回溯算法：求组合总和（二）

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第39题. 组合总和
题目链接：https://leetcode-cn.com/problems/combination-sum/

给定一个无重复元素的数组 candidates 和一个目标数 target ，找出 candidates 中所有可以使数字和为 target 的组合。

candidates 中的数字可以无限制重复被选取。

说明：

• 所有数字（包括 target）都是正整数。
• 解集不能包含重复的组合。
  示例 1：
  输入：candidates = [2,3,6,7], target = 7,
  所求解集为：
  [
  [7],
  [2,2,3]
  ]

示例 2：
输入：candidates = [2,3,5], target = 8,
所求解集为：
[
[2,2,2,2],
[2,3,3],
[3,5]
]

思路
题目中的「无限制重复被选取，吓得我赶紧想想 出现0 可咋办」，然后看到下面提示：1 <= candidates[i] <= 200，我就放心了。

本题和回溯算法：求组合问题！，回溯算法：求组合总和！和区别是：本题没有数量要求，可以无限重复，但是有总和的限制，所以间接的也是有个数的限制。

本题搜索的过程抽象成树形结构如下：

注意图中叶子节点的返回条件，因为本题没有组合数量要求，仅仅是总和的限制，所以递归没有层数的限制，只要选取的元素总和超过target，就返回！

而在回溯算法：求组合问题！和回溯算法：求组合总和！ 中都可以知道要递归K层，因为要取k个元素的组合。

回溯三部曲

• 递归函数参数
  这里依然是定义两个全局变量，二维数组result存放结果集，数组path存放符合条件的结果。（这两个变量可以作为函数参数传入）

首先是题目中给出的参数，集合candidates, 和目标值target。

此外我还定义了int型的sum变量来统计单一结果path里的总和，其实这个sum也可以不用，用target做相应的减法就可以了，最后如何target==0就说明找到符合的结果了，但为了代码逻辑清晰，我依然用了sum。

「本题还需要startIndex来控制for循环的起始位置，对于组合问题，什么时候需要startIndex呢？」

我举过例子，如果是一个集合来求组合的话，就需要startIndex，例如：回溯算法：求组合问题！，回溯算法：求组合总和！。

如果是多个集合取组合，各个集合之间相互不影响，那么就不用startIndex，例如：回溯算法：电话号码的字母组合

「注意以上我只是说求组合的情况，如果是排列问题，又是另一套分析的套路，后面我再讲解排列的时候就重点介绍」。

代码如下：

vector<vector<int>> result;
vector<int> path;
void backtracking(vector<int>& candidates, int target, int sum, int startIndex) 

• 递归终止条件
  在如下树形结构中：

从叶子节点可以清晰看到，终止只有两种情况，sum大于target和sum等于target。

sum等于target的时候，需要收集结果，代码如下：

if (sum > target) {
    return;
}
if (sum == target) {
    result.push_back(path);
    return;
}

• 单层搜索的逻辑
  单层for循环依然是从startIndex开始，搜索candidates集合。

「注意本题和回溯算法：求组合问题！、回溯算法：求组合总和！的一个区别是：本题元素为可重复选取的」。

如何重复选取呢，看代码，注释部分：

for (int i = startIndex; i < candidates.size(); i++) {
    sum += candidates[i];
    path.push_back(candidates[i]);
    backtracking(candidates, target, sum, i); // 关键点:不用i+1了，表示可以重复读取当前的数
    sum -= candidates[i];   // 回溯
    path.pop_back();        // 回溯
}

按照关于回溯算法，你该了解这些！中给出的模板，不难写出如下C++完整代码：

// 版本一
class Solution {
private:
    vector<vector<int>> result;
    vector<int> path;
    void backtracking(vector<int>& candidates, int target, int sum, int startIndex) {
        if (sum > target) {
            return;
        }
        if (sum == target) {
            result.push_back(path);
            return;
        }

        for (int i = startIndex; i < candidates.size(); i++) {
            sum += candidates[i];
            path.push_back(candidates[i]);
            backtracking(candidates, target, sum, i); // 不用i+1了，表示可以重复读取当前的数
            sum -= candidates[i];
            path.pop_back();
        }
    }
public:
    vector<vector<int>> combinationSum(vector<int>& candidates, int target) {
        result.clear();
        path.clear();
        backtracking(candidates, target, 0, 0);
        return result;
    }
};

剪枝优化
在这个树形结构中：

以及上面的版本一的代码大家可以看到，对于sum已经大于target的情况，其实是依然进入了下一层递归，只是下一层递归结束判断的时候，会判断sum > target的话就返回。

其实如果已经知道下一层的sum会大于target，就没有必要进入下一层递归了。

那么可以在for循环的搜索范围上做做文章了。

「对总集合排序之后，如果下一层的sum（就是本层的 sum + candidates[i]）已经大于target，就可以结束本轮for循环的遍历」。

如图：

for循环剪枝代码如下：

for (int i = startIndex; i < candidates.size() && sum + candidates[i] <= target; i++) 

整体代码如下：（注意注释的部分）

class Solution {
private:
    vector<vector<int>> result;
    vector<int> path;
    void backtracking(vector<int>& candidates, int target, int sum, int startIndex) {
        if (sum > target) {
            return;
        }
        if (sum == target) {
            result.push_back(path);
            return;
        }

        // 如果 sum + candidates[i] > target 就终止遍历
        for (int i = startIndex; i < candidates.size() && sum + candidates[i] <= target; i++) {
            sum += candidates[i];
            path.push_back(candidates[i]);
            backtracking(candidates, target, sum, i);
            sum -= candidates[i];
            path.pop_back();

        }
    }
public:
    vector<vector<int>> combinationSum(vector<int>& candidates, int target) {
        result.clear();
        path.clear();
        sort(candidates.begin(), candidates.end()); // 需要排序
        backtracking(candidates, target, 0, 0);
        return result;
    }
};

总结
本题和我们之前讲过的回溯算法：求组合问题！、回溯算法：求组合总和！有两点不同：

• 组合没有数量要求
• 元素可无限重复选取
  针对这两个问题，我都做了详细的分析。

并且给出了对于组合问题，什么时候用startIndex，什么时候不用，并用回溯算法：电话号码的字母组合做了对比。

最后还给出了本题的剪枝优化，这个优化如果是初学者的话并不容易想到。

「在求和问题中，排序之后加剪枝是常见的套路！」

可以看出我写的文章都会大量引用之前的文章，就是要不断作对比，分析其差异，然后给出代码解决的方法，这样才能彻底理解题目的本质与难点。

「就酱，如果感觉很给力，就帮Carl宣传一波吧，奥利给！」。

回溯算法：求组合总和（二）

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原文地址：https://blog.51cto.com/15069438/2576397