LeetCode 990. 等式方程的可满足性 | Python

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990. 等式方程的可满足性

题目来源：力扣（LeetCode）https://leetcode-cn.com/problems/satisfiability-of-equality-equations

题目

给定一个由表示变量之间关系的字符串方程组成的数组，每个字符串方程 equations[i] 的长度为 4，并采用两种不同的形式之一："a==b" 或 "a!=b"。在这里，a 和 b 是小写字母（不一定不同），表示单字母变量名。

只有当可以将整数分配给变量名，以便满足所有给定的方程时才返回 true，否则返回 false。

示例 1：

输入：["a==b","b!=a"]
输出：false
解释：如果我们指定，a = 1 且 b = 1，那么可以满足第一个方程，但无法满足第二个方程。没有办法分配变量同时满足这两个方程。

示例 2：

输出：["b==a","a==b"]
输入：true
解释：我们可以指定 a = 1 且 b = 1 以满足满足这两个方程。

示例 3：

输入：["a==b","b==c","a==c"]
输出：true

示例 4：

输入：["a==b","b!=c","c==a"]
输出：false

示例 5：

输入：["c==c","b==d","x!=z"]
输出：true

提示：

• 1 <= equations.length <= 500
• equations[i].length == 4
• equations[i][0] 和 equations[i][3] 是小写字母
• equations[i][1] 要么是 ‘=‘，要么是 ‘!‘
• equations[i][2] 是 ‘=‘

解题思路

思路：并查集

先看例 3 和 例 4。这两个例题中，所给不同部分就是数组中第二个方程式。看看例 4 中，为何返回的结果是 False？

["a==b","b!=c","c==a"]

在例 4 当中，第二个式子 b!=c，而前面的式子中 a==c 那么这里将 a 替换 b，第二个式子就变为 a!=c，但是最后的式子中 a==c 又成立，这里就明显存在冲突，所以这里结果返回 False。

在上面的例子当中，我们也可以看到，相等关系具有传递性，所有的相等变量其实是属于同一个集合。但是这里并不关心传递的距离，只关心是否连通。那么这里就考虑使用并查集来解决本问题。

这里，关于并查集设计算法具体如下：

• 首先构造并查集，遍历所有等式。每个等式的两个变量属于连通分量，将两者进行合并；
• 这里还需要再次遍历所有不等式，因为不等式的两个变量不属于同一个连通分量，这里两者不能合并，要分开查找对应的连通分量，这里有两种情况：
  • 如果两个变量属于同个连通分量，那么就与原假设不符，存在矛盾，这里应该返回 False；
  • 如果没有出现上面所述的矛盾，那么最终返回 True

在这里，我们可以将数组中方程式的变量当成节点，相等关系则表示两个节点的边。前面说明，相等变量属于同个连通分量，那么使用并查集来维护这个关系

具体的实现：

• 创建数组存储每个变量的连通分量，其中每个元素表示的是所在连通分量的父节点信息。如果父节点是自身，那么这个就是所在连通分量的根节点。
• 初始化的时候，将变量的父节点都指向自身。
• 查找操作：从当前变量的父节点往上找，直至找到根节点；
• 合并操作：将其中一个变量的根节点指向另外一个变量的根节点。

具体的代码实现如下。

代码实现

from typing import List
class Solution:

    # 并查集类
    class UnionFind(object):
        def __init__(self):
            ‘‘‘初始化数组
            ‘‘‘
            self.parent = list(range(26))
        
        def find(self, index):
            ‘‘‘查询操作
            查询直至根节点
            这里使用了路径压缩
            ‘‘‘
            # 如果父节点是自身，那么就是根节点，返回
            while index!=self.parent[index]:
                self.parent[index] = self.parent[self.parent[index]]
                index = self.parent[index]
            return index
        
        def union(self, index1, index2):
            ‘‘‘合并操作
            将其中一个变量的根节点指向另外一个变量的根节点
            ‘‘‘
            root_index1 = self.find(index1)
            root_index2 = self.find(index2)
            self.parent[root_index1] = root_index2

        def is_connected(self, index1, index2):
            ‘‘‘判断是否连通
            ‘‘‘
            return self.find(index1) == self.find(index2)

    def equationsPossible(self, equations: List[str]) -> bool:
        uf = Solution.UnionFind()

        # 第一次遍历所有等式，进行合并
        for equation in equations:
            if equation[1] == "=":
                # 这里将变量字符转换为整数
                # ord(‘a‘) 返回对应的十进制整数
                index1 = ord(equation[0]) - ord(‘a‘)
                index2 = ord(equation[3]) - ord(‘a‘)
                uf.union(index1, index2)
        # 再次遍历所有不等式，查找对应的连通分量
        for equation in equations:
            if equation[1] == ‘!‘:
                index1 = ord(equation[0]) - ord(‘a‘)
                index2 = ord(equation[3]) - ord(‘a‘)
                # 如果两个变量属于同个连通分量，那就出现矛盾，返回 False
                if uf.is_connected(index1, index2):
                    return False
        # 最终没有矛盾，返回 True
        return True


# equations = ["b==a","a==b"]
equations = ["a==b","b!=a"]

solution = Solution()
solution.equationsPossible(equations)

实现结果

总结

• 通过题中示例，我们知道等式具有传递性。但是题中只关心连通性，并不关心传递的距离，所以我们考虑使用并查集的思路来解决问题。
• 关于并查集的算法设计流程：
  • 首先构造并查集，先遍历所有的等式，因为两个变量这里属于同一个连通分量，那么将其进行合并
  • 再次遍历 所有的不等式，在这里两个变量并不属于同个连通分量，那么不能进行合并，要各自查找对应的连通分量。如果这个时候出现两个变量的连通分量相同的情况，那么这个就跟前面的预设不符，出现矛盾。返回 False
  • 如果没有出现上面所述的矛盾，那么返回 True。

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