普及常见图论算法整理

标签：强连通分量   bre   while   als   割边   作用   ade   节点   为什么   

约定

我是怎么存图的呢？ 普通的邻接表。

const int N = 1e5+15; // 点数 
const int M = 1e6+15; // 边数 
int ct,hd[N],nt[M<<1],vr[M<<1],vl[M<<1];
void ad(int a,int b,int c) { // 加一条 e = a->b, w(e)=c 的有向边 e
	vr[++ct]=b,vl[ct]=c;
	nt[ct]=hd[a],hd[a]=ct;
}

一般连通无向图的信息、操作

遍历

遍历嘛……

bool inq[N];
inline void prev(int x) { inq[x]=true;  }
inline void posv(int x) { inq[x]=false; }
void dfs(int x) {
	prev(x); //第一次访问时做点啥 
	for(int i=hd[x];i;i=nt[i]) {
		int y=vr[i];
		if(!inq[y]) dfs(y);
	}
	posv(x); //回溯时也总要做点啥 
	return;
} 

联通块

加点东西就行了， 使用的时候调用

for(int i=1;i<=n;++i)if(!col[i]) {
		++tot; dfs(i);
}

即可

int tot, col[N];
bool inq[N];
inline void prev(int x) { inq[x]=true; col[x]=tot;  }
inline void posv(int x) { inq[x]=false; }
void dfs(int x) {
	prev(x);
	for(int i=hd[x];i;i=nt[i]) {
		int y=vr[i];
		if(!inq[y]) dfs(y);
	}
	posv(x);
	return;
} 

二分图判定

没有奇环（环上节点数为奇数的环）就是二分图了， 具体可以对图二染色（对节点黑白染色，使得每个节点的相邻节点与其不同色）， 看是否可以不矛盾地染完色。
使用时调用

col[1]=1, ans= dfs(1);

即可

int col[N];
bool dfs(int x) {
	for(int i=hd[x];i;i=nt[i]) {
		int y=vr[i];
		if(col[x] == col[y]) return false;
		if(!col[y]) {
			col[y]=3-col[x];
			if(!dfs(y)) return false;
		}
	}
	return true;
} 

割点割边

不想盗图。
在 \(dfs\) 过程中， 经过的边构成了一棵树，叫 dfs树。在dfs树上的边就叫 树边， 剩下的边叫 返祖边（其实叫 反向边 (back edge)）。

割点的判定方法
树根 ： 子节点数 \(\ge 2\) 时， 树根为割点。
非根 ： 设此节点 \(u\) 在 dfs树 上存在一子节点 \(v\) 使得以 \(v\) 为根的子树中的所有节点 (包括 \(v\)) 都没有连向 \(u\) 的祖先的返祖边， 那么 \(u\) 就是割点， 反之不是。
（显然成立）

实现就很经典了， 用到 \(dfs\) 序和 \(low[]\) 数组。
使用时调用

dfs(1,0);

即可。

//注意区分根和非根节点
bool cut[N];
int rt, tot,dfn[N],low[N];
inline void prev(int x) {low[x]=dfn[x]= ++tot;  }
void dfs(int x, int fa) {
	prev(x);
	int ch= 0;
	for(int i=hd[x];i;i=nt[i]) {
		int y= vr[i];
		if(!dfn[y]) {
			++ch;
			dfs(y,x);
			if(fa && low[y]>=dfn[x]) cut[x]= true;
			low[x]= min(low[x],low[y]);
		} else if(dfn[y]<dfn[x] && y!=fa) low[x]=min(low[x],dfn[y]);
	}
	if(fa==0 && ch>=2) cut[x]= true;
}

割边的判定方法
同上， 在 \(dfs\) 树上判定割边。
设一个节点 \(u\) 在 dfs树 上存在一子节点 \(v\) 使得以 \(v\) 为根的子树中的所有节点 (包括 \(v\)) 都没有连向 \(u\) 及其祖先的返祖边， 那么 边\((u,v)\) 就是割边， 反之不是。
（显然成立）

实现时以上面的代码为基础加点东西就可以了， 但是要注意存无向边时是用两条有向边代替的， 当一条边 \((x,y)\) 是割边时， 边 \((y,x)\) 也是割边。

点双边双

概念明细

点--双联通、 边--双联通 都属于无向连通图的 \(性质\)。

• 对于一个无向连通图， 如果任意两点 \(u、v\) 之间都存在至少两条点不重复（不包括 \(u、v\)） 的路径， 则说这个图是 点--双联通 的。（等价于图中无割点，或任意两条边都在同一个简单环中）
• 类似的， 如果一个无向连通图的任意两点 \(u、v\) 之间都存在至少两条边不重复的路径， 则则说这个图是 边--双联通 的。（等价于图中无割边，或每条边都在至少一个简单环中）

称无向连通图的 极大 点--双联通子图（极大的，即往其中加了点就不满足性质的节点数最多的） 为其 点双连通分量。

• 每条边恰好属于一个点双连通分量， 两个点双连通分量的可能会有公共点，如果有，则公共点必为割点； 割点必同时在至少两个点双连通分量里

类似的，称无向连通图的 极大 边--双联通子图 为其 边双连通分量。

• 每个点恰属于一个边双联通分量， 除割边外， 每条边恰属于一个边双联通分量； 一条割边连接两个边双连通分量

怎么求？
点双不会。
边双 就简单了， 首先求出所有割边， 然后断开所有割边（\(dfs\) 时不走割边就行了）， 剩下的每个联通块就是一个边双。

我懒， 不想写代码了

训练指南好啊。
边双基础题

有向图信息、操作

拓扑排序

拓扑排序 是作用于有向无环图的一种算法。
拓扑排序就是按点的入数大小为顺序删点， 删去一个点时可能会有没被删的点的入度减小。
（这个描述太 \(SD\) 我自己都忍俊不禁）

强连通分量、缩点

• 若对于一个有向图的任意两点 \(u、v\) 都可以相互到达， 则称这个有向图是强联通的。（具体有没有这个称呼我不清楚）
  有向图的 极大 强连通子图 似乎理所应当就叫 强连通分量 了。

算法？ Tarjan！！！
怎么简洁准确地描述它呢……
我没有足够的能力描述它。

至于 缩点， 就是将有向图的每个强连通分量看成一个点， 建立一个新图。
由于要存多个图， 所以如何写代码是我要思考的qwq。

强连通分量+缩点板子

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int N = 1e4+15;
const int M = 1e5+15;

int n, m, val[N], val2[N];

int ct, hd[N], nt[M<<1], vr[M<<1];
void ad(int a,int b) {
	vr[++ct]=b, nt[ct]=hd[a], hd[a]=ct;
}

int deg[N];
int ct2, hd2[N], nt2[M<<1], vr2[M<<1];
void ad2(int a,int b) {
	vr2[++ct2]=b, nt2[ct2]=hd2[a], hd2[a]=ct2;
}

int sccno[N], scccnt;
int S[N], tp;
int dfn[N], low[N], clk;
void dfs(int x) {
	dfn[x]=low[x]= ++clk;
	S[++tp]=x;
	for(int i=hd[x];i;i=nt[i]) {
		int y=vr[i];
		if(!dfn[y]) {
			dfs(y);
			low[x]=min(low[x],low[y]);
		} else if(!sccno[y]) low[x]=min(low[x],dfn[y]);
	}
	if(low[x]==dfn[x]) {
		++scccnt;
		while(1) {
			int u=S[tp--];
			sccno[u] = scccnt;
			if(u==x) break;
		}
	}
}

int f[N];
int q[N], h=1, t=0;
void topo() {
	for(int i=1;i<=scccnt;++i) if(!deg[i]) f[q[++t]=i] = val2[i];
	while(h<=t) {
		int x=q[h++];
		for(int i=hd2[x];i;i=nt2[i]) {
			int y=vr2[i];
			f[y] = max(f[y], f[x]+val2[y]);
			if(--deg[y] == 0) q[++t] = y;
		}
	}
}

int main()
{
	scanf("%d%d", &n, &m);
	for(int i=1;i<=n;++i) scanf("%d", &val[i]);
	for(int i=0,x,y;i<m;++i) {
		scanf("%d%d",&x,&y); ad(x,y);
	}
	for(int i=1;i<=n;++i) if(!dfn[i]) dfs(i);
	for(int x=1;x<=n;++x) {
		val2[sccno[x]] += val[x];
		for(int j=hd[x];j;j=nt[j]) {
			int y=vr[j];
			if(sccno[x] != sccno[y]) ad2(sccno[x],sccno[y]), ++deg[sccno[y]];
		}
	}
	
	topo();
	int ans = 0;
	for(int i=1;i<=scccnt;++i) ans=max(ans, f[i]);
	cout << ans;
	return 0;
}

简单树论

直径

• 一棵树的直径就是这棵树上最长的一条路径， 直径可能不唯一

可以 树形DP 求， 也可以两次 dfs。
dfs 方法好像得出方案更容易。
这里给出 dfs方法。

dfs 求树直径的两端点

• 随便找一个点 \(s\)， 随便选一个距离其最远的点 \(u\)
• 随便选一个距离 \(u\) 最远的点 \(v\)
  那么路径 \(u \rightarrow v\) 就是这棵数的直径

正确性？
如果 \(u\) 确实是某条直径上的端点， 那么 \(v\) 就一定是另一个端点。
为什么 \(u\) 一定是某条直径的一个端点呢？ 明明 \(s\) 是随便选的啊！

可以这样想：假定直径的两个端点分别为 \(u、v\)， 不管 \(s\) 在不在直径上， 只要存在任意一点 \(t\) 距离 \(s\) 最远（大于 \(s\) 到 \(u\) 的距离 和 \(s\) 到 \(v\) 的距离）， 那么就可以推出
路径 \(u \rightarrow v\) 不是直径。

这题不错哟

重心

• 一棵树 \(T\) 上某一个节点 \(x\) 的一个特征值 \(w(x)\) 定义为 ： 删掉 \(x\) 后余下的各个联通块节点数的最大值。
• \(w(x)\) 最小的那个 \(x\) 就是树 \(T\) 的重心。
• 树的重心似乎是不唯一的

求法的话， 按照定义求就好了， 这里有一份参考代码。

int siz[N], cg=0, cgw=n; // cg:重心， cgw:重心的 w 函数值 
void dfs(int x) {
	siz[x] = 1;
	int w = 0;
	for(int i=hd[x];i;i=nt[i]) {
		int y=vr[i];
		if(siz[y]) continue;
		dfs(y);
		siz[x] += siz[y];
		w = max(w, siz[y]);
	}
	w = max(w, n-siz[x]);
	if(w < cgw) {
		cgw = w;
		cg = x;
	}
}

普及常见图论算法整理

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