标签：分治算法
设计过程分为三个阶段
Divide： 整个问题划分为多个子问题 T(n)=D(n)
Conquer：求解各子问题(递归调用正设计的算法) T(n)=aT(n/b)
Combine：合并子问题的解, 形成原始问题的解T(n)=C(n)
Note： 将规模为n的问题划分为a个子问题，每个问题的大小为n/b。（b可能不等于a！）
时间复杂度：T(n)=θ(1) if n<c常数
T(n)=aT(n/b)+D(n)+C(n)
经典问题1：归并排序
Divide阶段：在中间节点节段 时间为O(1)
Conquer阶段：两个子问题每个问题规模为n/2因此T(n)=2T(n/2)
Combine阶段：依次比对 O(n)
所以时间复杂度为 T(n)=2T(n/2)+O(n) Master方法计算(第2种情况)T(n)=(nlogn)
经典问题2：大整数乘法
输入：n位二进制整数X和Y 输出：X和Y的乘积
分治思想：
X = A<<n/2+B Y= C<<n/2 + D 即将大数划分为两个子部分
X*Y = （A<<n/2+B）*（C<<n/2+ D） = (A*C)<<n + （A*D+B*C）<<n/2 +C*D
将XY问题划分为计算AC，BD，AD，BC四个子问题，每个问题规模为n/2 (!!a不等于b)
T(n)=4T(n/2)+θ(n) Master方法计算 Master方法计算(第一种情况)T(n)=(n^2)
优化：
（A-B）*（C-D） = AC+BD-(BC+AD) 所以XY的等式中（A*D+B*C）就可以用AC+BD+（B-A）（C-D）代替。
即，把原来计算AC，BD，AD，BC四个子问题，转换为AC、BD、CD三个子问题。
T(n)=3T(n/2)+θ(n) 计算的T(n)=O(n^(log2^3))≈O(n^(1.59))
经典问题3：矩阵乘法
输入：两个矩阵A、B 输出：A*B
分治：
一般思路就是划分了8个，规模为n/2的子问题。所以T(n)=8T(n/2)+θ(n)
可是减少子问题个数是优化的好的方向。之后就有善于思考的人提出用7个子问题实现：
M1 = A11 (B12 - B22)
M2 = (A11 + A12) B22
M3 = (A21 + A22) B11
M4 = A22 (B21 - B11)
M5 = (A11 + A22) (B11 + B22)
M6 = (A12 - A22) (B21 + B22)
M7= (A11 - A12) (B11 + B12)
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之后就成功的降低时间复杂度。T(n)=7T(n/2)+θ(n)=O(n^(log2^7 ))≈O(n^(2.81))
上文说的经典分治算法，基本以减少子问题个数来降低时间复杂度，在划分和合并阶段没有特别的处理。
接下来的几章主要看比较有意思的三个问题。
标签：分治算法
原文地址：http://blog.csdn.net/fy_sun123/article/details/41477947
