算法分析四：动态规划

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一.动态规划基本结构

二.典型例题

2.1　　矩阵链

问题：给定一个n个矩阵的矩阵链，矩阵的维度为 (1 ≤ i ≤ n)，求一个最优的加括号方案，使得计算矩阵乘积所需要的标量乘法次数最少。

解法：1.穷举法:

　　　　定义T(N)是顺序的个数，则T(N)=Σ（i=1,N-1）T(i)T(N-i),有catalan数可知，该数呈指数增长。（过于繁杂舍去）

　　　2.动态规划法：

　　　　下面用动态规划方法来求解矩阵链的最优括号方案，我们还是按照之前提出的4个步骤进行：

　　　　1.刻画一个最优解的结构特征

　　　　2.递归地定义最优解的值

　　　　3.计算最优解的值，通常采用自底向上的方法

　　　　4.利用计算出的信息构造一个最优解接下来按顺序进行这几个步骤，清楚地展示针对本问题每个步骤应如何做。

步骤1：最优括号化方案的最优解结构

动态规划的第一步是寻找最优子结构，然后就可以利用这种子结构从子问题的最优解构造出原问题的最优解。在矩阵链乘法问题中，我们假设A(i)A(i+1)...A(j)的最优括号方案的分割点在A(k)和A(k+1)之间。                    那么，继续对“前缀”子链A(i)A(i+1)..A(k)进行括号化时，我们应该直接采用独立求解它时所得的最优方案。

我们已经看到，一个非平凡(i≠j)的矩阵链乘法问题实例的任何解都需要划分链，而任何最优解都是由子问题实例的最优解构成的。为了构造一个矩阵链乘法问题实例的最优解，我们可以将问题划分为两                    个子问题(A(i)A(i+1)...A(k)和A(k+1)A(k+2)..A(j)的最优括号化问题)，求出子问题实例的最优解，然后将子问题的最优解组合起来。我们必须保证在确定分割点时，已经考察了所有可能的划分点，这样就可保                      证不会遗漏最优解。

步骤2：一个递归求解方案
下面用子问题的最优解来递归地定义原问题最优解的代价。对于矩阵链乘法问题，我们可以将对所有1<=i<=j<=n确定A(i)A(i+1)...A(j)的最小代价括号化方案作为子问题。令m[i,j]表示计算矩阵A(i..j)所需标量乘法次数的最小值，那么，原问题的最优解—计算A(1..n)所需的最低代价就是m[1,n]。
我们可以递归定义m[i,j]如下。对于i=j时的平凡问题，矩阵链只包含唯一的矩阵A(i..j)=A(i)，因此不需要做任何标量乘法运算。所以，对所有i=1,2,...,n，m[i,i]=0。若i<j，我们利用步骤1中得到的最优子结构来计算m[i,j]。我们假设A(i)A(i+1)...A(j)的最优括号化方案的分割点在矩阵A(k)和A(k+1)之间，其中i<=k<j。那么，m[i,j]就等于计算A(i..k)和A(k+1..j)的代价加上两者相乘的代价的最小值。由于矩阵Ai的大小为p(i-1)*pi，易知A(i..k)和A(k+1..j)相乘的代价为p(i-1)p(k)p(j)次标量乘法运算。因此，我们得到  m[i,j]=m[i,k]+m[k+1,j]+ p(i-1)p(k)p(j)
此递归公式假定最优分割点k是已知的，但实际上我们是不知道。不过，k只有j-i种可能的取值，即k=i,i+1,...,j-1。由于最优分割点必在其中，我们只需检查所有可能情况，找到最优者即可。
因此，A(i)A(i+1)...A(j)的最小代价括号化方案的递归求解公式变为：

①如果i=j，m[i,j]=0
②如果i<j，m[i,j]=min{m[i,k]+m[k+1,j]+p(i-1)p(k)p(j)} i<=k<j
m[i,j]的值给出了子问题最优解的代价，但它并未提供足够的信息来构造最优解。为此，我们用s[i,j]保存最优括号化方案的分割点位置k，即使得m[i,j]=m[i,k]+[k+1,j]+p(i-1)p(k)p(j)成立的k值。

步骤3：计算最优代价
现在，我们可以很容易地基于递归公式写出一个递归算法，但递归算法是指数时间的，并不必检查若有括号化方案的暴力搜索方法更好。注意到，我们需要求解的不同子问题的数目是相对较少的：每对满足1<=i<=j<=n 的i和j对应一个唯一的子问题，共有n^2(最少)。递归算法会在递归调用树的不同分支中多次遇到同一个子问题。这种子问题重叠的性质是应用动态规划的另一标识(第一个标识是最优子结构)。
我们采用自底向上表格法代替递归算法来计算最优代价。此过程假定矩阵Ai的规模为p(i-1)×pi(i=1,2,...,n)。它的输入是一个序列p=<p0,p1,...,pn>，其长度为p.length=n+1。过程用一个辅助表m[1..n,1..n]来保存代价m[i,j]，用另一个辅助表s[1..n-1,2..n](s[1,2]..s[n-1,n]这里i<j)记录最优值m[i,j]对应的分割点k。我们就可以利用表s构造最优解。
对于矩阵A(i)A(i+1)...A(j)最优括号化的子问题，我们认为其规模为链的长度j-i+1。因为j-i+1个矩阵链相乘的最优计算代价m[i,j]只依赖于那么少于j-i+1个矩阵链相乘的最优计算代价。因此，算法应该按长度递增的顺序求解矩阵链括号化问题，并按对应的顺序填写表m。

 n=6和矩阵规模如下表时，MATRIX_CHAIN_ORDER计算出m表和s表

 6个矩阵相乘所需的最少标量乘法运算次数为m[1,6]=15125。表中有些表项被标记了深色阴影，相同的阴影表示在第13行中计算m[2,5]时同时访问了这些表项：

步骤4：构造最优解
虽然MATRIX_CHAIN_ORDER求出了计算矩阵链乘积所需的最少标量乘法运算次数，但它并未直接指出如何进行这种最优代价的矩阵链乘法计算。表s[i,j]记录了一个k值，指出A(i)A(i+1)...A(j)的最优括号化方案的分割点应在A(k)和A(k+1)之间。
因此，我们A(1..n)的最优计算方案中最后一次矩阵乘法运算应该是以s[1,n]为分界的A(1..s[1,n])*A(s[1,n]+1..n)。我们可以用相同的方法递归地求出更早的矩阵乘法的具体计算过程，因为s[1,s[1,n]]指出了计算A(1..s[1,n])时应进行的最后一次矩阵乘法运行；s[s[1,n]+1,n]指出了计算A(s[1,n]+1..n)时应进行的最后一次矩阵乘法运算。

2.3　　找零钱

问题：假设只有 1 分、 2 分、五分、 1 角、二角、 五角、 1 元的硬币。在超市结账时，如果需要找零钱，收银员希望将最少的硬币数找给顾客。那么，给定需要找的零钱数目，如何求得最少的硬币数呢？

解法：1.贪心算法：（实际上并不成立）：贪心算法要依靠贪心性质

　　例如： 1  80 60    目标：160  显然贪心性质不成立。

　　　2.动态规划：

　　        应用动态规划方法我们还是按照之前提出的4个步骤进行：

　　　　1.刻画一个最优解的结构特征

　　　　2.递归地定义最优解的值

　　　　3.计算最优解的值，通常采用自底向上的方法

　　　　4.利用计算出的信息构造一个最优解接下来按顺序进行这几个步骤，清楚地展示针对本问题每个步骤应如何做。

步骤1：最优方案的最优结构

　　假设有 a,b,c,d四种币值的零钱，现在要找的钱数为N:

　　我们的思路是：a,b,c,d中的一种凑N,或者其中的两种凑N,或者其中的三种凑N，或者四种凑N.

　　即定义函数 F(k,y)表示前K种零钱币值达到y所要的最少数目

步骤2：一个递归求解方案
　　F(k,y)怎样求呢？ 我们不妨为他找个帮手以F(4,100)为例，我们可以找到F(3,100)与F(4,100-v4*n)+n,将两个函数进行对比选取较小的那一个。由此可知，

　　F(k,y)= min(F(k-1,y),F(k,vk*n)+n);

步骤3：计算最优代价

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　F(n) = O(n.M).O(1) 

步骤4：构造最优解

　　如步骤三种求出“最优解”

2.4　　最长子序列

问题：字符序列的子序列是指从给定字符序列中随意地（不一定连续）去掉若干个字符（可能一个也不去掉）后所形成的字符序列。令给定的字符序列X=“x0，x1，…，xm-1”，序列Y=“y0，y1，…，yk-1”是X的子序列，存在X的一个严格递增下标序列<i0，i1，…，ik-1>，使得对所有的j=0，1，…，k-1，有xij=yj。例如，X=“ABCBDAB”，Y=“BCDB”是X的一个子序列。

解法：

步骤1：最优方案的最优结构

     考虑最长公共子序列问题如何分解成子问题，设A=“a0，a1，…，am-1”，B=“b0，b1，…，bm-1”，并Z=“z0，z1，…，zk-1”为它们的最长公共子序列。不难证明有以下性质：

（1） 如果am-1=bn-1，则zk-1=am-1=bn-1，且“z0，z1，…，zk-2”是“a0，a1，…，am-2”和“b0，b1，…，bn-2”的一个最长公共子序列；

（2） 如果am-1!=bn-1，则若zk-1!=am-1，蕴涵“z0，z1，…，zk-1”是“a0，a1，…，am-2”和“b0，b1，…，bn-1”的一个最长公共子序列；

（3） 如果am-1!=bn-1，则若zk-1!=bn-1，蕴涵“z0，z1，…，zk-1”是“a0，a1，…，am-1”和“b0，b1，…，bn-2”的一个最长公共子序列。

这样，在找A和B的公共子序列时，如有am-1=bn-1，则进一步解决一个子问题，找“a0，a1，…，am-2”和“b0，b1，…，bm-2”的一个最长公共子序列；如果am-1!=bn-1，则要解决两个子问题，找出“a0，a1，…，am-2”和“b0，b1，…，bn-1”的一个最长公共子序列和找出“a0，a1，…，am-1”和“b0，b1，…，bn-2”的一个最长公共子序列，再取两者中较长者作为A和B的最长公共子序列。

引进一个二维数组c[][]，用c[i][j]记录X[i]与Y[j] 的LCS 的长度，b[i][j]记录c[i][j]是通过哪一个子问题的值求得的，以决定搜索的方向。
我们是自底向上进行递推计算，那么在计算c[i,j]之前，c[i-1][j-1]，c[i-1][j]与c[i][j-1]均已计算出来。此时我们根据X[i] = Y[j]还是X[i] != Y[j]，就可以计算出c[i][j]。

步骤2：一个递归求解方案

引进一个二维数组c[][]，用c[i][j]记录X[i]与Y[j] 的LCS 的长度，b[i][j]记录c[i][j]是通过哪一个子问题的值求得的，以决定搜索的方向。
我们是自底向上进行递推计算，那么在计算c[i,j]之前，c[i-1][j-1]，c[i-1][j]与c[i][j-1]均已计算出来。此时我们根据X[i] = Y[j]还是X[i] != Y[j]，就可以计算出c[i][j]。

问题的递归式写成：

步骤3：计算最优代价

回溯输出最长公共子序列过程：

算法分析：
由于每次调用至少向上或向左（或向上向左同时）移动一步，故最多调用(m + n)次就会遇到i = 0或j = 0的情况，此时开始返回。返回时与递归调用时方向相反，步数相同，故算法时间复杂度为Θ(m + n)。

步骤4：构造最优解

利用步骤三中的图，从右下角开始寻找。

2.5　　“0”“1”背包

问题：给定n中物品和一个背包，物品i的重量为wi，体积为ci，价值为vi， 如何选择装入背包的物品，使得装入背包的物品总价值最大？

解法：

在解决问题之前，为描述方便，首先定义一些变量：Vi表示第 i 个物品的价值，Wi表示第 i 个物品的体积，定义V(i,j)：当前背包容量 j，前 i 个物品最佳组合对应的价值，同时背包问题抽象化（X1，X2，…，Xn，其中 Xi 取0或1，表示第 i 个物品选或不选）。

1、建立模型，即求max(V1X1+V2X2+…+VnXn)；

2、寻找约束条件，W1X1+W2X2+…+WnXn<capacity；

3、寻找递推关系式，面对当前商品有两种可能性：

包的容量比该商品体积小，装不下，此时的价值与前i-1个的价值是一样的，即V(i,j)=V(i-1,j)；
还有足够的容量可以装该商品，但装了也不一定达到当前最优价值，所以在装与不装之间选择最优的一个，即V(i,j)=max｛V(i-1,j)，V(i-1,j-w(i))+v(i)｝。
其中V(i-1,j)表示不装，V(i-1,j-w(i))+v(i) 表示装了第i个商品，背包容量减少w(i)，但价值增加了v(i)；

由此可以得出递推关系式：

j<w(i) V(i,j)=V(i-1,j)
j>=w(i) V(i,j)=max｛V(i-1,j)，V(i-1,j-w(i))+v(i)｝
这里需要解释一下，为什么能装的情况下，需要这样求解（这才是本问题的关键所在！）：

可以这么理解，如果要到达V(i,j)这一个状态有几种方式？

肯定是两种，第一种是第i件商品没有装进去，第二种是第i件商品装进去了。没有装进去很好理解，就是V(i-1,j)；装进去了怎么理解呢？如果装进去第i件商品，那么装入之前是什么状态，肯定是V(i-1,j-w(i))。由于最优性原理（上文讲到），V(i-1,j-w(i))就是前面决策造成的一种状态，后面的决策就要构成最优策略。两种情况进行比较，得出最优。

4、填表

算法分析四：动态规划

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