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树状数组
一、 引言
解题过程中，我们有时需要维护一个数组的前缀和S[i]=A[1]+A[2]+A[3]+A[4]+…+A[i]。
但是不难发现，如果我们修改了一个 A[i], S[i]、S[i+1]…S[n]都会发生变化。
可以说，每次修改 A[i]后，调整前缀和 S 在最坏的情况下会需要 O(n)的时间。
当 n 非常大时，程序会运行得非常慢。因此，这里我们引入“树状数组”，它的修改与求和都是 O(logn), 效率非常高。
二、 基本思想
根据任意正整数关于 2 的不重复次幂的唯一分解性质，若一个正整数 x 的二进制表示为 10101，
其中等于 1 的为是 0,2,4，则正整数 x 可以被“二进制分解”成 2^4+2^2+2^0。
进一步地，区间[1, x]可以分成 O(logx)个小区间：
· 长度为 2^4 的小区间[1, 2^4]
· 长度为 2^2 的小区间[2^4+1, 2^4+2^2]
· 长度为 2^0 的小区间[2^4+2^2+1, 2^4+2^2+2^0]
树状数组就是一种基于上述思想的数据结构，其基本用途是维护序列的前缀和。
对于区间[1, x], 树状数组将其分为 logx 个子区间，从而满足快速询问区间和。
三、 基本算法
由上文可知，这些子区间的共同特点是：
若区间结尾为 R,则区间长度就等于 R 的“二进制分解”下最小的 2 的次幂，我们设为 lowbit(R)。
对于给定的序列A,我们建立一个数组c,其中c[x]保存序列A的区间[x-lowbit(x)+1,x]中所有数的和。
树状数组叶子结点代表 A 数组 A[1]~A[8]
变形一下：
现在定义每一列的顶端结点 C[]数组
C[i]代表子树的叶子结点的权值之和 // 这里以求和举例
如图可以知道：
C[1]=A[1];
C[2]=A[1]+A[2];
C[3]=A[3];
C[4]=A[1]+A[2]+A[3]+A[4];
C[5]=A[5];
C[6]=A[5]+A[6];
C[7]=A[7];
C[8]=A[1]+A[2]+A[3]+A[4]+A[5]+A[6]+A[7]+A[8];
下面观察如下图：
将C[]数组的结点序号转化为二进制：
1=(001) C[1]=A[1];
2=(010) C[2]=A[1]+A[2];
3=(011) C[3]=A[3];
4=(100) C[4]=A[1]+A[2]+A[3]+A[4];
5=(101) C[5]=A[5];
6=(110) C[6]=A[5]+A[6];
7=(111) C[7]=A[7];
8=(1000) C[8]=A[1]+A[2]+A[3]+A[4]+A[5]+A[6]+A[7]+A[8];
对照式子可以发现 C[i]=A[i-2^k+1]+A[i-2^k+2]+......A[i]; （k 为 i 的二进制中从最
低位到高位连续零的长度）例如 i=8 时，k=3;
可以自行带入验证;
现在引入 lowbit(x)
lowbit(x) 其实就是取出 x 的最低位 1 换言之 lowbit(x)=2^k k 的含义与上面相同 理解一下
下面说代码
1 int lowbit(int t) { return t&(-t); }
2 //-t 代表 t 的负数，计算机中负数使用补码来表示
3 //例如 : // t=6（0110） 此时 k=1
4 //-t=-6=(1001+1)=(1010)
5 // t&(-t)=(0010)=2=2^1
C[i]=A[i-2^k+1]+A[i-2^k+2]+......A[i];
C[i]=A[i-lowbit(i)+1]+A[i-lowbit(i)+2]+......A[i];
四、区间查询
下面利用 C[i]数组，求 A 数组中前 i 项的和
举个例子 i=7;
sum[7]=A[1]+A[2]+A[3]+A[4]+A[5]+A[6]+A[7] ; 前 i 项和
C[4]=A[1]+A[2]+A[3]+A[4]; C[6]=A[5]+A[6]; C[7]=A[7];
可以推出: sum[7]=C[4]+C[6]+C[7];
序号写为二进制: sum[(111)]=C[(100)]+C[(110)]+C[(111)];
再举个例子 i=5
sum[5]=A[1]+A[2]+A[3]+A[4]+A[5] ; 前 i 项和
C[4]=A[1]+A[2]+A[3]+A[4]; C[5]=A[5];
可以推出: sum[5]=C[4]+C[5];
序号写为二进制: sum[(101)]=C[(100)]+C[(101)];
仔细观察二进制 树状数组其实就是二进制的应用
结合代码
1 int getsSum(int x)
2 {
3 int ans=0;
4 for(int i=x;i>0;i-=lowbit(i))
5 ans+=C[i];
6 return ans;
7 }
对于 i=7 进行演示
7(111) ans+=C[7]
lowbit(7)=001 7-lowbit(7)=6(110) ans+=C[6]
lowbit(6)=010 6-lowbit(6)=4(100) ans+=C[4]
lowbit(4)=100 4-lowbit(4)=0(000)
对于 i=5 进行演示
5(101) ans+=C[5]
lowbit(5)=001 5-lowbit(5)=4(100) ans+=C[4]
lowbit(4)=100 4-lowbit(4)=0(000)
五、单点更新
当我们修改 A[]数组中的某一个值时 应当如何更新 C[]数组呢？
回想一下区间查询的过程，再看一下上文中列出的图
结合代码分析
1 void update(int x,int y)
2 {
3 for(int i=x;i<=n;i+=lowbit(i))
4 C[i]+=y;
5 }
6 //可以发现 更新过程是查询过程的逆过程
7 //由叶子结点向上更新 C[]数组
如图：
当更新 A[1]时 需要向上更新 C[1] ,C[2],C[4],C[8]
写为二进制 C[(001)],C[(010)],C[(100)],C[(1000)]
1(001) C[1]+=A[1]
lowbit(1)=001 1+lowbit(1)=2(010) C[2]+=A[1]
lowbit(2)=010 2+lowbit(2)=4(100) C[4]+=A[1]
lowbit(4)=100 4+lowbit(4)=8(1000) C[8]+=A[1]
六、注意事项
要注意树状数组能处理的是下标为 1…n 的数组，绝对不能出现下标为 0 的情况。
因为lowbit(0)=0，这样会陷入死循环。
七、例题练习
【例 1】#130. 树状数组 1 ：单点修改，区间查询
https://loj.ac/problem/130
【例 2】#10114. 「一本通 4.1 例 2」数星星 Stars
https://loj.ac/problem/10114
【例 3】#10115. 「一本通 4.1 例 3」校门外的树
https://loj.ac/problem/10115
八、小结
在线性数据结构方面，树状数组与线段树异曲同工，
其优点在于算法时间复杂度低，并且可以大幅度降低程序调试难度，为选手节省时间。
但树状数组的使用条件要求更加严格。
它只能处理修改树状数组某一个点的数据，并不能有效处理修改一个区间的数据。
不过，对于某些题目，可以对其进行转化，将区间修改的操作转化为端点修改的操作。
总之，能用树状数组求解的题目，一定能用线段树求解，
但能用线段树求解的题目，不一定能用树状数组求解。
树状数组详解
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原文地址：https://www.cnblogs.com/jasonownblog/p/12877036.html
