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欧几里德算法求最大公约数

时间:2014-12-28 15:24:43      阅读:208      评论:0      收藏:0      [点我收藏+]

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最大公约数 和 最小公倍数问题

是一个小问题,虽然说是个小问题,

但是,它是基本的,

很多时候,

我们却不一定能够随手写出它。

技术分享

首先,(此段转载自百科)

其计算原理依赖于下面的定理:
定理:gcd(a,b) = gcd(b,a mod b) (a>b 且a mod b 不为0)   // 也就是说,大数对小数取余得小数,小数变新数的大数。
证明:a可以表示成a = kb + r,则r = a mod b
假设d是a,b的一个公约数,则有
d|a,d|b,而r = a - kb,因此d|r
因此d也是(b,a mod b)的公约数
因此(a,b)和(b,a mod b)的公约数是一样的,其最大公约数也必然相等,得证
或:证明:
第一步:令c=gcd(a,b),则设a=mc,b=nc
第二步:根据前提可知r =a-kb=mc-knc=(m-kn)c
第三步:根据第二步结果可知c也是r的因数
第四步:可以断定m-kn与n互素【否则,可设m-kn=xd,n=yd,(d>1),则m=kn+xd=kyd+xd=(ky+x)d,则a=mc=(ky+x)dc,b=nc=ycd,故a与b最大公约数≥cd,而非c,与前面结论矛盾】
从而可知gcd(b,r)=c,继而gcd(a,b)=gcd(b,r),得证
以上两种方法实质一样的。
 
以上是对gcd(a,b)=gcd(b,a mod b)这个公式的证明.
下面是代码:
#include <stdio.h>
//递归实现
int gcd(int m,int n)
{
       if (m < n)
       {
              int tmp = m;
              m = n;
              n = tmp;
       }
       if (n == 0)
              return m;
       else
              return gcd(n,m % n);
}
}
//非递归实现
int gcd2(int m,int n)
{
       if (m < n)
       {
              int tmp = m;
              m = n;
              n = tmp;
       }
       if (n == 0)
              return m;
       while (n > 0)
       {
              int tmp = m % n;
              m = n;
              n = tmp;
       }
     return m;
}

有递归和非递归两种,为了代码的高效性,非递归显然更好!

那么,有了最大公约数,我们就可以很简单的求出最小公倍数啦~~~

//求最小公倍数
int gbs(int m,int n)
{
    return m*n/gcd(m,n);
} 

当然,代码虽然是两个数的,但是可以很快的推到n个数,只要每次求出一个,接着进行函数即可。

基础算法不能忘,加油。

 

欧几里德算法求最大公约数

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原文地址:http://www.cnblogs.com/ikids/p/4190022.html

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