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大长方形的对角线,会穿过多少个小正方形
问：有多少个正整数n（n＜2015）满足 条件：1/3＋1/n可以化简为分母小于n的分数？
1/3＋1/n=（3＋n）/3n
要使1/3＋1/n可以化bai简为分母du小于n的分数，则分子（zhi3＋n）与分母3n有大于或等于4的公约dao数，设此公约数为d（d>=4）
1）若d中没有因数3，则d是n的因数。设n=da（a是大于1的正整数），则
分子3＋n=3＋da=（3/d＋a)*d,由于a是整数，则3/d是整数，即d=1，2，这样的d不满足题设。
2）d中必有因数3，则d=3k（因为d>=4,则k是大于1的正整数）。由于分母是3n，则k是n的因数，设n=tk（t是正整数）。
分子3＋n=3＋tk=（3＋tk）/3k*3k，由于（3＋tk）/3k是整数，则设（3＋tk）/3k=m（m是正整数），则（3m-t）k=3
得k=3且3m-t=1，则t=3m-1
n=tk=（3m-1）*3=9m-3（m是正整数）
由于n<2015，得9m-3<2015,解得m<2018/9,m最大值取224.
即224个这样的正整数n。
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