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[C++]LeetCode: 69 Multiply Strings

时间:2015-01-06 10:11:54      阅读:222      评论:0      收藏:0      [点我收藏+]

标签:math   string   leetcode   

题目:

Given two numbers represented as strings, return multiplication of the numbers as a string.

Note: The numbers can be arbitrarily large and are non-negative.

Answer 1: 基础法

大整数乘法

技术分享

根据小学手算乘法的规则,我们把每一位相乘,得到一个没有进位的临时结果,如图中间的一行红色数字就是临时结果,然后把临时结果从低位起一次进位。对于一个m位整数乘以一个n位整数的结果,存储空间,最多m+n位(加上一位进位)。

Attention:

1. 如果结果中最高位为0,需要去掉前导0.

 int i = k+1;
 while(tmpres[i] == 0)i--;//去掉乘积的前导0
2. 如果结果为0,需要处理。

 if(i < 0)return "0"; //注意乘积为0的特殊情况

3. string对象的下标从0开始,最后一个字符的下标为size() - 1,下标超出范围会引起溢出错误;

即”254“ => s[0] = ‘2‘, s[1] = ‘5‘ , s[2] = ‘4‘

4. 注意存储空间的确定,位数等。

由于用tmp[k-i-j]存储每一个临时求和结果,max(i) = len1-1; max(j) = len2-1; k取 len1+ len2 -2即可,k是下标,下标从零开始。

实际tmp存储空间应该是(k+1) + 1, 其中k+1代表临时结果的数量,1代表乘法可能产生最高位的一位进位。所以

对于一个m位整数乘以一个n位整数的结果,存储空间,最多m+n位。注意这个最高位对应下标为k+1.

复杂度:O(N^2)

AC Code:

class Solution {
public:
    string multiply(string num1, string num2) {
        int len1 = num1.size();
        int len2 = num2.size();
        vector<int> tmp(len1 + len2, 0);
        int k = len1 + len2 - 2; //最低位即 (len1-1) * (len2-1),存储到tmp[0]
        
        for(int i = 0; i < len1; i++)
        {
            for(int j = 0; j < len2; j++)
            {
                tmp[k-i-j] += (num1[i]-'0') * (num2[j]-'0');
            }
        }
        
        //处理进位
        int carryBit = 0;
        for(int i = 0; i < len1 + len2; i++)
        {
            tmp[i] += carryBit;
            carryBit = tmp[i]/10;
            tmp[i] %= 10;
        }
        
        int i = k + 1;
        while(tmp[i] == 0) i--;  //去除乘积前导0
        if(i < 0) return "0";    //处理特殊情况乘积为0
        
        string ret;
        for(;i >= 0; i--)
        {
            ret.push_back(tmp[i] + '0');
        }
        
        return ret;
    }
};

Answer 2: FFT方法(待仔细研究)

这道题其实还有更加优的做法,就是用十大最牛的算法之一--Fast Fourier transform(FFT)。使用FFT可以在O(nlogn)时间内求出多项式的乘法,在这里只需要把变量x带入10,然后按照求多项式的方法就可以求出两个大整数的成绩了。不过FFT实现不是很简单,所以在面试中一般不需要写代码,只需要知道这个思路和基本工作原理就可以了哈。

查阅资料,有篇博文写的比较详细:使用快速傅里叶变换计算大整数乘法

向量 {ck} 是向量 {ai} 和向量 {bj} 的卷积。根据卷积定理向量卷积的离散傅里叶变换是向量离散傅里叶变换的乘积。于是,我们可以按照以下步骤来计算大整数乘法:

  1. 分别求出向量 {ai} 和向量 {bj} 的离散傅里叶变换 {Ai} 和 {Bj}。
  2. 将 {Ai} 和 {Bj} 逐项相乘得到向量 {Ck}。
  3. 对 {Ck} 求离散傅里叶逆变换,得到的向量 {ck} 就是向量 {ai} 和向量 {bj} 的卷积。
  4. 对的向量 {ck} 进行适当的进位就得到了大整数 a 和 b 的乘积 c。
我们根据以上思路去计算,直接进行离散傅里叶变换的计算复杂度是 O(N2)。快速傅里叶变换可以计算出与直接计算相同的结果,但只需要 O(N logN) 的计算复杂度。

快速傅里叶变换的要点如下:一个界长为 N 的离散傅里叶变换可以重新写成两个界长各为 N/2 的离散傅里叶变换之和。其中一个变换由原来 N 个点中的偶数点构成,另一个变换由奇数点构成。这个过程可以递归地进行下去,直到我们将全部数据细分为界长为 1 的变换。什么是界长为 1 的傅里叶变换呢?它正是把一个输入值复制成它的一个输出值的恒等运算。要实现以上算法,最容易的情况是原始的 N 为 2 的整幂次项,如果数据集的界长不是 2 的幂次时,则可添上一些零值,直到 2 的下一幂次。在这个算法中,每递归一次需 N 阶运算,共需要 log N 次递归,所以快速傅里叶变换算法的时间复杂度是 O(N logN)。




[C++]LeetCode: 69 Multiply Strings

标签:math   string   leetcode   

原文地址:http://blog.csdn.net/cinderella_niu/article/details/42426297

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