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在阅读下列内容之前，请务必了解 图论相关概念 中的基础部分。
强连通的定义是：有向图 G 强连通是指，G 中任意两个结点连通。
强连通分量（Strongly Connected Components，SCC）的定义是：极大的强连通子图。
这里想要介绍的是如何来求强连通分量。
Robert E. Tarjan (1948~) 美国人。
你是不是感觉Robert E. Tarjan 这个名字很熟悉?
没错，Robert E. Tarjan和John E. Hopcroft就是发明了深度优先搜索的两个人——1986年的图灵奖得主。
除此之外 Tarjan 发明了很多算法结构。光 Tarjan 算法就有很多，比如求各种连通分量的 Tarjan 算法，求 LCA（Lowest Common Ancestor，最近公共祖先）的 Tarjan 算法。并查集、Splay、Toptree 也是 Tarjan 发明的。
你看牛人们从来都不闲着的。他们到处交流，寻找合作伙伴，一起改变世界。
我们这里要介绍的是他的在有向图中求强连通分量的 Tarjan 算法。
另外，Tarjan 的名字 j 不发音，中文译为塔扬。
在介绍该算法之前，先来了解 DFS 生成树 ，我们以下面的有向图为例：
有向图的 DFS 生成树主要有 4 种边（不一定全部出现）：
我们考虑 DFS 生成树与强连通分量之间的关系。
如果结点 \(u\) 是某个强连通分量在搜索树中遇到的第一个结点，那么这个强连通分量的其余结点肯定是在搜索树中以 \(u\) 为根的子树中。 \(u\) 被称为这个强连通分量的根。
反证法：假设有个结点 \(v\) 在该强连通分量中但是不在以 \(u\) 为根的子树中，那么 \(u\) 到 \(v\) 的路径中肯定有一条离开子树的边。但是这样的边只可能是横叉边或者反祖边，然而这两条边都要求指向的结点已经被访问过了，这就和 \(u\) 是第一个访问的结点矛盾了。得证。
在 Tarjan 算法中为每个结点 \(u\) 维护了以下几个变量：
\(dfn[u]\) ：深度优先搜索遍历时结点 \(u\) 被搜索的次序。
\(low[u]\) ：设以 \(u\) 为根的子树为 \(Subtree(u)\) 。 \(low[u]\) 定义为以下结点的 \(dfn\) 的最小值： \(Subtree(u)\) 中的结点；从 \(Subtree(u)\) 通过一条不在搜索树上的边能到达的结点。
ps：每次找到一个新点，这个点\(low\ ［］＝dfn\ ［］\)。
一个结点的子树内结点的 dfn 都大于该结点的 dfn。
从根开始的一条路径上的 dfn 严格递增，low 严格非降。
按照深度优先搜索算法搜索的次序对图中所有的结点进行搜索。在搜索过程中，对于结点 \(u\) 和与其相邻的结点 \(v\) （v 不是 u 的父节点）考虑 3 种情况：
将上述算法写成伪代码：
TARJAN_SEARCH(int u)
vis[u]=true
low[u]=dfn[u]=++dfncnt // 为节点u设定次序编号和Low初值
push u to the stack // 将节点u压入栈中
for each (u,v) then do // 枚举每一条边
if v hasn‘t been search then // 如果节点v未被访问过
TARJAN_SEARCH(v) // 继续向下搜索
low[u]=min(low[u],low[v]) // 回溯
else if v has been in the stack then // 如果节点u还在栈内
low[u]=min(low[u],dfn[v])
if (DFN[u] == Low[u]) // 如果节点u是强连通分量的根
repeat v = S.pop // 将v退栈，为该强连通分量中一个顶点
print v
until (u== v)
对于一个连通分量图，我们很容易想到，在该连通图中有且仅有一个 \(dfn[u]=low[u]\) 。该结点一定是在深度遍历的过程中，该连通分量中第一个被访问过的结点，因为它的 DFN 值和 LOW 值最小，不会被该连通分量中的其他结点所影响。
因此，在回溯的过程中，判定 \(dfn[u]=low[u]\) 的条件是否成立，如果成立，则栈中从 \(u\) 后面的结点构成一个 SCC （强连通分量）。
int dfn[N], low[N], dfncnt, s[N], in_stack[N], tp;
int scc[N], sc; // 结点 i 所在 scc 的编号
int sz[N]; // 强连通 i 的大小
void tarjan(int u) {
low[u] = dfn[u] = ++dfncnt, s[++tp] = u, in_stack[u] = 1;
for (int i = h[u]; i; i = e[i].nex) {
const int &v = e[i].t;
if (!dfn[v]) {
tarjan(v);
low[u] = min(low[u], low[v]);
} else if (in_stack[v]) {
low[u] = min(low[u], dfn[v]);
}
}
if (dfn[u] == low[u]) {
++sc;
while (s[tp] != u) {
scc[s[tp]] = sc;
sz[sc]++;
in_stack[s[tp]] = 0;
--tp;
}
scc[s[tp]] = sc;
sz[sc]++;
in_stack[s[tp]] = 0;
--tp;
}
}
时间复杂度 \(O(n + m)\) 。
Kosaraju 算法依靠两次简单的 DFS 实现。
第一次 DFS，选取任意顶点作为起点，遍历所有未访问过的顶点，并在回溯之前给顶点编号，也就是后序遍历。
第二次 DFS，对于反向后的图，以标号最大的顶点作为起点开始 DFS。这样遍历到的顶点集合就是一个强连通分量。对于所有未访问过的结点，选取标号最大的，重复上述过程。
两次 DFS 结束后，强连通分量就找出来了，Kosaraju 算法的时间复杂度为 \(O(n+m)\) 。
// g 是原图，g2 是反图
void dfs1(int u) {
vis[u] = true;
for (int v : g[u])
if (!vis[v]) dfs1(v);
s.push_back(u);
}
void dfs2(int u) {
color[u] = sccCnt;
for (int v : g2[u])
if (!color[v]) dfs2(v);
}
void kosaraju() {
sccCnt = 0;
for (int i = 1; i <= n; ++i)
if (!vis[i]) dfs1(i);
for (int i = n; i >= 1; --i)
if (!color[s[i]]) {
++sccCnt;
dfs2(s[i]);
}
}
\(Tarjan\) 算法和 \(Garbow\) 算法是同一个思想的不同实现，但是 \(Garbow\) 算法更加精妙，时间更少，不用频繁更新 $ low $。
我们可以将一张图的每个强连通分量都缩成一个点。
然后这张图会变成一个 DAG（为什么？）。
DAG 好啊，能拓扑排序了就能做很多事情了。
举个简单的例子，求一条路径，可以经过重复结点，要求经过的不同结点数量最多。
清晰的图示：https://www.byvoid.com/zhs/blog/scc-tarjan,
可视化过程（英文讲解）：https://www.youtube.com/watch?v=TyWtx7q2D7Y
Garbow算法：https://blog.csdn.net/zhouzi2018/article/details/81623747
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(文章完)
连通图算法详解之① ：Tarjan 和 Kosaraju 算法
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原文地址：https://www.cnblogs.com/RioTian/p/13442972.html
