数据结构与算法之美_25_红黑树（上）：为什么工程中都用红黑树这种二叉树？

二叉查找树是最常用的一种二叉树，它支持快速插入、删除、查找操作，各个操作的时间复杂度跟树的高度成正比，理想情况下，时间复杂度是 O(logn)。

不过，二叉查找树在频繁的动态更新过程中，可能会出现数的高度远大于 log2^n 的情况，从而导致各个操作的效率下降。极端情况下，二叉树会退化为链表，时间复杂度会退化到 O(n)。要解决这个复杂度退化问题，就需要设计一种平衡二叉查找树，也就是我们今天讲的这种数据结构。

在工程中，很多用到平衡二叉查找树的地方都会用红黑树。为什么呢？

什么是“平衡二叉查找树”？

平衡二叉树的严格定义是：二叉树中的任意一个节点的左右子树的高度相差不能大于 1。

从这个定义上看，完全二叉树、满二叉树其实都是平衡二叉树，但是非完全二叉树也有可能是平衡二叉树。

平衡二叉查找树不仅满足上面平衡二叉树的定义，还满足二叉查找树的特点。最先被发明的平衡二叉查找树是 AVL 树，它严格符合平衡二叉树的定义，即任何节点的左右子树的高度相差不超过 1，是一种高度平衡的二叉查找树。

但是很多平衡二叉查找树其实并没有严格符合上面的定义，比如红黑树，它从根节点到各个叶子节点的最长路径，有可能会比最短路径大一倍。

对于平衡二叉查找树的概念，我们要从这个数据结构的由来，去理解“平衡”的意思。

发明平衡二叉查找树这类数据结构的初衷是，解决平通二叉查找树在频繁的插入、删除等动态更新的情况下，出现时间复杂度退化的问题。

所以，平衡二叉树中“平衡”的意思，其实就是让整棵树左右看起来比较“对称”、比较“平衡”，不要出现左子树很高、右子树很低的情况。这样就能让整棵树的高度相对来说低一些，相应的插入、删除、查找等操作的效率高一些。

所以，如果我们现在设计一个新的平衡二叉查找树，只要树的高度不比 log2^n 大很多（比如树的高度仍然是对数量级的），尽管它不符合我们前面讲的严格的平衡二叉查找树的定义，但是仍然可以说，这是一个合格的平衡二叉查找树。

如何定义一棵“红黑树”？

平衡二叉查找树有很多，比如 Splay Tree（伸展树）、Treap（树堆）等，但是我们提到平衡二叉查找树，听到的基本上都是红黑树。

红黑树英文是“Red-Black Tree”，简称 R-B Tree。它是一种不严格的平衡二叉查找树。

红黑树中的节点，一类被标记为黑色，一类被标记为红色。除此之外，一棵红黑树还要满足一下几个要求：

• 根节点是黑色的；
• 每个叶子节点都是黑色的空节点（NIL），即叶子节点不存储数据；
• 任何相邻的节点都不能同时为红色，即红色节点是被黑色节点隔开的；
• 每个节点，从该节点到达其可达叶子节点的所有路径，都包含相同数目的黑色节点；

这里的第二点要求“叶子节点都是黑色的空节点”，它主要是为了简化红黑树的代码实现而设置的，下一节会讲到。这一节我们暂时不考虑这一点，所以，在画图和讲解时，将黑色的、空的叶子节点都省略掉了。

为什么说红黑树是“近似平衡”的？

平衡二叉查找树的初衷，是为了解决二叉查找树因为动态更新导致的性能退化问题。所以，“平衡”的意思可以等价为性能不退化。“近似平衡”就等价为性能不会退化的太严重。

二叉查找树很多操作的性能都跟树的高度成正比。一棵极其平衡的二叉树（满二叉树或完全二叉树）的高度大约是 log2^n，所以如果要证明红黑树是近似平衡的，只需要分析，红黑树的高度是否比较稳定地趋近 log2^n 就好了。

首先，如果将红色节点从红黑树中去掉，那单纯包含黑色节点的红黑树的高度是的多少呢？

红色节点删除之后，有些节点就没有父节点了，它们会直接这些节点的祖父节点（父节点的父节点）作为父节点。所以，之前的二叉树就变成了四叉树。

红黑树的定义中有一条：从任意节点到可达的叶子节点的每个路径包含相同数目的黑色节点。我们从四叉树中取出某些节点，放到叶子节点位置，四叉树就变成了完全二叉树。所以，仅包含黑色节点的四叉树的高度，比包含相同节点个数的完全二叉树的高度还要小。

完全二叉树的高度近似 log2^n，这里的四叉“黑树”的高度要低于完全二叉树，所以，去掉红色节点的“黑树”的高度也不会超过 log2^n。

现在，我们知道了只包含黑色节点的“黑树”的高度，那我们现在把红色节点加回去。

在红黑树中，红色节点不能相邻，即有一个红色节点就要至少有一个黑色节点，将它跟其他红色节点隔开。红黑树中包含最多黑色的路径不会超过 log2^n，所以加入红色节点之后，最长路径不会超过 2log2^n，也就是说，红黑树的高度近似 2log2^n。

所以，红黑树的高度只比高度平衡的 AVL 树的高度 log2^n 仅仅大了一倍，在性能上，下降得并不多。这样推导出来的结果不够精确，实际上红黑树的性能更好。

解决开篇

为什么在工程中大家都喜欢用红黑树这种平衡二叉查找树？

前面提到过的 Treap、Splay Tree，绝大部分情况下，它们操作的效率都很高，但是也无法避免极端情况下时间复杂度的退化。尽管这种情况出现的概率不大，但是对于单次操作时间非常敏感的场景来说，它们并不适用。

AVL 树是一种高度平衡的二叉树，所以查找的效率非常高，但是，有利就有弊，AVL 树为了维护这种高度的平衡，就付出很多的代价。每次插入、删除都要做调整，比较复杂、耗时。所以，对于有频繁的插入、删除操作的数据集合，使用 AVL 树的代价就有点高了。

红黑色知识做到了近似平衡，并不是严格的平衡，所以在维护平衡的成本上，要比 AVL 树要低。

所以，红黑树的插入、删除、查找各种操作性能都比较稳定。对于工程应用来说，要面对各种异常情况，为了支撑这种工业级的应用，我们更倾向于这种性能稳定的平衡二叉查找树。

内容小结

红黑树是一种最难掌握的一种数据结构，最难的是它的实现。

关于红黑树，我们要掌握学习它的由来、特性、使用的场景以及它能解决的问题。

红黑树是一种平衡二叉查找树。它是为了解决普通二叉查找树在数据更新的过程中，复杂度退化的问题而产生的。红黑树的高度近似 log2^n，所以它是近似平衡，插入、删除、查找操作的时间复杂度都是 O(logn)。

因为红黑树是一种性能非常稳定的二叉查找树，所以，在工程中，但凡是用到动态插入、删除、查找数据的场景，都可以用到它。不过，它实现起来比较复杂，自己实现难度会有些高，这时候，我们其实更加倾向于用跳表来代替它。

课后思考

动态数据结构支持动态地数据插入、删除、查找操作，除了红黑树，我们前面还学习过哪些呢？能对比下各自的优势、劣势、以及应用场景吗？

> 动态数据结构是支持动态的更新操作，里面存储的数据是时刻在变化的，通俗一点讲，它不仅仅支持查询，还支持删除、插入数据。而且，这些操作都非常高效。如果不高效，也就算不上是有效的动态数据结构了。

答：