数对之差的最大值 && 子数组的最大和

标签：c++

 问题1: 在数组中，数字减去他的右边的数字得到一个数对之差，求所有数对之差的最大值。 例如数组{2.4.1.16.7.5.11.9}中，数对之差的最大值是11，是16减去5的结果。

 问题2：给定一个含有n 个元素的数列，元素有正有负，找出和最小的一组相邻的书，既给定a[n],是的a[i]+a[i+1]+...+a[j]的和最小。

先看第一道题目：

如果从头遍历，遍历到某一个位置，从这个位置开始遍历到数组结束，看此元素的数对只差的最带值，然后更行当前的数对之差的最大值，O(n^2)的事件复杂度。

解法二：转化成求解子数组的最大和问题

接下来再介绍一种比较巧妙的解法。如果输入一个长度为n的数组numbers，我们先构建一个长度为n-1的辅助数组diff，并且diff[i]等于numbers[i]-numbers[i+1]（0<=i<n-1）。如果我们从数组diff中的第i个数字一直累加到第j个数字（j > i），也就是diff[i] + diff[i+1] + … + diff[j] = (numbers[i]-numbers[i+1]) + (numbers[i + 1]-numbers[i+2]) + ... + (numbers[j] – numbers[j + 1]) = numbers[i] – numbers[j + 1]。

分析到这里，我们发现原始数组中最大的数对之差（即numbers[i] – numbers[j + 1]）其实是辅助数组diff中最大的连续子数组之和。

int MaxDiff_Solution2(int numbers[], unsigned length)

{

    if(numbers == NULL || length < 2)

        return 0;

    int* diff = new int[length - 1];

    for(int i = 1; i < length; ++i)

        diff[i - 1] = numbers[i - 1] - numbers[i];

    int currentSum = 0;

    int greatestSum = 0x80000000;

    for(int i = 0; i < length - 1; ++i)

    {

        if(currentSum <= 0)

            currentSum = diff[i];

        else

            currentSum += diff[i];

        if(currentSum > greatestSum)

            greatestSum = currentSum;

    }

    delete[] diff;

    return greatestSum;

} 

解法三：动态规划法

既然我们可以把求最大的数对之差转换成求子数组的最大和，而子数组的最大和可以通过动态规划求解，那我们是不是可以通过动态规划直接求解呢？下面我们试着用动态规划法直接求数对之差的最大值。

我们定义diff[i]是以数组中第i个数字为减数的所有数对之差的最大值。也就是说对于任意h（h < i），diff[i]≥number[h]-number[i]。diff[i]（0≤i<n）的最大值就是整个数组最大的数对之差。

假设我们已经求得了diff[i]，我们该怎么求得diff[i+1]呢？对于diff[i]，肯定存在一个h（h < i），满足number[h]减去number[i]之差是最大的，也就是number[h]应该是number[i]之前的所有数字的最大值。当我们求diff[i+1]的时候，我们需要找到第i+1个数字之前的最大值。第i+1个数字之前的最大值有两种可能：这个最大值可能是第i个数字之前的最大值，也有可能这个最大值就是第i个数字。第i+1个数字之前的最大值肯定是这两者的较大者。我们只要拿第i+1个数字之前的最大值减去number[i+1]，就得到了diff[i+1]。

int MaxDiff_Solution3(int numbers[], unsigned length)

{

    if(numbers == NULL || length < 2)

        return 0;

    int max = numbers[0];

    int maxDiff =  max - numbers[1];

    for(int i = 2; i < length; ++i)

    {

        if(numbers[i - 1] > max)

            max = numbers[i - 1];

        int currentDiff = max - numbers[i];

        if(currentDiff > maxDiff)

            maxDiff = currentDiff;

    }

    return maxDiff;

}

在上述代码中，max表示第i个数字之前的最大值，而currentDiff表示diff[i] （0≤i<n），diff[i]的最大值就是代码中maxDiff。

上述是解决第一个问题的方法，至于第二个问题，求出连续数组的最小和。如果我们设定一个辅助数组，是的这个数组为b[n]

b[0] = a[0], b[1] = a[0]+a[1] b[2] = a[0]+a[1]+a[2]  b[3] = a[0]+a[1]+a[2]+a[3]  b[i] = a[0]+a[1]+...+a[i]  b[n] = a[0]+a[1]+.....+a[n]

那么 a[i]+a[i+1]+......+a[j]  = b[j]-b[i-1]  也就是说求得一个连续序列的最小和就相当于求得b[n]数组中的数对之差的最小值。

这么一来就相当于第一个问题了，其中s[]是辅助数组

J = 1; I = 0; max = 0;
for (i=1; i<n; i++) {
  if (s[i]-s[max] < s[J]-s[I]) {
    I = max;  J = i;
  }
  max = s[i] > s[I] ? i : max;
} 

这里只不过是使用了最大元素的下标！

数对之差的最大值 && 子数组的最大和

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原文地址：http://blog.csdn.net/yusiguyuan/article/details/42525479