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二分查找算法详解

时间:2021-07-21 17:43:53      阅读:0      评论:0      收藏:0      [点我收藏+]

标签:while   算法详解   下界   排列   bsp   赋值   变化   last   pre   

一、binarySearch框架
  • 数组必须升序排列;
  • 不要出现 else,而是把所有情况用 else if 写清楚,这样可以清楚地展现所有细节;
  • 计算 mid 时需要技巧防止溢出: let mid = left + Math.floor((right - left) / 2);
    function binarySearch(nums, target) {
        let left = 0, right = ...;
        while(...) {
            let mid = (right + left) / 2;
            if (nums[mid] == target) {
                ...
            } else if (nums[mid] < target) {
                left = ...
            } else if (nums[mid] > target) {
                right = ...
            }
        }
        return ...;
    }
二、Note: 搜索一个数,如果存在,返回其索引,否则返回 -1.
  •  为什么 while 循环的条件中是 <=,而不是 < ?
因为初始化 right 的赋值是 nums.length - 1,即最后一个元素的索引,而不是 nums.length;
  • while 循环当找到目标值就停止搜索,返回索引;但是当 while 循环结束都没有找到的时候,就返回-1,那什么时候 while 循环终止呢?
  •    [left, right] 终止条件是 left == right + 1,即 [right + 1, right] ,带个具体的数字进去 [3, 2],可见这时候搜索区间为空,因为没有数字既大于等于 3 又小于等于 2 的吧。所以这时候 while 循环终止是正确的,直接返回 -1 即可;
  •    [left, right)终止条件是 left == right,即 [left, right],带个具体的数字进去 [2, 2],这时候搜索区间非空,还有一个数 2,但此时 while 循环终止了。也就是说这区间 [2, 2] 被漏掉了,索引 2 没有被搜索,如果这时候直接返回 -1 就可能出现错误,所以打个补丁:最后一行 return 语句变为 return nums[left] === target ? left : -1,且 right 的变化应该为 right = mid ,因为我们的「搜索区间」是 [left, right) 左闭右开,所以当 nums[mid] 被检测之后,下一步的搜索区间应该去掉 mid 分割成两个区间,即 [left, mid) 或 [mid + 1, right)
  • 为什么 left = mid + 1,right = mid - 1?我看有的代码是 right = mid 或者 left = mid,没有这些加加减减,到底怎么回事,怎么判断?
这也是二分查找的一个难点,本算法的「搜索区间」是两端都闭的,即 [left, right]。那么当我们发现索引 mid 对应的值不是要找的 target 时,如何确定下一步的搜索区间呢?
  当然是去搜索 [left, mid - 1] 或者 [mid + 1, right] 对不对?因为 mid 已经搜索过,应该从搜索区间中去除
  • 此算法有什么缺陷?
比如说给你有序数组 nums = [1,2,2,2,3],target = 2,此算法返回的索引是 2,没错。但是如果我想得到 target 的左侧边界,即索引 1,或者我想得到 target 的右侧边界,
即索引 3,这样的话此算法是无法处理的。
```sh
function binarySearch(nums, target) {
  let left = 0;
  let right = nums.length - 1;
  while (left <= right) {
    let mid = left + Math.floor((right - left) / 2);
    if (nums[mid] === target) {
      return mid;
    } else if (nums[mid] < target) {
      left = mid + 1;
    } else if (nums[mid] > target) {
      right = mid - 1;
    }
  }
  return -1;
}
console.log(binarySearch([1, 2, 3, 4, 5, 6, 7], 3));//2
```
三、 Note: 搜索一个数,如果存在,返回其第一次出现时的索引,否则返回 -1.
  • 比如对于有序数组 nums = [2,3,5,7], target = 1,算法会返回 0,含义是:nums 中小于 1 的元素有 0 个。如果 target = 8,算法会返回 4,含义是:nums 中小于 8 的元素有 4 个。综上可以看出,函数的返回值(即 left 变量的值)取值区间是闭区间 [0, nums.length],所以我们简单添加两行代码就能在正确的时候 return -1:
```sh
function binarySearchLeft(nums, target) {
  if (nums.length == 0) return -1;
  let left = 0;
  let right = nums.length;
  while (left < right) {
    let mid = left + Math.floor((right - left) / 2);
    if (nums[mid] === target) {
      right = mid;
    } else if (nums[mid] < target) {
      left = mid + 1;
    } else if (nums[mid] > target) {
      right = mid;
    }
  }
  if (left == nums.length) return -1;
  return nums[left] === target ? left : -1;
}
console.log(binarySearchLeft([1, 2, 2, 2, 3], 2));//1
```
四、 Note: 搜索一个数,如果存在,返回其最后一次出现时的索引,否则返回 -1.
  • 当 nums[mid] == target 时,不要立即返回,而是增大「搜索区间」的下界 left,使得区间不断向右收缩,达到锁定右侧边界的目的;
  •  因为我们对 left 的更新必须是 left = mid + 1,就是说 while 循环结束时,nums[left] 一定不等于 target 了,而 nums[left - 1]可能是 target;
```sh
function binarySearchRight(nums, target) {
  if (nums.length == 0) return -1;
  let left = 0;
  let right = nums.length;
  while (left < right) {
    let mid = left + Math.floor((right - left) / 2);
    if (nums[mid] === target) {
      left = mid + 1;
    } else if (nums[mid] < target) {
      left = mid + 1;
    } else if (nums[mid] > target) {
      right = mid;
    }
  }
  if (left === 0) return -1;
  return nums[left - 1] === target ? left - 1 : -1;
}
console.log(binarySearchRight([1, 2, 2, 2, 3], 2)); //3
```
五、总结
  •  一个基本的二分查找
    因为我们初始化 right = nums.length - 1
    所以决定了我们的「搜索区间」是 [left, right]
    所以决定了 while (left <= right)
    同时也决定了 left = mid+1 和 right = mid-1
    因为我们只需找到一个 target 的索引即可
    所以当 nums[mid] == target 时可以立即返回
  • 寻找左侧边界的二分查找
    因为我们初始化 right = nums.length
    所以决定了我们的「搜索区间」是 [left, right)
    所以决定了 while (left < right)
    同时也决定了 left = mid+1 和 right = mid
    
    
    因为我们需找到 target 的最左侧索引
    所以当 nums[mid] == target 时不要立即返回
    而要收紧右侧边界以锁定左侧边界
  •  寻找右侧边界的二分查找
因为我们初始化 right = nums.length
所以决定了我们的「搜索区间」是 [left, right)
所以决定了 while (left < right)
同时也决定了 left = mid+1 和 right = mid


因为我们需找到 target 的最右侧索引
所以当 nums[mid] == target 时不要立即返回
而要收紧左侧边界以锁定右侧边界


又因为收紧左侧边界时必须 left = mid + 1
所以最后无论返回 left 还是 right,必须减一
六、给定一个按照升序排列的整数数组 nums,和一个目标值 target。找出给定目标值在数组中的开始位置和结束位置。如果数组中不存在目标值 target,返回 [-1, -1]。
  • 方法一:使用上面写好的api
    var searchRange1 = function (nums, target) {
      // let left = nums.indexOf(target);
      // let right = nums.lastIndexOf(target);
      // return [left, right];
      let left = binarySearchLeft(nums, target);
      let right = binarySearchRight(nums, target);
      return [left, right];
    };
  • 方法二、封装一个统一的api
    var binarySearch = function (nums, target, flag) {
      if (nums.length == 0) return -1;
      let left = 0;
      let right = nums.length;
      while (left < right) {
        let mid = left + Math.floor((right - left) / 2);
        if (nums[mid] === target) {
          flag ? (right = mid) : (left = mid + 1);
        } else if (nums[mid] < target) {
          left = mid + 1;
        } else if (nums[mid] > target) {
          right = mid;
        }
      }
      if (flag && left === nums.length) return -1;
      if (!flag && left === 0) return -1;
      return flag
        ? nums[left] === target
          ? left
          : -1
        : nums[left - 1] === target
        ? left - 1
        : -1;
    };
    var searchRange2 = function (nums, target) {
      let len = nums.length;
      if (len === 0) {
        return [-1, -1];
      }
      let left = binarySearch(nums, target, true);
      if (left === -1) {
        return [-1, -1];
      }
      let right = binarySearch(nums, target, false);
      return [left, right];
    };
    // console.log(searchRange2([5, 7, 7, 8, 8, 10], 8)); //[3,4]

     

 
 
 
 
 
 

 

二分查找算法详解

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