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SPFA算法

时间:2014-11-16 00:30:13      阅读:253      评论:0      收藏:0      [点我收藏+]

标签:http   sp   for   on   bs   ad   时间   size   算法   

 

  • 适用范围:给定的图存在负权边,这时类似Dijkstra等算法便没有了用武之地,而Bellman-Ford算法的复杂度又过高,SPFA算法便派上用场了。 我们约定有向加权图G不存在负权回路,即最短路径一定存在。当然,我们可以在执行该算法前做一次拓扑排序,以判断是否存在负权回路,但这不是我们讨论的重点。

    算法思想:我们用数组d记录每个结点的最短路径估计值,用邻接表来存储图G。我们采取的方法是动态逼近法:设立一个先进先出的队列用来保存待优化的结点,优化时每次取出队首结点u,并且用u点当前的最短路径估计值对离开u点所指向的结点v进行松弛操作,如果v点的最短路径估计值有所调整,且v点不在当前的队列中,就将v点放入队尾。这样不断从队列中取出结点来进行松弛操作,直至队列空为止

    期望的时间复杂度O(ke), 其中k为所有顶点进队的平均次数,可以证明k一般小于等于2。

    实现方法:

      建立一个队列,初始时队列里只有起始点,再建立一个表格记录起始点到所有点的最短路径(该表格的初始值要赋为极大值,该点到他本身的路径赋为0)。然后执行松弛操作,用队列里有的点作为起始点去刷新到所有点的最短路,如果刷新成功且被刷新点不在队列中则把该点加入到队列最后。重复执行直到队列为空。

    判断有无负环:
      如果某个点进入队列的次数超过N次则存在负环(SPFA无法处理带负环的图)

    bubuko.com,布布扣

    首先建立起始点a到其余各点的
    最短路径表格

    bubuko.com,布布扣

    首先源点a入队,当队列非空时:
     1、队首元素(a)出队,对以a为起始点的所有边的终点依次进行松弛操作(此处有b,c,d三个点),此时路径表格状态为:

    bubuko.com,布布扣

    在松弛时三个点的最短路径估值变小了,而这些点队列中都没有出现,这些点
    需要入队,此时,队列中新入队了三个结点b,c,d

    队首元素b点出队,对以b为起始点的所有边的终点依次进行松弛操作(此处只有e点),此时路径表格状态为:

    bubuko.com,布布扣

    在最短路径表中,e的最短路径估值也变小了,e在队列中不存在,因此e也要
    入队,此时队列中的元素为c,d,e

    队首元素c点出队,对以c为起始点的所有边的终点依次进行松弛操作(此处有e,f两个点),此时路径表格状态为:

    bubuko.com,布布扣

    在最短路径表中,e,f的最短路径估值变小了,e在队列中存在,f不存在。因此
    e不用入队了,f要入队,此时队列中的元素为d,e,f

    队首元素d点出队,对以d为起始点的所有边的终点依次进行松弛操作(此处只有g这个点),此时路径表格状态为:

    bubuko.com,布布扣

    在最短路径表中,g的最短路径估值没有变小(松弛不成功),没有新结点入队,队列中元素为f,g

    队首元素f点出队,对以f为起始点的所有边的终点依次进行松弛操作(此处有d,e,g三个点),此时路径表格状态为:

    bubuko.com,布布扣

    在最短路径表中,e,g的最短路径估值又变小,队列中无e点,e入队,队列中存在g这个点,g不用入队,此时队列中元素为g,e

    队首元素g点出队,对以g为起始点的所有边的终点依次进行松弛操作(此处只有b点),此时路径表格状态为:

    bubuko.com,布布扣

    在最短路径表中,b的最短路径估值又变小,队列中无b点,b入队,此时队列中元素为e,b
    队首元素e点出队,对以e为起始点的所有边的终点依次进行松弛操作(此处只有g这个点),此时路径表格状态为:

    bubuko.com,布布扣

    在最短路径表中,g的最短路径估值没变化(松弛不成功),此时队列中元素为b

    队首元素b点出队,对以b为起始点的所有边的终点依次进行松弛操作(此处只有e这个点),此时路径表格状态为:

    bubuko.com,布布扣

    在最短路径表中,e的最短路径估值没变化(松弛不成功),此时队列为空了

    最终a到g的最短路径为14

 

本文系以前复制到我电脑上,现在又上传此博客,原文地址找不到了。

SPFA算法

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原文地址:http://www.cnblogs.com/khan724/p/4100816.html

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