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343. 整数拆分

题目来源：力扣（LeetCode）https://leetcode-cn.com/problems/integer-break

题目

给定一个正整数 n，将其拆分为至少两个正整数的和，并使这些整数的乘积最大化。 返回你可以获得的最大乘积。

示例 1:

输入: 2
输出: 1
解释: 2 = 1 + 1, 1 × 1 = 1。

示例 2:

输入: 10
输出: 36
解释: 10 = 3 + 3 + 4, 3 × 3 × 4 = 36。
说明: 你可以假设 n 不小于 2 且不大于 58。

解题思路

思路：推导

这里，我们用数学推导的方法，来尝试解决这个问题。先审题，题目中要我们将数字 n 进行拆分，然后求拆分后数字乘积最大值。这里需要注意：题目中说明 n 至少拆分为两个正整数。

由前面所述的题意，我们可知，目前的问题就是如何拆分，才能使得乘积最大？这里举个例子，若将 1 个数拆分为 2 个数求乘积（均为正整数），我们知道，拆分的两个数字越接近，那么乘积会越大。比较符合前面这段话的有：求矩形面积。我们知道，矩形当中，正方形面积最大。

那么，我们先按照这个思路往下思考（后续在推导）。前面举例说的拆分为 2 个数字，这道题当中说的是至少两个正整数，那么按照前面所得出的推论，将数字 n 进行拆分，可能会出现以下情况：

• 数字 n 进行拆分时，不一定均分（因为题目要的拆分之后还是正整数）
• 当上面的情况一定存在时，那么将数字 n 进行拆分时，拆分的数字应该为多少最合适。

上面的情况中，第一种比较好理解。第二种情况，这里举个例子，例如给定的数字 n 为 6，那么：

# ans 在这里表示乘积
n = 6 = 3 + 3
ans = 3 * 3 = 9

或者

n = 6 = 2 + 2 + 2
ans = 2 * 2 * 2 = 8

上面都是将数字 n 拆分为相同的正整数，只是拆分数量不同，但是两者的乘积会有差距。那么这里也就还有个问题，将给定的数字 n 进行拆分时，要拆分为哪个正整数，最终的乘积为最大。

由前面的分析，我们知道，现在的主要的问题有两个：

1. 如何证明拆分的数字相等，乘积最大？
2. 数字 n 拆分为哪个数字，最终的乘积最大？

先看第一个问题，这里直接引用 "算术-几何均值不等式"，公式如下：

$$
\frac{x_1+x_2+...+x_a}{a} \geq \sqrt[a]{x_1x_2...x_a}
$$

上面的式子中，当且仅当 $x_1=x_2=...=x_a$ 的时候，等号成立。

这里，我们得到：当确定拆分数量 a，那么拆分的数字相同时，乘积最大。

现在看第二个问题，根据前面的结论，设拆分数量为 a，拆分数字为 x，也即是 n=ax，那么乘积为 $x^a$。现在，则是要求得什么情况下 $x^a$ 取得最大值？证明如下：

• 对 $x^a$ 公式进行转换

$$
x^a = x^{{\frac{n}{x}}=(x}{\frac{1}{x}})^{n}
$$

在这里，n 为常数且不小于 2，那么幂函数中，此时，底数越大，值越大。也就是要求得 $x^{\frac{1}{x}}$ 的最大值。

• 那么现在的问题就是要求得 $f(x)=x^{\frac{1}{x}}$ 的最大值。先对两边取对数：

$$
ln(f(x)) = \frac{1}{x}lnx
$$

• 再对两边进行求导：

$$
\begin{aligned}
\frac{1}{f(x)}·f^{{\prime}(x)&=(\frac{1}{x})}{\prime}lnx + \frac{\frac{1}{x}}{x}·(x)^{\prime} \
f^{{\prime}(x)&=\left[(\frac{1}{x})}{\prime}lnx + \frac{\frac{1}{x}}{x}·(x)^{\prime}\right]·f(x)\
f^{{\prime}(x)&=\left[-\frac{1}{x}2}lnx+\frac{1}{x^2}\right]·x{\frac{1}{x}}\
f^{{\prime}(x)&=\frac{1-lnx}{x}2}·x^{\frac{1}{x}}
\end{aligned}
$$

• 令 $f^{\prime}(x)=0$，也就是 $1-lnx=0$，那么此时，可得临界点为：$x=e$。现在此时 $x$ 是否是极值：

$$
f^{\prime}=
\begin{cases}
值大于 0，x\in[-\infty, e) \
值小于 0，x\in(e, +\infty]
\end{cases}
$$

由此可以判断 $x=e$ 时，取得极大值。我们知道自然常数 $e$ 约等于 2.7。题目要求拆分的是正整数，那么我们将 2 和 3 分别代入函数 $f(x)$ 当中，得：

$$
\begin{aligned}
f(2)=2^{\frac{1}{2}}\approx 1.41 \
f(3)=3^{\frac{1}{3}}\approx 1.44
\end{aligned}
$$

我们可以看到当 x 取 3 的时候，乘积达到最大。

现在上面提出的两个问题已经得以证明。但还有一个需要注意的，前面提到的情况中，提及拆分的时候可能出现不均分的情况。

现在确定拆分的数字为 3 的情况下，乘积可取最大值。那么此时拆分的时候，可能出现的余数会有 0，1，2。现在就这个情况下，逐个分析（下面的情况是针对 n > 3 的情况），令 n = ax + b，x 确定取 3，值可最大，也就是 n = 3a + b，那么会出现的情况如下：

• b = 0，表示均分，此时直接返回 3^a；
• b = 1，这里需要注意。这里需要重新合并拆分，当剩下 1 时，3 x 1 < 2 x 2，所以将其中一个 3 与余数 1，重新结合拆分为 2 和 2，那么最终返回 3^(a-1) x 2 x 2；
• b = 2，返回 3^a x 2。

这里在说下 n <= 3 的情况，不拆分的结果更优。当时题目要求必须拆分至少两个整数，那么此时拆出一个数值 1，那么最终返回 n - 1。

具体的代码实现如下。

代码实现

class Solution:
    def integerBreak(self, n: int) -> int:
        # 先处理 n 小于或等于 3 的情况
        if n <= 3:
            return n-1
        
        # 先拆分，确定数量以及余数
        a = n // 3
        b = n % 3

        # 这里调用 math.pow() 方法，该方法调用底层 c 库的 pow 函数，效率更高
        import math
        # 均分直接返回 3^a
        if b == 0:
            return int(math.pow(3, a))
        elif b == 1:
            return int(math.pow(3, a-1) * 4)
        # 剩下就是余 2 的情况
        return int(math.pow(3, a) * 2)

实现结果

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LeetCode 343. 整数拆分 | Python

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