反应，根据偏差的变化趋势实现超前调节，提高反应速度。
在实现离散前，我们假设系统采样周期为T。假设我们检查第K个采样周期，很显然系统进行第K次采样。此时的偏差可以表示为err(K)=rin(K)-rout(K)，那么积分就可以表示为：err(K)+ err(K+1)+┈┈，而微分就可以表示为：(err(K)- err(K-1))/T。于是我们可以将第K次采样时，PID算法的离线形式表示为：
也可以记为：
这就是所谓的位置型PID算法的离散描述公式。我们知道还有一个增量型PID算法，那么接下来我们推到一下增量型PID算法的公式。
上面的公式描述了第k个采样周期的结果，那么前一时刻也就是k-1个采样周期就不难表示为：
那么我们再来说第K个采样周期的增量，很显然就是U(k)-U(k-1)。于是我们用第k个采样周期公式减去第k-1个采样周期的公式，就得到了增量型PID算法的表示公式：
当然，增量型PID必须记得一点，就是在记住U(k)=U(k-1)+?U(k)。
前面讲述并且实现了PID控制器，包括位置型PID控制器和增量型PID控制器。界限来我们对这两种类型的控制器的特点作一个简单的描述。
位置型PID控制器的基本特点：
增量型PID控制器的基本特点：
我们已经讲述了PID控制引入积分主要是为了消除静差，提高控制精度。但在过程的启动、结束或大幅度增减设定值时，短时间内系统输出有很大偏差，会造成PID运算的积分累积，引起超调或者振荡。为了解决这一干扰，人们引入了积分分离的思想。其思路是偏差值较大时，取消积分作用，以免于超调量增大；而偏差值较小时，引入积分作用，以便消除静差，提高控制精度。
具体的实现步骤是：根据实际情况，设定一个阈值；当偏差大于阈值时，消除积分仅用PD控制；当偏差小于等于阈值时，引入积分采用PID控制。则控制算法可表示为：
其中β称为积分开关系数，其取值范围为：
由上述表述及公式我们可以知道，积分分离算法的效果其实与ε值的选取有莫大关系，所以ε值的选取实际上是实现的难点，ε值过大则达不到积分分离的效果，而ε值过小则难以进入积分区，ε值的选取存在很大的主观因素。
对于经典的增量式PID算法，似乎没有办法由以上的公式推导而来，因为β随着err(k)的变化在不是修改着控制器的表达式。其实我们可以换一种角度考虑，每次系统调节未定后，偏差应该为零，然后只有当设定值改变时，系统才会响应而开始调节。设定值的改变实际上是一个阶跃变化，此时的控制输出记为U0，开始调节时，其调节增量其实与之前的一切没有关系。所以我们就可以以变化时刻开始为起点，而得到带积分分离的增量算法，以保证在启动、停止和快速变化时防止超调。公式如下：
其中β的取值与位置型PID算法一致。可能有人会担心偏差来回变化，造成积分作用的频繁分离和引入，进而使上述的增量表达式无法实现。其实我们分析一下就能发现，在开始时，由于设定值变化引起的偏差大而分离了积分作用，在接近设定值时，偏差变小就引入了积分，一边消除静差，而后处于稳态，直到下一次变化。
2、算法实现
这一部分，我们根据前面对其基本思想的描述，来实现基于积分分离的PID算法实现，同样是包括位置型和增量型两种实现方式。首先我们来看一下算法的实现过程，具体的流程图如下：
有上图我们知道，与普通的PID算法的区别，只是判断偏差的大小，偏差大时，为PD算法，偏差小时为PID算法。
3、总结
积分分离算法的思想非常简单。当然，对于β的取值，很多人提出了改进措施，例如分多段取值，设定多个阈值ε1、ε2、ε3、ε4等，不过这些阈值也需要根据实际的系统来设定。除了分段取值外，甚至也有采用函数关系来获取β值。当然，这样处理后就不再是简单的积分分离了，特别是在增量型算法中，实际上已经演变为一种变积分算法了。已经偏离了积分分离算法的设计思想，在后面我们会进一步说明。
1、抗积分饱和的基本思想
所谓积分饱和就是指系统存在一个方向的偏差，PID控制器的输出由于积分作用的不断累加而扩大，从而导致控制器输出不断增大超出正常范围进入饱和区。当系统出现反响的偏差时，需要首先从饱和区退出，而不能对反向的偏差进行快速的响应。
为了解决积分饱和的问题，人们引入了抗积分饱和的PID算法。所谓抗积分饱和算法，其思路是在计算U(k)的时候，先判断上一时刻的控制量U(k-1)是否已经超出了限制范围。若U(k-1)>Umax，则只累加负偏差；若U(k-1)<Umin，则只累加正偏差。从而避免控制量长时间停留在饱和区。
2、算法实现
抗积分饱和的思想很简单，解释在控制器输出的最大最小值附近限制积分的累积情况，以防止在恢复时没有响应。根据前面得分系我们可以得到如下的流程图：
3、总结
所谓抗积分饱和就是防止由于长期存在一个方向的偏差而对相反方向的偏差迟滞响应。本文的方法是在达到极值后将不再对这一方向的偏差做出反应相反只对另一方向的偏差做出反应。事实上由于偏差的存在有可能造成输出值超限的情况，所以还需要对输出值作出限制。
从微积分的基本原理看，积分的实现是在无限细分的情况下进行的矩形加和计算。但是在离散状态下，时间间隔已经足够大，矩形积分在某些时候显得精度要低了一些，于是梯形积分被提出来以提升积分精度。
1、梯形积分基本思路
在PID控制其中，积分项的作用是消除余差，为了尽量减小余差，应提高积分项的运算精度。在积分项中，默认是按矩形方式来计算积分，将矩形积分改为梯形积分可以提高运算精度。其计算公式为：
于是如果在位置型PID算法中引入梯形积分则可以修改计算公式如下：
同样要在增量型PID算法中引入梯形积分则可以修改计算公式如下：
2、算法实现
从微积分的角度来说，当微分分到无限小时，矩形积分与梯形积分是没有区别的。但事实上我们的采样时间不可能无限小，而且也不可能是连续的，那么采样周期越大，那么矩形近似于实际曲线间的偏差就越大，而梯形积分则可以更加接近实际曲线，所以采用梯形积分代替矩形积分就可以得到更高的精度。
3、总结
积分项的引入目的就是为了消除系统的余差，那么积分项的计算精度越高，对消除系统的余差就越有利。梯形积分相较于矩形积分其精度有比较大的提高，所以对消除余差也就越有效。
在普通的PID控制算法中，由于积分系数Ki是常数，所以在整个控制过程中，积分增量是不变的。然而，系统对于积分项的要求是，系统偏差大时，积分作用应该减弱甚至是全无，而在偏差小时，则应该加强。积分系数取大了会产生超调，甚至积分饱和，取小了又不能短时间内消除静差。因此，如何根据系统的偏差大小改变积分速度，对提高系统的品质是有必要的。变积分PID算法正好可以满足这一要求。
1、变积分的基本思想
变积分PID的基本思想是设法改变积分项的累加速度，使其与偏差大小相对应：偏差越大，积分越慢; 偏差越小，积分越快。设定系数为f(err(k))，它是err(k)的函数。当|err(k)|增大时，f减小，反之增大。变积分的PID积分项表达式为：
其中f(err(k))与|err(k)|的函数关系可根据具体情况设定，可以是线性的也可以是非线性的，通常比较简单的设置如下：
由以上公式可知，f(err(k))的值在[0,1]区间变化，当偏差值|err(k)|大于分离区间A+B时，不对当前偏差err(k)进行累加；当偏差值|err(k)|小于B时，加入当前偏差err(k)进行累加；介于B和A+B的区间时，按一定函数关系随err(k)变化。于是变积分PID算法可以表示为：
上述的f(err(k))函数只是我们列举的一种，事实上可以采取任何可行的方式，甚至是非线性函数，只要更符合控制对象的特性。
对于用增量型PID算法的变积分表示如下：
看到这个公式，很多人可能会发觉与前面的积分分离算法的公式很象。特别是在增量型算法中，它们的形式确实是一样的，但表达的意思确是有一定区别，那么我们来看看有什么不同呢？在后面我们再作总结。
2、算法实现
变积分实际上是通过对偏差的判断，让积分以不同的速度累计。这一系数介于0-1之间，可以通过多种方式实现，在这里我们按线性方式实现。变积分的控制流程图如下：
3、总结
变积分实际上有一定的专家经验在里面，因为限值的选取以及采用什么样的函数计算系数，有很大的灵活性。
我们在前面做了积分分离的算法，这次又说了变积分的算法。他们有相通的地方，也有不同的地方，下面对他们进行一些说明。
首先这两种算法的设计思想是有区别的。积分分离的思想是偏差较大时，取消积分；而偏差较小时引入积分。变积分的实现是想是设法改变积分项的累加速度，偏差大时减弱积分；而偏差小时强化积分。有些所谓改进型的积分分离算法实际已经脱离了积分分离的基本思想，而是动态改变积分系数。就这一点而言，特别是在增量型算法中，已经属于变积分的思想了。
其次，对于积分分离来说，该操作是针对整个积分项操作，这一点在位置型PID算法中，表现的尤为明显。而对于变积分来说，是针对当前偏差的积分累计，就是说只影响当前这次的积分部分。再者，具体的实现方式也存在区别，特别是在位置型PID方式下尤为明显。
我们在这里讨论它们的区别原因，佷显然就是我们没办法同时采用这两种优化方式，只能分别实现，在后面我们将实现基于积分项的优化。
从PID控制的基本原理我们知道，微分信号的引入可改善系统的动态特性，但也存在一个问题，那就是容易引进高频干扰，在偏差扰动突变时尤其显出微分项的不足。为了解决这个问题人们引入低通滤波方式来解决这一问题。
1、不完全微分的基本思想
微分项有引入高频干扰的风险，但若在控制算法中加入低通滤波器，则可使系统性能得到改善。方法之一就是在PID算法中加入一个一阶低通滤波器。这就是所谓的不完全微分，其结构图如下：
或者是另一种形式：
在这里我们考虑第一种结构形式。在这种情况下，微分与一阶惯性环节结合，其微分部分的计算公式可表示如下：
其中α的取值在0和1之间，有滤波常数和采样周期确定。据此我们将其增量化，则可以得到为不完全微分的增量计算公式：
或者表示为：
这两种表示方式是等价的，第二种表示法与我们的完全微分PID算法增量型式表示更接近，好理解。而且与位置型的表示法也更为一致，所以我们选择第二种表示法。
2、算法实现
经过前面的分析及公式推导，我们想要实现不完全微分其实已经相当容易了。为了便于理解，我们保持比例和积分为基本的格式，只对微分部分采用不完全微分算法。
3、总结
不完全微分方式在微分环节采用了低通滤波有效地提高了微分项的特性。其中α的取值是一个0~1之间的数。两个极限值，在0时其实就是没有滤波的普通微分环节；而取1时，则没有微分作用。所以α的取值对不完全微分的效果是至关重要的，一般要根据被控对象的特性来确定。
前面已经实现了各种的PID算法，然而在某些给定值频繁且大幅变化的场合，微分项常常会引起系统的振荡。为了适应这种给定值频繁变化的场合，人们设计了微分先行算法。
1、微分先行算法的思想
微分先行PID控制是只对输出量进行微分，而对给定指令不起微分作用，因此它适合于给定指令频繁升降的场合，可以避免指令的改变导致超调过大。微分先行的基本结构图：
根据上面的结构图，我们可以推出PID控制器的输出公式，比例和积分是不变的只是微分部分变为只对对象输出积分，记为y，我们对微分部分引入一阶惯性滤波：
，可记微分部分的传递函数如下：
于是微分部分可以推导出如下的公式：
前面我们在推导PID的公式时曾规定：Kd=Kp*Td/T，于是我们将其带入公式可得：
于是我们就可以得到微分先行的离散化公式：
这即是位置型PID的计算公式了，我们也可以使用前面的方法推导增量型的计算公式如下：
从上面的公式我们发现，微分部分只与测量值有关，而且与连续的几个测量值都有关。而与设定值没有关系，设定值的阶跃变化不会造成高频的干扰。
2、算法实现
前面我们已经简单的介绍了微分现行的基本结构，也推导了位置型以及增量型公式，接下来我们根据前面对其基本思想的描述，来实现基于微分先行的PID算法实现，同样是包括位置型和增量型两种实现方式。
3、总结
微分先行由于微分部分只对测量值起作用所以可以消除设定值突变的影响，还可以引入低通滤波，甚至在必要时将比例作用也可进行相应的改进。其实用于设定值会频繁改变的过程对象，防止设定值的频繁波动造成系统的不稳定。该控制对于改善系统的动态特性是有好处的，但势必影响响应的速度，需全面考虑。
在计算机控制系统中，由于系统特性和计算精度等问题，致使系统偏差总是存在，系统总是频繁动作不能稳定。为了解决这种情况，我们可以引入带死区的PID算法。
1、带死区PID的基本思想
带死区的PID控制算法就是检测偏差值，若是偏差值达到一定程度，就进行调节。若是偏差值较小，就认为没有偏差。用公式表示如下：
其中的死区值得选择需要根据具体对象认真考虑，因为该值太小就起不到作用，该值选取过大则可能造成大滞后。
带死区的PID算法，对无论位置型还是增量型的表达式没有影响，不过它是一个非线性系统。
除以上描述之外还有一个问题，在零点附近时，若偏差很小，进入死去后，偏差置0会造成积分消失，如是系统存在静差将不能消除，所以需要人为处理这一点。
2、算法实现
前面我们描述了带死区的PID控制的基本思想。在接下来我们来实现这一思想，同样是按位置型和增量型来分别实现。
3、总结
引入死区的主要目的是消除稳定点附近的波动，由于测量值的测量精度和干扰的影响，实际系统中测量值不会真正稳定在某一个具体的值，而与设定值之间总会存在偏差，而这一偏差并不是系统真实控制过程的反应，所以引入死区就能较好的消除这一点。
当然，死区的大小对系统的影响是不同的。太小可能达不到预期的效果，而太大则可能对系统的正常变化造成严重滞后，需要根据具体的系统对象来设定。
对于一般的时滞系统来说，设定值的变动会产生较大的滞后才能反映在被控变量上，从而产生合理的调节。而前馈控制系统是根据扰动或给定值的变化按补偿原理来工作的控制系统，其特点是当扰动产生后，被控变量还未变化以前，根据扰动作用的大小进行控制，以补偿扰动作用对被控变量的影响。前馈控制系统运用得当，可以使被控变量的扰动消灭在萌芽之中，使被控变量不会因扰动作用或给定值变化而产生偏差，它较之反馈控制能更加及时地进行控制，并且不受系统滞后的影响。
1、前馈控制基本思想
在高精度伺服控制中，前馈控制可用来提高系统的跟踪性能。经典控制理论中的前馈控制设计是基于复合控制思想的，当闭环系统为连续系统时，使前馈环节与闭环系统的传递函数之积为1，从而实现输出完全复现输入。其系统结构图如下：
从上图中，我们可以发现前馈环节的传递函数是被控对象的倒数。那么就是在使用前馈控制前我们需要对被控对象的模型有了解，才能有针对性的设计出合适的前馈控制器。也就说，每个系统的前馈控制器都是不一样的，每个前馈控制器都是专用的。
要实施前馈控制，首先我们必须得到被控系统的近似模型，这个模型越接近真实的系统，控制的效果就越明显。在这里我们假定一个被控对向的模型为：
那么前馈控制器是被控对象的倒数，于是我们可以推导出前馈控制器的输入输出表达式为：
我们将其离散化，就可以得到我们想要实现的前馈控制器的输出公式。前馈控制器的输入是设定值，所以表示如下：
2、算法实现
经过上面的分析我们可以实现一个前馈控制器，前馈控制器的输出与设定值当前值、前一拍的值以及前两拍的只有关。也就是说如果设定值长时间不变化，该前馈控制器是不起作用的。当然每一个前馈控制器都是不一样的。
3、总结
前馈控制器是一种补偿控制，或者说模型控制，其特点就是必须能得到被控对象的精确模型或者近似模型才能起到较好的控制效果。对于时滞系统的模型控制有很多方法，前馈控制是其中比较简单和应用较广的算法。
系统中存在频率高、幅度大、可测量而不可控的扰动时，可选用前馈控制。当控制系统控制通道滞后时间长、反馈控制又不能获得良好效果时，可选用前馈控制。
对于一般的PID控制系统来说，当设定值发生较大的突变时，很容易产生超调而使系统不稳定。为了解决这种阶跃变化造成的不利影响，人们发明了步进式PID控制算法。
1、步进式PID的基本思想
所谓步进式PID算法，实际就是在设定值发生阶跃变化时，不直接对阶跃信号进行响应，而是在一定的时间内逐步改变设定值，直至使设定值达到目标值。这种逐步改变设定值的办法使得对象运行平稳。适用于高精度伺服系统的位置跟踪。
佷显然，这一方法并未改变PID控制器本身，而是对设定值做了前期处理。所以其结构框图与控制方程与其他的PID控制算法是一致的。
为了对设定值做必要处理，以使其不知快速变化，有多种方法。比较常用的是建立线性变化函数的办法。我们可以规定设定值从0-100%的变化时间为T，则可以确定设定值变化的斜率绝对值，或者说是步长。知道补偿后，我们就可以根据不常来不断修改设定值，直到目标值。可用公式描述为：
其中SPt为设定值目标值，SPs为设定值的起始值，sl为步长，k为步长的变化系数：
而控制器本身的位置型和增量型表达式都保持不变。
2、算法实现
步进式PID的实质是将设定值的突变修改为平缓的变化，这一处理方式在控制中有大量应用。处理设定值变化过程的流程如下所示：
3、总结
所谓步进式实质是对设定值进行平缓变化处理，防止因为设定值的跳变而引起系统的波动。这一办法虽然能够减少阶跃跳变的干扰，但也会让系统的响应速度变慢，当然这要根据需要来处理，因为步长的选择决定了作用大小，补偿越小约平缓，相应的响应速度也越慢。
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