BZOJ 3160 万径人踪灭 Manacher算法+快速傅里叶变换

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题目大意：给定一个由‘a‘和‘b‘构成的字符串，求不连续回文子序列的个数

首先回文一定是将字符串倍增 由于求的是不连续回文子序列的个数 因此我们可以求出总回文子序列的个数，然后减掉连续的

连续的就是回文子串 用Manacher算法可以O(n)求解

不连续的就有些难搞了

首先我们令f[i]表示以i为中心的对称字符对个数

比如s[]=$#a#b#a 那么s[4]=‘b‘ f[4]=2

那么对于每个中心i我们有(2^f[i])-1种方案 答案即Σ[1<=i<=n*2+1]((2^f[i])-1)

问题就是如何求出f[]数组

我们发现对f[i]有贡献的一对字符在原字符串数组中的位置之和一定是i

比如str+1="aba" 那么第一个字符和第三个字符对倍增后的字符串的第4个位置有贡献

那么显然有f[i]=(Σ[1<=j<=i-1]bool(str[j]==str[i-j]))+1>>1 括号里面是一个卷积的形式 可以用FFT进行求解

首先考虑‘a‘对答案的贡献 那么令‘a‘=1 ‘b‘=0 求出卷积就是‘a‘的贡献

再考虑‘b‘对答案的贡献 令‘a‘=0 ‘b‘=1 求出卷积就是‘b‘的贡献

两次贡献之和+1>>1就是f[]数组 代入之前的结论中即可出解

同学居然拿这个来出题- - 尼玛还我还真推出FFT了- - 还尼玛写挂了- -没开long long被干掉5个点TAT

大脑不好使了 哪里写的不明白或者写错了就在下面回复一下吧- - 看代码也行- -

#include <cmath>
#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <iostream>
#include <algorithm>
#define M 263000
#define MOD 1000000007
#define PI 3.141592653589793238462643
using namespace std;
typedef long long ll;
struct Complex{  
    double a,b;  
    Complex() {}  
    Complex(double _,double __):a(_),b(__) {}  
    void operator += (const Complex &x) 
    {  
        a+=x.a;
        b+=x.b;
    }  
    Complex operator - (const Complex &x) const  
    {  
        return Complex(a-x.a,b-x.b);  
    }  
    Complex operator * (const Complex &x) const  
    {  
        return Complex(a*x.a-b*x.b,a*x.b+b*x.a);  
    }  
    void operator *= (const Complex &x)  
    {  
        *this=(*this)*x;  
    }
    Complex operator + (const Complex &x)
    {
		Complex re=*this;
		re+=x;return re;
	}
}a[M],b[M];
char s[M];
int f[M<<1],power[M],temp[M],ans;
int Manacher(char str[],int n)
{
	static char s[M<<1];
	static int f[M<<1];
	int i,re=0;
	for(s[0]='$',s[1]='#',i=1;i<=n;i++)
		s[i<<1]=str[i],s[i<<1|1]='#';
	n=n<<1|1;
	int mx=1,id=1;
	for(i=1;i<=n;i++)
	{
		f[i]=min(f[id+id-i],mx-i);
		while(s[i+f[i]]==s[i-f[i]])
			f[i]++;
		if(f[i]+i>mx)
			mx=f[i]+i,id=i;
		re+=f[i]>>1,re%=MOD;
	}
	return re;
}
void FFT(Complex x[],int n,int type)
{
	static Complex temp[M];
	if(n==1) return ;
	int i;
	for(i=0;i<n;i+=2)
		temp[i>>1]=x[i],temp[i+n>>1]=x[i+1];
	memcpy(x,temp,sizeof(Complex)*n);
	Complex *l=x,*r=x+(n>>1);
	FFT(l,n>>1,type);FFT(r,n>>1,type);
	Complex root( cos(type*2*PI/n) , sin(type*2*PI/n) ),w(1,0);
	for(i=0;i<n>>1;i++,w*=root)
		temp[i]=l[i]+w*r[i],temp[i+(n>>1)]=l[i]-w*r[i];
	memcpy(x,temp,sizeof(Complex)*n);
}
void Pretreatment()
{
	int i;
	power[0]=1;
	for(i=1;i<M;i++)
		power[i]=(power[i-1]<<1)%MOD;
}
int main()
{
	scanf("%s",s+1);
	int i,n,len=strlen(s+1);
	Pretreatment();
	for(n=1;n<=len<<1;n<<=1);
	for(i=1;i<=len;i++)
		if(s[i]=='a')
			a[i].a=1;
	FFT(a,n,1);
	for(i=0;i<n;i++)
		b[i]=a[i]*a[i];
	memset(a,0,sizeof a);
	for(i=1;i<=len;i++)
		if(s[i]=='b')
			a[i].a=1;
	FFT(a,n,1);
	for(i=0;i<n;i++)
		b[i]+=a[i]*a[i];
	FFT(b,n,-1);
	for(i=1;i<n;i++)
		temp[i]+=ll(b[i].a+0.5)/n;
	for(i=1;i<n;i++)
		ans+=power[temp[i]+1>>1]-1,ans%=MOD;
	cout<<(ans+MOD-Manacher(s,len))%MOD<<endl;
}

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原文地址：http://blog.csdn.net/popoqqq/article/details/42193259