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题目

解题

看到这种求全局最值+状态转移的题目，就想到了动态规划。

给出的数组为dungeon，我自设的数组为dp保存每个位置的最低可存活健康值。

一开始想到了从起点开始动态规划，类似贪心算法求最优路径，举个栗子：

dp[0][0]时的最低健康值为3（因为任何时候不可降至0及以下，至少为3才能在-2后仍大于0）；

dp[1][0]，只能从上侧来，因此dp[0][0]-dungeon[1][0]=3-(-5)=8（在这个格子的时候至少为8，才能经得住-5这样的消耗，且保证上个格子的时候也是活着的）；

dp[2][0]时，只能从上侧来，因此为8-10=-2小于0了，该格子可提供的健康值大于上一步时的最低可存活健康值了，如果dp[2][0]=dp[1][0]，那么如果后续格子有需要大量消耗的话，明明前面提供的健康值能补充上使用，可是dp[2][0]=dp[1][0]+dungeon[2][0]的话，后面的格子如果都没有消耗了，那么dp[2][0]就没有加上这么多健康值，这个问题就是无后效性问题，没办法预见后面的情况。

像这种前面的决策会影响到后面的情况，就可以使用从后往前的办法动态规划。

 1 public int calculateMinimumHP(int[][] dungeon) {
 2         int row=dungeon.length;
 3         int col=dungeon[0].length;
 4         //这个数组表示在i,j位置骑士需要的最小生命值
 5         int[][] dp=new int[row][col];
 6         for(int i=row-1;i>=0;i--){
 7             for(int j=col-1;j>=0;j--){
 8                 if(i==row-1&&j==col-1){ //终点的情况
 9                     dp[i][j]=Math.max(1, 1-dungeon[i][j]);
10                 }else if(i==row-1){ //最后一行的情况
11                     dp[i][j]=Math.max(1, dp[i][j+1]-dungeon[i][j]);
12                 }else if(j==col-1){ //最后一列的情况
13                     dp[i][j]=Math.max(1, dp[i+1][j]-dungeon[i][j]);
14                 }else{    
15                     dp[i][j]=Math.max(1, Math.min(dp[i+1][j],dp[i][j+1])-dungeon[i][j]);
16                 }
17             }
18         }
19         return dp[0][0];
20     }

解释一下几个式子：

在终点时：

dp[i][j]=Math.max(1, 1-dungeon[i][j]);如果dungeon>1，说明终点位置能提供给骑士健康值让骑士，那么刚到这个位置时骑士保证自己活着就行了，dp为1；如果dungeon=0或<0，则终点不能提供给骑士生命，甚至还要消耗生命，那么骑士不仅要活着到这个位置，还要经得住在这个位置上的消耗，则为1-dungeon，例如dungeon为-9的话那么骑士的健康值至少为10.

最后一行和最后一列：

最后一行时骑士只能从右边走过来，骑士保存着上一步（从终点方向来的）的健康值，

①如果当前位置为负，则dp[i][j]=dp[i][j+1]-dungeon[i][j]，也就是准备上将要被耗掉的健康值才能保证骑士活着，

②如果当前位置为0，则dp[i][j+1]-dungeon[i][j]=dp[i][j+1]，骑士保持上一步的健康值就能活，

③如果当前位置为正，说明当前位置能提供给骑士健康值，dp[i][j+1]-dungeon[i][j]>=1时当前位置虽然能提供一些但是不能提供所有dp[i][j+1]需要的，dp[i][j+1]-dungeon[i][j]<1时当前位置能提供所有所需的健康值，即dp[i][j+1]需要的可以完全从dp[i][j]获取，骑士只需要准备1的健康值让自己活着就好，之后再到终点都不必担心。最后一列时骑士只能从下面走过来，情况类似。

其它一般情况：

每个位置都可以从右边和下边走来，因此比较右边和下边位置的dp值取最小的路走，减去dungeon，若大于1说明当前位置要消耗健康值或者能提供少量健康值，若小于1说明当前位置能提供非常多的健康值则取1即可。

【算法】地下城与勇士

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原文地址：https://www.cnblogs.com/zhangmora/p/12950594.html