标签:rsa inline object 个数 search 存储 else 广度优先遍历 tree
二叉树是每个节点最多有两个子树的树结构。通常子树被称作“左子树”(left subtree)和“右子树”(right subtree)。
一棵满二叉树就是高度为k,且拥有(2^k)-1个节点的二叉树,一棵满二叉树每个节点,要么都有两棵子树,要么都没有子树;而且每一层所有的节点之间必须要么都有两棵子树,要么都没子树。
完全二叉树是一颗特殊的二叉树,它遵循以下规则: 假设完全二叉树高度为k,则完全二叉树需要符合以下两点: 1)所有叶子节点都出现在k层或k-1层,并且从1~k-1层必须达到最大节点数。 2)第k层可以是不满的,但是第k层的所有节点必须集中在最左边。
“完全”和“满”的差异,满二叉树一定是完全二叉树,完全二叉树不一定是满的。
在二叉树的第i层上至多有2^(i-1)个节点(i>0)
上图中: 第1层: 1个: 2^(1-1)=2^0=1
第2层: 1个: 2^(2-1)=2^1=2
第3层: 1个: 2^(3-1)=2^2=4
第4层: 8个: 2^(4-1)=2^3=8
通过数据归纳法,很容易得出在二叉树的第i层上最多有2^(i-1)个节点。
深度为k的二叉树至多有2^k - 1个节点(k>0)
这里注意是2的k次幂再减1。
如果有一层,最多1=2^1-1个节点
如果有两层,最多1+2=2^2-1个节点
如果有三层,最多1+2+4=2^3-1个节点
如果有四层,最多1+2+4+8=2^4-1个节点
通过数据归纳法的论证,可以得出如果有k层,节点数最多为2k-1。
对于任意一棵二叉树,如果其叶节点数为N0,而度数为2的节点总数为N2,则N0=N2+1;
终端节点就是叶子节点,而一棵二叉树,除了叶子节点外,剩下的就是度为1和2的节点了,设n1是度为1的节点数。则树T的节点总数就是n=n0+n1+n2。
若度为1的节点有 n1个,总节点个数为n,总边数为 e,则根据二叉树的定义,
n=n0+n1+n2
总边数等于每个节点都有一个边,但是根节点有两个,所以e = n-1。
计算总边数的第二种方式,总边数 = 度数为2的节点数乘以2(因为这个节点有2个边)+加上度数为1的节点数
即 e = n1+2n2.
e = n1+2n2= n-1 (方程式1)
n=n0+n1+n2(方程式2)
两个方程式联合得到结果,
移动方程式1,n=n1+2n2+1 (方程式3)
方程式2与方程式2相减,得到结果 0 = n0 -n2-1
即N0=N2+1
具有n个节点的完全二叉树的深度必为 log2(n+1)
对性质1结论进行取对数。
如果对一棵有n个节点的完全二叉树的节点按层序编号(从第一层到最后一层,每层从左到右),对任一节点i(1<=i<=n)有:
如果i=1,则节点i是二叉树的根,无双亲;如果i>1,则其双亲是节点 ⌊ i/2 ⌋ 。
如果2i>n,则节点i无左孩子(节点i为叶子节点);否则其左孩子是节点2i 。
如果2i+1>n,则节点i无右孩子;否则其右孩子是节点2i+1 。
二叉搜索树(BST)是二叉树的一种,但是它只允许你在左侧节点存储(比父节点)小的值, 在右侧节点存储(比父节点)大(或者等于)的值。
二叉搜索树(Binary Search Tree),又名二叉排序树(Binary Sort Tree)。 二叉搜索树是具有有以下性质的二叉树: (1)若左子树不为空,则左子树上所有节点的值均小于或等于它的根节点的值。 (2)若右子树不为空,则右子树上所有节点的值均大于或等于它的根节点的值。 (3)左、右子树也分别为二叉搜索树。
通过使用Node类中定义三个属性,分别为elem本身的值,还有lchild左孩子和rchild右孩子
class Node(object): """节点类""" def __init__(self, elem, lchild=None, rchild=None): self.elem = elem self.lchild = lchild self.rchild = rchild #树的创建,创建一个树的类,并给一个root根节点,一开始为空,随后添加节点 class Tree(object): """树类""" def __init__(self, root=None): self.root = root ? def add(self, elem): """为树添加节点""" node = Node(elem) #如果树是空的,则对根节点赋值 if self.root == None: self.root = node return queue = [] queue.append(self.root) #对已有的节点进行层次遍历 while queue: #弹出队列的第一个元素 cur = queue.pop(0) if cur.lchild == None: #如果左子树为空,则加到左子树上 cur.lchild = node return elif cur.rchild == None: #如果右子树为空,则加到右子树上 cur.rchild = node return else: #如果左右子树都不为空,加入队列继续判断 queue.append(cur.lchild) queue.append(cur.rchild)
树的遍历是树的一种重要的运算。所谓遍历是指对树中所有节点的信息的访问,即依次对树中每个节点访问一次且仅访问一次,我们把这种对所有节点的访问称为遍历(traversal)。那么树的两种重要的遍历模式是深度优先遍历和广度优先遍历,深度优先一般用递归,广度优先一般用队列。一般情况下能用递归实现的算法大部分也能用堆栈来实现(掌握先序、中序、后序的非递归方式)。
从树的root开始,从上到下从从左到右遍历整个树的节点
def breadth_travel(self): """广度遍历""" if self.root is None: return queue = [self.root] #这里的队列也可以用python标准库中的collections中的queue while queue: cur_node = queue.pop(0) print(cur_node.elem, end=" ") if cur_node.lchild is not None: queue.append(cur_node.lchild) if cur_node.rchild is not None: queue.append(cur_node.rchild)
参考资料
[1]https://juejin.im/post/5ae91ac9f265da0b83368aec
[2]<<大话数据结构 >>
算法漫游指北(第十三篇):二叉树的基本概念、满二叉树、完全二叉树、二叉树性质、二叉搜索树、二叉树定义、二叉树的广度优先遍历
标签:rsa inline object 个数 search 存储 else 广度优先遍历 tree
原文地址:https://www.cnblogs.com/Nicholas0707/p/13222270.html